Τετραδική Ομάδα Κλάιν

Στα μαθηματικά, η τετραδική Ομάδα Κλάιν^[1]^[2] είναι μια αβελιανή ομάδα με τέσσερα στοιχεία, στην οποία κάθε στοιχείο είναι αυτοαντίστροφο (η σύνθεσή του με τον εαυτό του παράγει την ταυτότητα) και στην οποία η σύνθεση οποιωνδήποτε δύο από τα τρία στοιχεία που δεν είναι ταυτότητα παράγει το τρίτο. ίτο. Μπορεί να περιγραφεί ως η ομάδα συμμετρίας ενός μη τετραγωνικού ορθογωνίου (με τα τρία στοιχεία που δεν είναι ταυτότητα να είναι οριζόντια αντανάκλαση, κάθετη αντανάκλαση και περιστροφή 180 μοιρών), ως η δυφιακή(bitwise) ομάδα αποκλειστική διάζευξη πράξεων σε δυαδικές τιμές δύο μπιτ, ή πιο αφηρημένα ως $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ , το άμεσο γινόμενο δύο αντιγράφων της κυκλικής ομάδας τάξης 2 σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα των πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων. Ονομάστηκε Vierergruppe (γερμανικά: [ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə] , που σημαίνει τετραδική ) από τον Φέλιξ Κλάιν το 1884. ^[3] Ονομάζεται επίσης ομάδα Κλάιν και συχνά συμβολίζεται με το γράμμα $V$ ή ως $K_{4}$ .

Η τετραδική ομάδα Κλάιν, με τέσσερα στοιχεία, είναι η μικρότερη ομάδα που δεν είναι κυκλική. Μέχρι τον ισομορφισμό, υπάρχει μόνο μία άλλη ομάδα τάξης τέσσερα: η κυκλική ομάδα τάξης 4. Και οι δύο ομάδες είναι αβελιανές.

Παρουσιάσεις

Ο πίνακας Κέιλυ της ομάδας Κλάιν δίνεται από τη σχέση:

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

Η τετραδική ομάδα Κλάιν ορίζεται επίσης από την παρουσίαση της ομάδας

V=\left\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\right\rangle .

Όλα τα μη-ταυτοτικά στοιχεία της ομάδας Κλάιν έχουν τάξη 2, οπότε οποιαδήποτε δύο μη-ταυτοτικά στοιχεία μπορούν να χρησιμεύσουν ως γεννήτριες στην παραπάνω παρουσίαση. Η Τετραδική ομάδα Κλάιν είναι η μικρότερη μη-κυκλική ομάδα. Είναι, ωστόσο, αβελιανή ομάδα και ισομορφική με τη διεδρική ομάδα τάξης (πληθικότητας) 4, που συμβολίζεται με $D_{4}$ (ή $D_{2}$ , χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική σύμβαση)- εκτός από την ομάδα τάξης 2, είναι η μόνη διεδρική ομάδα που είναι αβελιανή.

Η Τετραδική ομάδα Κλάιν είναι επίσης ισόμορφη με το άμεσο άθροισμα $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ , έτσι ώστε να μπορεί να αναπαρασταθεί ως τα ζεύγη {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} υπό συνιστώτική-πρόσθεση modulo 2 (ή ισοδύναμα οι συμβολοσειρές μπιτ {00, 01, 10, 11} υπό bitwise XOR), με το (0,0) να είναι το στοιχείο ταυτότητας της ομάδας. Η Τετραδική ομάδα Κλάιν είναι έτσι ένα παράδειγμα στοιχειώδους αβελιανής 2-ομάδας, η οποία ονομάζεται επίσης ομάδα Μπουλ. Η Τετραδική ομάδα Κλάιν είναι επομένως επίσης η ομάδα που παράγεται από τη συμμετρική διαφορά ως δυαδική πράξη στα υποσύνολα ενός συνόλου δυνάμεων ενός συνόλου με δύο στοιχεία - δηλαδή, πάνω σε ένα σώμα συνόλων με τέσσερα στοιχεία, όπως το $\{\emptyset ,\{\alpha \},\{\beta \},\{\alpha ,\beta \}\}$ - το κενό σύνολο είναι το στοιχείο ταυτότητας της ομάδας σε αυτή την περίπτωση.

Μια άλλη αριθμητική κατασκευή της τετραδικής ομάδας Κλάιν είναι το σύνολο { 1, 3, 5, 7 },με την πράξη να είναι ο πολλαπλασιασμός modulo 8. Εδώ το a είναι 3, το b είναι 5, και c = ab είναι 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8).

Η τετραδική ομάδα Κλάιν έχει επίσης μια αναπαράσταση ως 2 × 2 πραγματικοί πίνακες με την πράξη να είναι ο πολλαπλασιασμός πινάκων:

e={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad a={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad

b={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad c={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

Σε έναν κύβο του Ρούμπικ, το μοτίβο «4 κουκκίδες» μπορεί να δημιουργηθεί με τρεις τρόπους (παραδείγματος χάριν, M2 U2 M2 U2 F2 M2 F2), ανάλογα με το ζεύγος των όψεων που παραμένουν κενές- αυτές οι τρεις θέσεις μαζί με τη λυμένη θέση αποτελούν ένα παράδειγμα της ομάδας Κλάιν, με τη λυμένη θέση να χρησιμεύει ως ταυτότητα.

Γεωμετρία

Το V είναι η ομάδα συμμετρίας αυτού του σταυρού: αν τον αναποδογυρίσουμε οριζόντια (a) ή κάθετα (b) ή και τα δύο (ab), παραμένει αμετάβλητος. Μια στροφή κατά ένα τέταρτο τον αλλάζει.

Στις δύο διαστάσεις, η τετραδική ομάδα Κλάιν είναι η ομάδα συμμετρίας του ρόμβου και των ορθογωνίων που δεν είναι τετράγωνα, με τέσσερα στοιχεία την ταυτότητα, την κάθετη αντανάκλαση, την οριζόντια αντανάκλαση και την περιστροφή κατά 180°.

Στις τρεις διαστάσεις, υπάρχουν τρεις διαφορετικές ομάδες συμμετρίας που είναι αλγεβρικά η τετραδική ομάδα Κλάιν:

μία με τρεις κάθετους 2-fold άξονες περιστροφής: η δίεδρη ομάδα $D_{2}$
ένα με άξονα 2-fold περιστροφής και ένα κάθετο επίπεδο ανάκλασης: $C_{2\mathrm {h} }=D_{1\mathrm {d} }$
ένα με άξονα 2-fold περιστροφής σε ένα επίπεδο ανάκλασης (και επομένως και σε ένα κάθετο επίπεδο ανάκλασης): $C_{2\mathrm {v} }=D_{1\mathrm {h} }$ .

Αναπαράσταση μεταβολής

Τα τρία στοιχεία τάξης δύο της τετραδικής ομάδας Κλάιν είναι εναλλάξιμα: η ομάδα αυτομορφισμού της V είναι επομένως η ομάδα των μεταθέσεων αυτών των τριών στοιχείων, δηλαδή η συμμετρική ομάδα $S_{3}$ .

Οι μεταθέσεις των στοιχείων της τετραδικής ομάδας Κλάιν μπορούν να θεωρηθούν αφηρημένα ως η αναπαράσταση μεταθέσεών της σε τέσσερα σημεία:

V={}

{(), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

Σε αυτή την αναπαράσταση, η $V$ είναι μια κανονική υποομάδα της εναλλασσόμενης ομάδας $A_{4}$ (και επίσης της συμμετρικής ομάδας $S_{4}$ ) σε τέσσερα γράμματα. Είναι επίσης μια μεταβατική υποομάδα της $S_{4}$ που εμφανίζεται ως ομάδα Γκαλουά. Στην πραγματικότητα, είναι ο πυρήνας ενός επιφανειακού ομοιομορφισμού ομάδων από την $S_{4}$ to $S_{3}$ .

Άλλες παραστάσεις εντός του S₄ είναι:

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4) }

{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4) }

{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3) }

Δεν είναι κανονικές υποομάδες του S₄.

Η ταυτότητα και οι διπλές μεταθέσεις τεσσάρων αντικειμένων σχηματίζουν το V.
Άλλες μεταθέσεις τεσσάρων αντικειμένων μπορούν επίσης να σχηματίσουν το V

Άλγεβρα

Σύμφωνα με τη θεωρία Γκαλουά, η ύπαρξη της τετραδικής ομάδας Κλάιν (και ειδικότερα, η αναπαράσταση μετατροπής της) εξηγεί την ύπαρξη του τύπου για τον υπολογισμό των ριζών των τεταρτοβάθμιων εξισώσεων σε όρους ριζών, όπως καθιερώθηκε από τον Λοντοβίκο Φεράρι: η απεικόνιση $S_{4}\to S_{3}$ αντιστοιχεί στον κυβικό επιλύτη, σε όρους επιλύτη Λαγκράνζ.

Στην κατασκευή των πεπερασμένων δακτυλίων, οκτώ από τους έντεκα δακτυλίους με τέσσερα στοιχεία έχουν την τετραδική ομάδα Κλάιν ως προσθετική υποδομή τους.

Εάν $\mathbb {R} ^{\times }$ δηλώνει την πολλαπλασιαστική ομάδα των μη μηδενικών πραγματικών αριθμών και $\mathbb {R} ^{+}$ την πολλαπλασιαστική ομάδα των θετικών πραγματικών αριθμών, τότε $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }$ είναι η ομάδα των μονάδων του δακτυλίου $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ , και $\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+}$ είναι μια υποομάδα του $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }$ (στην πραγματικότητα είναι η συνιστώσα της ταυτότητας του $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }$ ). Η πηλίκο ομάδα $(\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times })/(\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+})$ είναι ισόμορφη με την τετραδική ομάδα Κλάιν. Με παρόμοιο τρόπο, η ομάδα των μονάδων του δακτυλίου υπερβολικών μιγαδικών αριθμών (Split Complex^[4] ), όταν διαιρείται με τη συνιστώσα ταυτότητάς του, οδηγεί επίσης στην τετραδική ομάδα Κλάιν.

Θεωρία γραφημάτων

Μεταξύ των απλών συνδεδεμένων γραφημάτων, το απλούστερο (με την έννοια ότι έχει τις λιγότερες οντότητες) που δέχεται την τετραδική ομάδα Κλάιν ως ομάδα αυτομορφισμών του είναι το γράφημα διαμαντιού που φαίνεται παρακάτω. Είναι επίσης η ομάδα αυτομορφισμών ορισμένων άλλων γραφημάτων που είναι απλούστερα από την άποψη ότι έχουν λιγότερες οντότητες. Αυτά περιλαμβάνουν το γράφημα με τέσσερις κορυφές και μία ακμή, το οποίο παραμένει απλό αλλά χάνει τη συνδεσιμότητα, και το γράφημα με δύο κορυφές που συνδέονται μεταξύ τους με δύο ακμές, το οποίο παραμένει συνδεδεμένο αλλά χάνει την απλότητά του.

Μουσική

Στη μουσική σύνθεση, η τετραδική είναι η βασική ομάδα μεταθέσεων στην τεχνική των Δωδεκαφθογγισμών. Στην περίπτωση αυτή, ο πίνακας Κέιλυ γράφεται ως εξής^[5]

S	I	R	RI
I	S	RI	R
R	RI	S	I
RI	R	I	S

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
Wolfram Mathematica Online Integrator
A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Linckelmann, Markus (24 Μαΐου 2018). The Block Theory of Finite Group Algebras:. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-58921-5.
Roggenkamp, K. W.· Taylor, M. J. (6 Δεκεμβρίου 2012). Group Rings and Class Groups. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-8611-6.
Adhikari, M. R.· Adhikari, A. (2003). Groups, Rings And Modules With Applications. Universities Press. ISBN 978-81-7371-429-0.
Benson, D. J. (18 Ιουνίου 1998). Representations and Cohomology: Volume 1, Basic Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63653-7.
Michler, Gerhard (21 Σεπτεμβρίου 2006). Theory of Finite Simple Groups. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86625-5.
Team, YCT Expert. 2024-25 TGT/PGT/LT-Grade/GIC Mathematics Chapter-wise Solved Papers 91 sets. Youth Competition Times.
Coronell, Daniel G. (15 Οκτωβρίου 2015). Introduction to MATLAB with Applications for Chemical and Mechanical Engineers. CRC Press. ISBN 978-1-58488-515-3.
Jordan, Camilla· Jordan, David (1 Ιουλίου 1994). Groups - Modular Mathematics Series. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-08-057165-2.
Finkelstein, David R. (6 Δεκεμβρίου 2012). Quantum Relativity: A Synthesis of the Ideas of Einstein and Heisenberg. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-60936-7.
Bhamri, V. K. Khanna & S. K. A Course in Abstract Algebra, 4th Edition. Vikas Publishing House. ISBN 978-93-259-6900-1.

Παραπομπές

↑ «Klein 4-group». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2025.
↑ Weisstein, Eric W. «Vierergruppe». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2025.
↑ Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (Lectures on the icosahedron and the solution of equations of the fifth degree)
↑ THE GEOMETRY OF THE EXCEPTIONAL LIE GROUPS.
↑ Babbitt, Milton. (1960) "Twelve-Tone Invariants as Compositional Determinants", Musical Quarterly 46(2):253 Special Issue: Problems of Modern Music: The Princeton Seminar in Advanced Musical Studies (April): 246–59, Oxford University Press

Fesenko, Ivan; Vostokov, Sergey (2002), Local Fields and their Extensions (2nd έκδοση), American Mathematical Society, ISBN 978-0-19-504030-2, https://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/ibf/book/book.html, ανακτήθηκε στις 2025-07-11
Fesenko, Ivan B.; Kurihara, Masato, επιμ.. (2000), Invitation to Higher Local Fields, Geometry & Topology Monographs, 3 (First έκδοση), University of Warwick: Mathematical Sciences Publishers, doi:10.2140/gtm.2000.3, ISSN 1464-8989,
Zbl 0954.00026
Joshi, K. D. (1997). Applied Discrete Structures. New Age International. ISBN 978-81-224-0826-3.
Neukirch, Jürgen (1986), Class field theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 280, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-15251-4, https://books.google.com/books?id=5_vuAAAAMAAJ
Serre, Jean-Pierre (1967), «Local class field theory», στο: Cassels, John William Scott; Fröhlich, Albrecht, επιμ., Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Thompson, Washington, D.C., σελ. 128–161, ISBN 978-0-9502734-2-6, https://books.google.com/books?id=DQP_RAAACAAJ
Jacobson, Nathan (8 Ιουνίου 2012). Basic Algebra II: Second Edition. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13521-2.
Kantor, I.L.; Solodovnikov, A.S. (1989), «Normed algebras with an identity. Hurwitz's theorem.», Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras (2nd έκδοση), Springer-Verlag, σελ. 121, ISBN 978-0-387-96980-0,
Zbl 0669.17001
, https://archive.org/details/hypercomplexnumb0000kant/page/121
Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of Numbers by Heinz-Dieter Ebbinghau et al., Springer, (ISBN 0-387-97202-1)
Springer, T. A.; F. D. Veldkamp (2000), Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66337-9
Manin, Ju. I. (1965). «The Hasse–Witt matrix of an algebraic curve». Transl., Ser. 2, Am. Math. Soc.. American Mathematical Society Translations: Series 2 45: 245–246. doi:10.1090/trans2/045/16. ISBN 978-0-8218-1745-2. ISSN 0065-9290.
Zbl 0148.28002
. (English translation of a Russian original)
Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
Zbl 0516.12001
, https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. en:Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023.
Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf.
Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8.
Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001.
Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11.
Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947

Πηγές

Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0.
Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
Zbl 1103.12002
DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7.
Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
Zbl 1206.51015
Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho
Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
Zbl 0516.12001
, https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt
Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

[1] «Klein 4-group». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2025.

[2] Weisstein, Eric W. «Vierergruppe». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2025.

[3] Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (Lectures on the icosahedron and the solution of equations of the fifth degree)

[4] THE GEOMETRY OF THE EXCEPTIONAL LIE GROUPS.

[5] Babbitt, Milton. (1960) "Twelve-Tone Invariants as Compositional Determinants", Musical Quarterly 46(2):253 Special Issue: Problems of Modern Music: The Princeton Seminar in Advanced Musical Studies (April): 246–59, Oxford University Press

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]