Τμηματικά οριζόμενη συνάρτηση

Στα μαθηματικά, τμηματικά οριζόμενη συνάρτηση (ή τμηματικά ορισμένη συνάρτηση) είναι ένας τρόπος ορισμού μαθηματικών συναρτήσεων δίνοντας έναν διαφορετικό ορισμό της συνάρτησης για διάφορα ξένα τμήματα του πεδίου ορισμού της.^[1]^[2]

Για παράδειγμα, η συνάρτηση της απόλυτης τιμής μπορεί να οριστεί τμηματικά ως $|\cdot |:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με

|x|={\begin{cases}x,&{\text{αν }}x\geq 0,\\-x,&{\text{αν }}x<0.\end{cases}}

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών και η συνάρτηση ορίζεται ως $x$ στο τμήμα των μη-αρνητικών αριθμών ( $x\geq 0$ ) και ως $-x$ στο τμήμα των θετικών αριθμών ( $x<0$ ). Η συνάρτηση μπορεί να οριστεί ισοδύναμα ως $|x|={\sqrt {x^{2}}}$ επομένως ο τμηματικός ορισμός δεν είναι ιδιότητα της συνάρτησης, απλά ένας τρόπος ορισμού της.

Γενική μορφή

Έστω η συνάρτηση $f:D\to R$ με πεδίο ορισμού $D$ και πεδίο τιμών $R$ . Η $f$ μπορεί να οριστεί τμηματικά με τα $n$ τμήματα $A_{1},\ldots ,A_{n}$ και τις συναρτήσεις $f_{1},\ldots ,f_{n}:D\to R$ αν

τα τμήματα αποτελούν διαμερισμό του $D$ , δηλαδή $D=\cup _{i=1}^{n}A_{i}$ και $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$ για κάθε $i\neq j$ , και
$f=f_{1}\cup f_{2}\cup \ldots \cup f_{n}$ .

Σε αυτή την περίπτωση γράφουμε

f(x)={\begin{cases}f_{1}(x)&{\text{αν }}x\in A_{1},\\f_{2}(x)&{\text{αν }}x\in A_{2},\\&\vdots \\f_{n}(x)&{\text{αν }}x\in A_{n}.\end{cases}}

Για να υπολογίσουμε την τιμή μίας τμηματικά ορισμένης συνάρτησης στο σημείο $x$ , βρίσκουμε το (μοναδικό) $i$ με $x\in A_{i}$ και η τιμή της θα είναι $f_{i}(x)$ .

Παραδείγματα

Η μοναδιαία βηματική συνάρτηση ορίζεται τμηματικά ως εξής

H(x)={\begin{cases}0&{\text{αν }}x<0\\1&{\text{αν }}x\geq 0.\end{cases}}

Η συνάρτηση προσήμου ορίζεται τμηματικά ως εξής

\mathrm {sgn} (x)={\begin{cases}-1&{\text{αν }}x<0,\\{\phantom {+}}0&{\text{αν }}x=0,\\+1&{\text{αν }}x>0.\end{cases}}

Η παρακάτω συνάρτηση είναι μία αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση μεταξύ των φυσικών αριθμών και των ακεραίων,

f(n)={\begin{cases}n/2&{\text{αν }}n{\text{ ζυγός}},\\-(n+1)/2&{\text{αν }}n{\text{ μονός}},\end{cases}}

η οποία κάνει τις εξής αντιστοιχίσεις

0	1	2	3	4	5	6	7	8	...
0	-1	1	-2	2	-3	3	-4	4	..

Στην πληροφορική, πολλές συνάρτησης που χρησιμοποιούν την δομή επιλογής είναι τμηματικά ορισμένες συναρτήσης, όπως για παράδειγμα η παρακάτω:

def greet_teacher(teacher):
  if teacher.gender == "άνδρας":
    return "Καλημέρα κύριε " + teacher.name
  else:
    return "Καλημέρα κυρία " + teacher.name

Τυπογραφία

Στην LaTeX, μία τμηματικά ορισμένη συνάρτηση μπορεί να γραφτεί με την χρήση της σύνταξης \begin{cases} ... \end{cases}. Για παράδειγμα, η συνάρτηση της απόλυτης τιμής γράφεται ως

|x| = \begin{cases} 
  x, & \text{αν } x \geq 0, \\
 -x, & \text{αν } x < 0.
\end{cases}

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Στεργιουλας, Νικόλαος. «Γενικά Μαθηματικά Ι» (PDF). Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης.
↑ Κοσπεντάρης, Γ. Ιωάννης· Φλυτζανης, Ηλιας (2025). «Κεφάλαιο 1Α: Παράγωγος». Μαθηματικά για οικονομολόγους: Εισαγωγικές διαλέξεις (PDF). Μπενου. σελ. 59.

[1] Στεργιουλας, Νικόλαος. «Γενικά Μαθηματικά Ι» (PDF). Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης.

[2] Κοσπεντάρης, Γ. Ιωάννης· Φλυτζανης, Ηλιας (2025). «Κεφάλαιο 1Α: Παράγωγος». Μαθηματικά για οικονομολόγους: Εισαγωγικές διαλέξεις (PDF). Μπενου. σελ. 59.

[1]

[2]