Σώμα συναρτήσεων μιας αλγεβρικής ποικιλίας

Στην αλγεβρική γεωμετρία, το σώμα συναρτήσεων μιας αλγεβρικής ποικιλίας V αποτελείται από αντικείμενα που ερμηνεύονται ως ρητές συναρτήσεις επί του V. Στην κλασική αλγεβρική γεωμετρία είναι λόγοι πολυωνύμων- στη μιγαδική γεωμετρία είναι οι μερομορφικές συναρτήσεις και τα υψηλότερης διάστασης ανάλογα τους- στη σύγχρονη αλγεβρική γεωμετρία είναι στοιχεία του σώματος κλασμάτων κάποιου πηλίκου δακτυλίου.

Ορισμός για μιγαδικές πολλαπλότητες

Στη μιγαδική γεωμετρία τα αντικείμενα μελέτης είναι οι μιγαδικές αναλυτικές ποικιλίες, στις οποίες έχουμε μια τοπική έννοια της μιγαδικής ανάλυσης, μέσω της οποίας μπορούμε να ορίσουμε μερομορφικές συναρτήσεις. Το σώμα συναρτήσεων μιας ποικιλίας είναι τότε το σύνολο όλων των μερομορφικών συναρτήσεων πάνω στην ποικιλία. (Όπως όλες οι μερομορφικές συναρτήσεις, αυτές παίρνουν τις τιμές τους στο $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$). Μαζί με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των συναρτήσεων, πρόκειται για ένα σώμα με την έννοια της άλγεβρας.

Για τη σφαίρα του Ρίμαν, που είναι η ποικιλία $\mathbb {P} ^{1}$ πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς, οι ολικές μερομορφικές συναρτήσεις είναι ακριβώς οι ρητές συναρτήσεις (δηλαδή οι λόγοι των μιγαδικών πολυωνυμικών συναρτήσεων).

Γενίκευση σε αυθαίρετο σχήμα

Στο πιο γενικό πλαίσιο, αυτό της σύγχρονης θεωρίας σχημάτων, η τελευταία από τις παραπάνω απόψεις λαμβάνεται ως αφετηρία. Δηλαδή, αν το $X$ είναι ένα ολοκληρωτικό σχήμα, τότε για κάθε ανοικτό αφινικό υποσύνολο $U$ του $X$ ο δακτύλιος των τμημάτων ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ στο $U$ είναι μια ακέραια περιοχή και, επομένως, έχει ένα σώμα κλασμάτων. Επιπλέον, μπορεί να επαληθευτεί ότι αυτά είναι όλα τα ίδια και είναι όλα ίσα με το στέλεχος του γενικού σημείου του $X$. Έτσι, το σώμα συναρτήσεων του $X$ είναι ακριβώς ο μίσχος του γενικού του σημείου.

Γεωμετρία του σώματος συναρτήσεων

Αν V είναι μια ποικιλία που ορίζεται πάνω σε ένα σώμα K, τότε το συναρτησιακό σώμα K(V) είναι πεπερασμένη επέκταση του βασικού σώματος K- ο βαθμός υπερβατότητάς του είναι ίσος με τη διάσταση της ποικιλίας. Όλες οι επεκτάσεις του K που παράγονται πεπερασμένα ως σώματα πάνω στο K προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο από κάποια αλγεβρική ποικιλία. Αυτές οι επεκτάσεις σωμάτων είναι επίσης γνωστές ως αλγεβρικά σώματα συναρτήσεων πάνω από το K.

Ιδιότητες της ποικιλίας V που εξαρτώνται μόνο από το σώμα συναρτήσεων μελετώνται στη δίρρητη ή αμφίρρητη γεωμετρία.

Παραδείγματα

Το σώμα συναρτήσεων ενός σημείου πάνω από το K είναι το K .

Το σώμα συναρτήσεων της αφινικής γραμμής πάνω από το K είναι ισόμορφο με το σώμα K(t) των ρητών συναρτήσεων σε μία μεταβλητή. Αυτό είναι επίσης το σώμα συναρτήσεων της προβολικής γραμμής.

Ας θεωρήσουμε την αλγεβρική επίπεδη καμπύλη που ορίζεται από την εξίσωση $y^{2}=x^{5}+1$. Το σώμα συναρτήσεων της είναι το σώμα K(x,y), το οποίο παράγεται από στοιχεία x καιy που είναι υπερβατικά πάνω στο K και ικανοποιούν την αλγεβρική σχέση $y^{2}=x^{5}+1$.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Σώμα διασπάσεως
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Νοεροί υπολογισμοί

Βιβλιογραφία

• Hodge, William Vallance Douglas· Pedoe, Daniel (1994). Methods of Algebraic Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46775-9. 
• Caporaso, Lucia (19 Μαρτίου 2012). Current Developments in Algebraic Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76825-2. 
• School, Clay Mathematics Institute Summer (2009). Arithmetic Geometry: Clay Mathematics Institute Summer School, Arithmetic Geometry, July 17-August 11, 2006, Mathematisches Institut, Georg-August-Universität, Göttingen, Germany. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4476-2. 
• Moh, Tzuong-tsieng (18 Φεβρουαρίου 2022). Introduction To Algebraic Coding Theory. World Scientific. ISBN 978-981-12-2098-2. 
• Auel, Asher· Hassett, Brendan (2 Μαρτίου 2017). Brauer Groups and Obstruction Problems: Moduli Spaces and Arithmetic. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-46852-5. 
• Gasbarri, Carlo· Lu, Steven (22 Δεκεμβρίου 2015). Rational Points, Rational Curves, and Entire Holomorphic Curves on Projective Varieties. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-1458-0. 
• Cleveland, Tristin (11 Απριλίου 2018). Number Theory. Scientific e-Resources. ISBN 978-1-83947-326-5. 
• Fresnel, Jean· Put, Marius van der (6 Νοεμβρίου 2003). Rigid Analytic Geometry and Its Applications. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4206-8. 
• Artin, Michael (21 Σεπτεμβρίου 2022). Algebraic Geometry: Notes on a Course. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7111-8. 
• Böckle, Gebhard· Pink, Richard (2009). Cohomological Theory of Crystals Over Function Fields. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-074-6. 

Παραπομπές

• Baez, John C. (2002), «The octonions», Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2): 145–205, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ 
• Conway, John H.; Smith, Derek A. (2003), On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry, A K Peters, ISBN 978-1568811345 
• Kantor, I.L.; Solodovnikov, A.S. (1989), «Normed algebras with an identity. Hurwitz's theorem.», Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras (2nd έκδοση), Springer-Verlag, σελ. 121, ISBN 978-0-387-96980-0, , https://archive.org/details/hypercomplexnumb0000kant/page/121 
• Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of Numbers by Heinz-Dieter Ebbinghau et al., Springer, (ISBN 0-387-97202-1)
• Springer, T. A.; F. D. Veldkamp (2000), Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66337-9 
• Manin, Ju. I. (1965). «The Hasse–Witt matrix of an algebraic curve». Transl., Ser. 2, Am. Math. Soc.. American Mathematical Society Translations: Series 2 45: 245–246. doi:10.1090/trans2/045/16. ISBN 978-0-8218-1745-2. ISSN 0065-9290. .  (English translation of a Russian original)
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. en:Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023. 
• Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf. 
• Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8. 
• Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001. 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 
• Šafarevič, I. R. (1951), A new proof of the Kronecker-Weber theorem, Trudy Mat. Inst. Steklov., 38, Moscow: Izdat. Akad. Nauk SSSR, σελ. 382–387, http://mi.mathnet.ru/eng/tm/v38/p382 

Πηγές

• Parshall, K. H. (1983). «In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H M Wedderburn, Leonard Dickson, and Oswald Veblen». Archives of International History of Science 33: 274–99. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.