Σώμα διασπάσεως

Στην αφηρημένη άλγεβρα, ένα σώμα διασπάσεως ή σώμα ριζών σε ένα πολυώνυμο με συντελεστές σε ένα σώμα είναι η μικρότερη επέκταση του σώματος αυτού στο οποίο το πολυώνυμο διασπάται, δηλαδή διασπάται σε γραμμικούς παράγοντες.

Ορισμός

Ένα σώμα διασπάσεως ενός πολυωνύμου p(X) πάνω σε ένα σώμα K είναι μια επέκταση L του K πάνω στην οποία το p αναλύεται σε γραμμικούς παράγοντες.

$p(X)=c\prod _{i=1}^{\deg p}(X-a_{i})$

όπου $c\in K$ και για κάθε $i$ έχουμε $X-a_{i}\in L[X]$ με τα a_iνα μην είναι απαραίτητα διαφορετικά και έτσι ώστε οι ρίζες a_i να δημιουργούν L πάνω από το K. Η επέκταση L είναι τότε μια επέκταση ελάχιστουβαθμού πάνω από το K στην οποία διασπάται το p. Μπορεί να αποδειχθεί ότι τέτοια σώματα διασπάσεως υπάρχουν και είναι μοναδικά μέχρι ισομορφισμού. Η ποσότητα ελευθερίας σε αυτόν τον ισομορφισμό είναι γνωστή ως η ομάδα Γκαλουά του p (αν υποθέσουμε ότι είναι διαχωρίσιμη).

Το σώμα διασπάσεως ενός συνόλου P πολυωνύμων είναι το μικρότερο σώμα πάνω στο οποίο κάθε ένα από τα πολυώνυμα του P διασπάται.

Ιδιότητες

Μια επέκταση L που είναι σώμα διασπάσεως για ένα σύνολο πολυωνύμων p(X) πάνω από το K ονομάζεται κανονική επέκταση του K.

Δεδομένου ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος A που περιέχει το K, υπάρχει ένα μοναδικό σώμα διασπάσεως L του p μεταξύ του K και του A, το οποίο παράγεται από τις ρίζες του p. Αν το K είναι υποσώμα των μιγαδικών αριθμών, η ύπαρξη είναι άμεση. Από την άλλη πλευρά, η ύπαρξη των αλγεβρικών κλειστοτήτων γενικά αποδεικνύεται συχνά με 'πέρασμα στο όριο' από το αποτέλεσμα της διασπάσεως του σώματος, το οποίο επομένως απαιτεί μια ανεξάρτητη απόδειξη για την αποφυγή κυκλικών συλλογισμών.

Δεδομένης μιας διαχωρίσιμης επέκτασης K′ του K, μια κλειστότητα Γκαλουά L of K′ είναι ένας τύπος σώματος διασπάσεως, και επίσης μια επέκταση Γκαλουά του K που περιέχει το K′ που είναι ελάχιστη, με μια προφανή έννοια. Μια τέτοια κλειστότητα Γκαλουά θα πρέπει να περιέχει ένα σώμα διασπάσεως για όλα τα πολυώνυμα p πάνω στο K που είναι ελάχιστα πολυώνυμα πάνω στο K των στοιχείων του K′.

Κατασκευή σωμάτων διασπάσεως

Κίνητρο

Η εύρεση των ριζών πολυωνύμων αποτελεί σημαντικό πρόβλημα από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων. Ορισμένα πολυώνυμα, ωστόσο, όπως το x² + 1 στο R, τους πραγματικούς αριθμούς, δεν έχουν ρίζες. Κατασκευάζοντας το σώμα διασπάσεως για ένα τέτοιο πολυώνυμο μπορεί κανείς να βρει τις ρίζες του πολυωνύμου στο νέο σώμα.

Η κατασκευή

Έστω F ένα σώμα και p(X) ένα πολυώνυμο στον πολυωνυμικό δακτύλιο F[X] βαθμού n. Η γενική διαδικασία για την κατασκευή του K, του σωμάτος διαπάσεως του p(X) πάνω στο F, είναι να κατασκευάσουμε μια αλυσίδα σωμάτων $F=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{r-1}\subseteq K_{r}=K$ έτσι ώστε το K_i να είναι μια επέκταση του K_i −1 που περιέχει μια νέα ρίζα του p(X). Εφόσον η p(X) έχει το πολύ n ρίζες, η κατασκευή θα απαιτήσει το πολύ n επεκτάσεις. Τα βήματα για την κατασκευή του K_i δίνονται ως εξής:

• Παραγοντοποίηση του p(X) πάνω στο K_i σε μη αναγώγιμους παράγοντες $f_{1}(X)f_{2}(X)\cdots f_{k}(X)$.
• Επιλέγουμε οποιονδήποτε μη γραμμικό μη αναγώγιμο παράγοντα f(X).
• Κατασκευάζουμε την επέκταση του σώματος K_i +1 of K_i ως το πηλίκο του δακτυλίου

K_i +1 = K_i[X] / (f(X)) όπου (f(X)) υποδηλώνει το ιδεώδες στο K_i[X] που παράγεται από f(X).

• Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για το K_i +1 έως ότου το p(X) γίνει πλήρως συντελεστής.

Ο μη αναγώγιμος παράγοντας f(X) που χρησιμοποιείται στην κατασκευή του πηλίκου μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα. Αν και διαφορετικές επιλογές παραγόντων μπορεί να οδηγήσουν σε διαφορετικές ακολουθίες υποσωμάτων, τα προκύπτοντα σώματα διασπάσεως θα είναι ισόμορφα.

Εφόσον η f(X) είναι μη αναγώγιμη, η , (f(X)) είναι μεγίστη ιδεώδης του K_i[X] και K_i[X] / (f(X)) είναι, στην πραγματικότητα, ένα σώμα, το σώμα καταλοίπων για την εν λόγω μεγίστη ιδεώδη. Επιπλέον, αν αφήσουμε $\pi :K_{i}[X]\to K_{i}[X]/(f(X))$ είναι η φυσική προβολή του δακτυλίου στο πηλίκο του, τότε

$f(\pi (X))=\pi (f(X))=f(X)\ {\bmod {\ }}f(X)=0$

άρα η π(X) είναι ρίζα της f(X) και της p(X).

Ο βαθμός μιας ενιαίας επέκτασης $[K_{i+1}:K_{i}]$ είναι ίσος με τον βαθμό του μη αναγώγιμου παράγοντα f(X). Ο βαθμός της επέκτασης [K : F] δίνεται από $[K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]$ και είναι το πολύ n!.

Το σώμα K_i[X]/(f(X))

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, πηλίκο του δακτυλίου K_i +1 = K_i[X]/(f(X)) είναι σώμα όταν το f(X) είναι μη αναγώγιμο. Τα στοιχεία του είναι της μορφής

$c_{n-1}\alpha ^{n-1}+c_{n-2}\alpha ^{n-2}+\cdots +c_{1}\alpha +c_{0}$

όπου τα c_j είναι στο K_i και α = π(X). (Αν θεωρήσουμε το K_i +1 ως διανυσματικό χώρο πάνω από το K_i τότε οι δυνάμεις α^j για 0 ≤ j ≤ n−1 σχηματίζουν μια βάση.)

Τα στοιχεία του K_i +1 μπορούν να θεωρηθούν ως πολυώνυμα στο α με βαθμό μικρότερο από n. Η πρόσθεση στο K_i +1 δίνεται από τους κανόνες για την πολυωνυμική πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δίνεται από τον πολυωνυμικό πολλαπλασιασμό modulo f(X). Δηλαδή, για τα g(α) και h(α) στο K_i +1 το γινόμενό τους είναι g(α)h(α) = r(α) όπου r(X) είναι το υπόλοιπο του g(X)h(X) όταν διαιρείται με το f(X) in K_i[X].

Το υπόλοιπο r(X) μπορεί να υπολογιστεί μέσω πολυωνυμικής μακράς διαίρεσης- ωστόσο υπάρχει επίσης ένας απλός κανόνας αναγωγής που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον άμεσο υπολογισμό του r(α) = g(α)h(α). Πρώτα έστω

$f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}.$

Το πολυώνυμο είναι πάνω σε ένα σώμα, οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το f(X) είναι μονικό χωρίς απώλεια της γενικότητας. Τώρα το α είναι μια ρίζα του f(X), οπότε

$\alpha ^{n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}).$

Εάν το γινόμενο g(α)h(α) έχει όρο α^m με m ≥ n μπορεί να ελαττωθεί ως εξής:

$\alpha ^{n}\alpha ^{m-n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0})\alpha ^{m-n}=-(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha ^{m-n+1}+b_{0}\alpha ^{m-n})$.

Ως παράδειγμα του κανόνα αναγωγής, ας πάρουμε K_i = Q[X], τον δακτύλιο των πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές, και ας πάρουμε f(X) = X⁷ − 2. Έστω $g(\alpha )=\alpha ^{5}+\alpha ^{2}$ και h(α) = α³ +1 δύο στοιχεία του Q[X]/(X⁷ − 2). Ο κανόνας αναγωγής που δίνεται από την f(X) είναι α⁷ = 2 so

$g(\alpha )h(\alpha )=(\alpha ^{5}+\alpha ^{2})(\alpha ^{3}+1)=\alpha ^{8}+2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=(\alpha ^{7})\alpha +2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}+2\alpha .$

Οι μιγαδικοί αριθμοί

Ας θεωρήσουμε τον πολυωνυμικό δακτύλιο R[x], αι το μη αναγώγιμο πολυώνυμο x² + 1. Το πηλίκο του δακτυλίου R[x] / (x² + 1) δίνεται από την ισοδυναμία x² ≡ −1. Ως αποτέλεσμα, τα στοιχεία (ή οι κλάσεις ισοδυναμίας) του R[x] / (x² + 1) είναι της μορφής a + bx όπου τα a και b ανήκουν στον R. To Για να το δούμε αυτό, παρατηρούμε ότι αφού x² ≡ −1 προκύπτει ότι x³ ≡ −x, x⁴ ≡ 1, x⁵ ≡ x, και έτσι, λόγου χάριν p + qx + rx² + sx³ ≡ p + qx + r(−1) + s(−x) = (p − r) + (q − s)x.

Οι πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού δίνονται χρησιμοποιώντας αρχικά τη συνηθισμένη πολυωνυμική πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, αλλά στη συνέχεια μειώνοντας modulo x² + 1, δηλαδή χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι x² ≡ −1, x³ ≡ −x, x⁴ ≡ 1, x⁵ ≡ x, κτλ... Συνεπώς:

$(a_{1}+b_{1}x)+(a_{2}+b_{2}x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})x,$

$(a_{1}+b_{1}x)(a_{2}+b_{2}x)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x+(b_{1}b_{2})x^{2}\equiv (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x\,.$

Αν ταυτίσουμε το a + bx με το (a,b) τότε βλέπουμε ότι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δίνονται από τις σχέσεις

$(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),$

$(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).$

Υποστηρίζεται ότι, ως σώμα, το πηλίκο R[x] / (x² + 1) είναι ισόμορφο με τους μιγαδικούς αριθμούς, C. Ένας γενικός μιγαδικός αριθμός είναι της μορφής a + bi, όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί και i² = −1. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δίνονται από

$(a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}),$

$(a_{1}+b_{1}i)\cdot (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).$

Αν ταυτίσουμε το a + bi με το (a, b) τότε βλέπουμε ότι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δίνονται από τις σχέσεις

$(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),$

$(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).$

Οι προηγούμενοι υπολογισμοί δείχνουν ότι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο στο R[x] / (x² + 1) και στο C. Στην πραγματικότητα, βλέπουμε ότι η απεικόνιση μεταξύ του R[x] / (x² + 1) και του C που δίνεται από a + bx → a + bi είναι ένας ομομορφισμός ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Είναι επίσης προφανές ότι η απεικόνιση a + bx → a + bi είναι τόσο ερριπτική όσο και  επιρριπτική - που σημαίνει ότι a + bx → a + bi είναι ένας αμφιρριπτικός ομοιομορφισμός, δηλαδή ένας ισομορφισμός. Προκύπτει ότι, όπως υποστηρίζεται R[x] / (x² + 1) ≅ C.

Το 1847, ο Κωσύ χρησιμοποίησε αυτή την προσέγγιση για να ορίσει τους μιγαδικούς αριθμούς.

Κυβικό παράδειγμα

Έστω K το σώμα ρητών αριθμών Q και p(x) = x³ − 2. Κάθε ρίζα του p ισούται με ³√2 φορές μια κυβική ρίζα της μονάδας. Επομένως, αν συμβολίσουμε τις κυβικές ρίζες της μονάδας με

$\omega _{1}=1,\,$

$\omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,$

$\omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.$

κάθε σώμα που περιέχει δύο διαφορετικές ρίζες του p θα περιέχει το πηλίκο μεταξύ δύο διαφορετικών κυβικών ριζών της μονάδας. Ένα τέτοιο πηλίκο είναι μια πρωταρχική κυβική ρίζα της μονάδας - είτε $\omega _{2}$ είτε $\omega _{3}=1/\omega _{2}$. Προκύπτει ότι ένα σώμα διασπάσεως L του p θα περιέχει την ω₂, aκαθώς και την πραγματική κυβική ρίζα του 2; Αντίστροφα, κάθε επέκταση του Q που περιέχει αυτά τα στοιχεία περιέχει όλες τις ρίζες του p.

$L=\mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{2}}^{2}+d\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}\omega _{2}+f{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\omega _{2}\mid a,b,c,d,e,f\in \mathbf {Q} \}$

Ας σημειωθεί ότι εφαρμόζοντας τη διαδικασία κατασκευής που περιγράφηκε στην προηγούμενη ενότητα σε αυτό το παράδειγμα, ξεκινάμε με $K_{0}=\mathbf {Q}$ και κατασκευάζεται το σώμα $K_{1}=\mathbf {Q} [X]/(X^{3}-2)$. Το σώμα αυτό δεν είναι το σώμα διασπάσεως, αλλά περιέχει μία (οποιαδήποτε) ρίζα. Ωστόσο, το πολυώνυμοl $Y^{3}-2$ είναι μη αναγώγιμο πάνω από το $K_{1}$ και μάλιστα:

$Y^{3}-2=(Y-X)(Y^{2}+XY+X^{2}).$

Ας σημειωθεί ότι το$X$ δεν είναι απροσδιόριστο και είναι στην πραγματικότητα ένα στοιχείο του $K_{1}$. Τώρα, συνεχίζοντας τη διαδικασία, λαμβάνουμε$K_{2}=K_{1}[Y]/(Y^{2}+XY+X^{2})$, το οποίο είναι πράγματι το σώμα διασπάσεως

και καλύπτεται από το $\mathbf {Q}$-βάση $\{1,X,X^{2},Y,XY,X^{2}Y\}$.Ας σημειωθεί ότι αν το συγκρίνουμε αυτό με το $L$ πό παραπάνω μπορούμε να ταυτοποιήσουμε $X={\sqrt[{3}]{2}}$ κα το $Y=\omega _{2}$.

Άλλα παραδείγματα

• Το σώμα διασπάσεως του x^q − x πάνω από το F_p είναι το μοναδιαίο πεπερασμένο σώμα F_q για q = pⁿ. Μερικές φορές το σώμα αυτό συμβολίζεται με GF(q).

• Το σώμα διασπάσεως του x² + 1 πάνω από το F₇ είναι το F₄₉; το πολυώνυμο δεν έχει ρίζες στο F₇,δηλαδή το, −1 δεν είναι τετράγωνο εκεί, επειδή το 7 δεν είναι ισοδύναμο το 1 modulo 4.

• Το σώμα διασπάσεως του x² − 1 πάνω από το F₇ είναι το F₇ αφού το x² − 1 = (x + 1)(x − 1) ήδη διασπάται σε γραμμικούς παράγοντες.

• Υπολογίζουμε το σώμα διασπάσεως της f(x) = x³ + x + 1 πάνω από το F₂. Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι η f(x) δεν έχει ρίζες στο F₂; επομένως η f(x) είναι μη αναγώγιμη στο F₂[x]. Ας βάλουμε r = x + (f(x)) στο F₂[x]/(f(x)) οπότε το F₂(r ) είναι σώμα και x³ + x + 1 = (x + r)(x² + ax + b) στο F₂(r )[x]. Ας σημειωθεί ότι μπορούμε να γράψουμε + για - αφού η χαρακτηριστική είναι δύο. Η σύγκριση των συντελεστών δείχνει ότι a = r και b = 1 + r². Τα στοιχεία του F₂(r ) μπορούν να απαριθμηθούν ως c + dr + er², όπου τα c, d, e βρίσκονται στο F₂. Υπάρχουν οκτώ στοιχεία: 0, 1, r, 1 + r, r², 1 + r², r + r² και 1 + r + r². Αντικαθιστώντας αυτά στο x² + rx + 1 + r² καταλήγουμε στο (r²)² + r(r²) + 1 + r² = r⁴ + r³ + 1 + r² = 0, επομένως x³ + x + 1 = (x + r)(x + r²)(x + (r + r²)) for r in F₂[x]/(f(x)); E = F₂(r ) iείναι ένα σώμα διασπάσεως
• του x³ + x + 1 πάνω στο F₂.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Διδιάστατος χώρος
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Διάσταση Κρουλ
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Hungerford, Thomas W. (6 Δεκεμβρίου 2012). Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-6101-8. 
• <ref>Cohn, P. M. (6 Δεκεμβρίου 2012). Basic Algebra: Groups, Rings and Fields. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-85729-428-9. 
• Lovett, Stephen (5 Ιουλίου 2022). Abstract Algebra: A First Course. CRC Press. ISBN 978-1-000-60544-0. 
• Roman, Steven (17 Νοεμβρίου 2005). Field Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-27677-9. 
• Levin, Alexander (19 Απριλίου 2008). Difference Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-6947-5. 
• Scherk, John (3 Οκτωβρίου 2018). Algebra: A Computational Introduction. CRC Press. ISBN 978-1-351-98968-8. 
• Saltman, David J. Lectures on Division Algebras. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8938-1. 
• Βιβλία Google. World Scientific. 
• Lanski, Charles. Concepts in Abstract Algebra. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7428-8. 
• Algebra. Academic Press. 1 Νοεμβρίου 1983. ISBN 978-0-08-087429-6. 

Παραπομπές

• Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Lam, T. Y. (2005), «Chapter VIII section 4: Pythagorean fields», Introduction to quadratic forms over fields, en:Graduate Studies in Mathematics, 67, Providence, R.I.: American Mathematical Society, σελ. 255–264, ISBN 978-0-8218-1095-8, https://books.google.com/books?id=YvyOLDeOYQgC 
• Martin, George E. (1998), Geometric Constructions, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98276-0 
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 73, en:Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X,  
• Rajwade, A. R. (1993), Squares, London Mathematical Society Lecture Note Series, 171, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42668-5,  

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0