Μετάβαση στο περιεχόμενο

Ταυτότητα του Μπεζού

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στην θεωρία αριθμών, η ταυτότητα του Μπεζούλήμμα Μπεζού) είναι η ακόλουθη πρόταση:[1]:42[2]

Λήμμα (Ταυτότητα του Μπεζού) — Έστω και θετικοί ακέραιοι με μέγιστο κοινό διαιρέτη . Τότε, υπάρχουν ακέραιοι and τέτοιοι ώστε . Επιπλέον, όλοι οι ακέραιοι της μορφής είναι πολλαπλάσια του , για οποιουσδήποτε ακεραίους .

Οι ακέραιοι αριθμοί και λέγονται συντελεστές Μπεζού για τα , και δεν είναι μοναδικοί.

Ένα ζεύγος συντελεστών Μπεζού μπορεί να υπολογιστεί από τον εκτεταμένο αλγόριθμο του Ευκλείδη. Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Γάλλο μαθηματικό Ετιέν Μπεζού.

  • Για και που έχουν ΜΚΔ το , έχουμε ότι . Επομένως, και .
  • Για και που έχουν ΜΚΔ το , έχουμε ότι . Επομένως, και .

Η ταυτότητα του Μπεζού γενικεύεται για παραπάνω από δύο θετικούς ακεραίους:[3]:9

Λήμμα (Γενικευμένη ταυτότητα του Μπεζού) — Έστω θετικοί ακέραιοι με μέγιστο κοινό διαιρέτη . Τότε, υπάρχουν ακέραιοι , τέτοιοι ώστε

.
  1. Κ., Γκότσης. «Σημειώσεις Στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών» (PDF). Ανακτήθηκε στις 18 Μαρτίου 2023. 
  2. Ευάγγελος, Σπύρου. «Θεωρία Αριθμών» (PDF). Πανεπιστήμιο Ιωαννίων. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 25 Μαΐου 2022. Ανακτήθηκε στις 18 Μαρτίου 2023. 
  3. Συγκελάκης, Αλέξανδρος Γ. «Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο: Διαιρετότητα και Ισοτιμίες» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών & Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 18 Μαρτίου 2023.