Τανυστής τάσεων Cauchy

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Figure 2.3 Components of stress in three dimensions

Στη μηχανική συνεχούς μέσου, ο τανυστής τάσεων Cauchy \boldsymbol\sigma\,\! (ή πραγματικός τανυστής τάσεων) ή απλούστερα ο τανυστής τάσεων, που πήρε το όνομα από τον Augustin-Louis Cauchy, είναι ένας τανυστής 2ης τάξης, του τύπου (1,1) (ο οποίος είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός), με 9 συνιστώσες \sigma_{ij}\,\! ο οποίος προσδιορίζει επακριβώς την εντατική κατάσταση (τάσεις) σε ένα σημείο μέσα στο υλικό στην παραμορφωμένη κατάσταση. Ο τανυστής συσχετίζει ένα μοναδιαίο διάνυσμα κατεύθυνσης n με το διάνυσμα των τάσεων T(n) πάνω σε μία φανταστική επιφάνεια κάθετα στο n:

\mathbf{T}^{(\mathbf n)}= \mathbf n \cdot\boldsymbol{\sigma}\quad \text{or} \quad T_j^{(n)}= \sigma_{ij}n_i.\,\!

όπου,

\boldsymbol{\sigma}=
\left[{\begin{matrix}
\sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\
\sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\
\sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \\
\end{matrix}}\right]

\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\
\sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\
\sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\
\end{matrix}}\right]
\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\
\tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\
\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\
\end{matrix}}\right]
\,\!


Ο τανυστής τάσεων Cauchy υπακούει στο νόμο μετασχηματισμού τανυστών κάτω από αλλαγή στο σύστημα συντεταγμένων. Μια γραφική απεικόνιση αυτού του νόμου μετασχηματισμού, είναι ο κύκλος του Mohr για τις τάσεις.

Ο τανυστής τάσεων Cauchy χρησιμοποιείται για ανάλυση τάσεων υλικών σωμάτων που υπόκεινται σε μικρές παραμορφώσεις. Είναι καντρική ιδέα δτη γραμμική θεωρία ελαστικότητας. Για μεγάλες παραμορφώσεις, που αποκαλούνται επίσης και πεπερασμένες παραμορφώσεις, απαιτούνται άλλου είδους μετρήσεις των τάσεων, όπως ο τανυστής τάσεων Piola–Kirchhoff, ο τανυστής τάσεων Biot και ο τανυστής τάσεων Kirchhoff.

Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της γραμμικής ορμής, αν το συνεχές σώμα είναι σε στατική ισορροπία μπορεί να δειχτεί ότι οι συνιστώσες του τανυστής τάσεων Cauchy σε κάθε υλικό σημείο του σώματος ικανοποιεί τις εξισώσεις ισορροπίας (εξισώσεις κίνησης του Cauchy για μηδενική επιτάχυνση). Ταυτόχρονα, σύμφωνα με την αρχή διατήρηδης της στροφορμής, η ισορροπία απαιτεί το άθροισμα των ροπών σε ένα αυθαίρετο σημείο να είναι μηδέν, κάτι που οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο τανυστής τάσεων είναι συμμετρικός και συνεπώς έχει μόνο έξι ανεξάρτητες συνιστώσες τάσεων, αντί για τις αρχικές εννιά.

Υπάρχουν συγκεκριμένες αναλλοίωτες σχετικά με τον τανυστή τάσεων, των οποίων οι τιμές δεν εξαρτώνται από το σύστημα συντεταγμένων που επιλέγεται ή την επιφάνεια του στοιχείου πάνω στο οποίο εφαρμόζεται ο τανυστής τάσεων. Αυτές είναι οι τρεις ιδιοτιμές του τανυστή τάσεων, που αποκαλούνται κύριες τάσεις.


Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Cauchy stress tensor της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).