Σύμπαν του Γκρότεντικ

Στα μαθηματικά, ένα σύμπαν Γκρότεντικ είναι ένα σύνολο U με τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Εάν x είναι στοιχείο του U και «y» είναι στοιχείο του x, τότε y είναι επίσης στοιχείο του U. (U είναι ένα μεταβατικό σύνολο.)
2. Εάν τα x και y είναι και τα δύο στοιχεία του U, τότε το $\{x,y\}$ είναι στοιχείο του U.
3. Εάν το x είναι στοιχείο του U, τότε το P(x), το δυναμικό σύνολο του x, είναι επίσης στοιχείο του U.
4. Εάν $\{x_{\alpha }\}_{\alpha \in I}$ είναι μια οικογένεια στοιχείων του U και εάν I είναι ένα στοιχείο του U, τότε η ένωση ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}x_{\alpha }}$ είναι ένα στοιχείο του U.

Ένα σύμπαν Γκρότεντικ έχει ως στόχο να παρέχει ένα σύνολο στο οποίο μπορούν να εκτελεστούν όλες οι μαθηματικές πράξεις. (Στην πραγματικότητα, τα αμέτρητα σύμπαντα Γκρότεντικ παρέχουν πρότυπα της θεωρίας συνόλων με τη φυσική σχέση ∈, τη φυσική πράξη του συνόλου των δυνάμεων κ.λπ.). Τα στοιχεία ενός σύμπαντος Γκρότεντικ ονομάζονται μερικές φορές μικρά σύνολα. Η ιδέα των σύμπαντων οφείλεται στον Αλεξάντερ Γκρότεντικ, ο οποίος τα χρησιμοποίησε ως τρόπο αποφυγής των κατάλληλων κλάσεων στην αλγεβρική γεωμετρία. Η αρχική πρόταση του Γκρότεντικ ήταν να προστεθεί το ακόλουθο αξίωμα των σύμπαντων στα συνήθη αξιώματα της θεωρίας συνόλων: Για κάθε σύνολο $s$, υπάρχει ένα σύμπαν $U$ που περιέχει το $s$, δηλαδή $s\in U$.

Η ύπαρξη ενός μη τετριμμένου σύμπαντος Γκρότεντικ υπερβαίνει τα συνήθη αξιώματα της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φρένκελ-Ιδιαίτερα, θα συνεπαγόταν την ύπαρξη ισχυρά απρόσιτων πληθικών. Η θεωρία συνόλων Τάρσκι-Γκρότεντικ είναι μια αξιωματική προσέγγιση της θεωρίας συνόλων, που χρησιμοποιείται σε ορισμένα συστήματα αυτόματης απόδειξης, στα οποία κάθε σύνολο ανήκει σε ένα σύμπαν Γκρότεντικ. Η έννοια του σύμπαντος Γκρότεντικ μπορεί επίσης να οριστεί σε ένα τόπο.

Ιδιότητες

Ως παράδειγμα, μπορούμε να αποδείξουμε μια απλή πρόταση.

Πρόταση. Αν $x\in U$ και $y\subseteq x$, τότε $y\in U$.

Απόδειξη. $y\in P(x)$ επειδή $y\subseteq x$. $P(x)\in U$ επειδή $x\in U$, οπότε $y\in U$.

Είναι εξίσου εύκολο να αποδειχθεί ότι κάθε σύμπαν Γκρότεντικ U περιέχει:

• Όλα τα μονοσύνολα κάθε στοιχείου του,
• Όλα τα γινόμενα όλων των οικογενειών στοιχείων του U που ευρετηριάζονται από ένα στοιχείο του U,
• Όλες οι ασύνδετες ενώσεις όλων των οικογενειών στοιχείων του U που ευρετηριάζονται από ένα στοιχείο του U,
• Όλες οι τομές όλων των οικογενειών από στοιχεία του U που ευρετηριάζονται από ένα στοιχείο του U ,
• Όλες οι συναρτήσεις μεταξύ οποιωνδήποτε δύο στοιχείων του U, και
• Όλα τα υποσύνολα του U των οποίων ο πληθικός είναι στοιχείο του U.

Συγκεκριμένα, από το τελευταίο αξίωμα προκύπτει ότι αν το U δεν είναι κενό, πρέπει να περιέχει όλα τα πεπερασμένα υποσύνολά του και ένα υποσύνολο κάθε πεπερασμένη πληθικότητα. Επίσης μπορεί κανείς να αποδείξει άμεσα από τους ορισμούς ότι η τομή οποιασδήποτε κλάσης σύμπαντων είναι ένα σύμπαν.

Σύμπαντα Γκρότεντικ και απρόσιτοι πληθικοί

Υπάρχουν δύο απλά παραδείγματα συμπάντων Γκρότεντικ:

• Το κενό σύνολο, και
• Το σύνολο όλων των κληρονομικά πεπερασμένων συνόλων $V_{\omega }$.

Άλλα παραδείγματα είναι πιο δύσκολο να κατασκευαστούν. Σε γενικές γραμμές, αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα σύμπαντα Γκρότεντικ είναι ισοδύναμα με ισχυρά απρόσιτους πληθικούς. Πιο τυπικά, τα ακόλουθα δύο αξιώματα είναι ισοδύναμα:

(U) Για κάθε σύνολο x, υπάρχει ένα σύμπαν Γκρότεντικ U τέτοιο ώστε x ∈ U.

(C) Για κάθε πληθικό κ, υπάρχει ένα ισχυρά απρόσιτο πληθικό λ που είναι αυστηρά μεγαλύτερο από το κ.

Για να αποδειχθεί αυτό το γεγονός, εισάγουμε τη συνάρτηση c(U). Ορίζουμε:

$\mathbf {c} (U)=\sup _{x\in U}|x|$

όπου με |x| εννοούμε την πληθικότητα του x. Τότε, για οποιοδήποτε σύμπαν U, c(U) είναι είτε μηδέν είτε ισχυρά απρόσιτο. Υποθέτοντας ότι είναι διαφορετικό από το μηδέν, είναι ένα ισχυρό όριο πληθικού, επειδή το δυναμικό σύνολο οποιουδήποτε στοιχείου του U είναι ένα στοιχείο του U και κάθε στοιχείο του U είναι ένα υποσύνολο του U. Για να διαπιστώσουμε ότι είναι κανονική, ας υποθέσουμε ότι c_λ είναι μια συλλογή πληθικών που ευρετηριάζονται από το I, όπου η πληθικότητα του I και κάθε c_λ είναι μικρότερη από c(U). Τότε, σύμφωνα με τον ορισμό του c(U), το I και κάθε c_λ μπορούν να αντικατασταθούν από ένα στοιχείο του U. Η ένωση των στοιχείων του U που ευρετηριάζονται από ένα στοιχείο του U είναι ένα στοιχείο του U, οπότε το άθροισμα του c_λ έχει την πληθικότητα ενός στοιχείου του U, και επομένως είναι μικρότερο από το c(U). Επικαλούμενοι το αξίωμα της θεμελίωσης, ότι κανένα σύνολο δεν περιέχεται στον εαυτό του, μπορεί να αποδειχθεί ότι το c(U) ισούται με το |U|; Όταν το αξίωμα της θεμελίωσης δεν ισχύει, υπάρχουν αντιπαραδείγματα (μπορούμε παραδείγματος χάριν να θεωρήσουμε το U ως το σύνολο όλων των πεπερασμένων συνόλων πεπερασμένων συνόλων κ.ο.κ. των συνόλων x_α όπου ο δείκτης α είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός και x_α = {x_α} για κάθε α. Τότε το U έχει την πληθικότητα του συνεχούς, αλλά όλα τα μέλη του έχουν πεπερασμένη πληθικότητα και έτσι $\mathbf {c} (U)=\aleph _{0}$ ; βλ. το άρθρο του Μπουρμπάκι για περισσότερες λεπτομέρειες).

Ας υποθέσουμε ότι κ είναι ένας ισχυρά απρόσιτος πληθικός. Ας πούμε ότι ένα σύνολο S είναι αυστηρά τύπου κ αν για οποιαδήποτε ακολουθία s_n ∈ ... ∈ s₀ ∈ S, |s_n| < κ. (Το ίδιο το S αντιστοιχεί στην κενή ακολουθία.) Τότε το σύνολο u(κ) όλων των συνόλων αυστηρά τύπου κ είναι ένα σύμπαν Γκρότεντικ πληθικότητας κ. Η απόδειξη αυτού του γεγονότος είναι μακρά, οπότε για λεπτομέρειες παραπέμπουμε και πάλι στο άρθρο του Μπουρμπάκι, που αναφέρεται στις αναφορές.

Για να δείξουμε ότι το αξίωμα του μεγάλου πληθικού (C) συνεπάγεται το αξίωμα του σύμπαντος (U), ας επιλέξουμε ένα σύνολο x. Ας είναι x₀ = x, και για κάθε n, ας είναι $x_{n+1}=\bigcup x_{n}$ η ένωση των στοιχείων του x_n. Ας υποθέσουμε ότι y = $\bigcup _{n}x_{n}$. By (C), υπάρχει ένας ισχυρά απρόσιτος πληθικός αριθμός κ τέτοιος ώστεt |y| < κ. Ας υποθέσουμε ότι u(κ) είναι το σύμπαν της προηγούμενης παραγράφου. Το x είναι αυστηρά τύπου κ, οπότε x ∈ u(κ). Για να δείξουμε ότι το αξίωμα του σύμπαντος (U) συνεπάγεται το αξίωμα του μεγάλου πληθικού αριθμού (C), ας επιλέξουμε έναν πληθικό αριθμόl κ. Το κ είναι ένα σύνολο, οπότε είναι στοιχείο ενός σύμπαντος Γκρότεντικ U. Η πληθικότητα του U είναι ισχυρά απρόσιτη και αυστηρά μεγαλύτερη από εκείνη του κ.

Στην πραγματικότητα, κάθε σύμπαν Γκρότεντικ έχει τη μορφή u(κ) για κάποιο κ. Αυτό δίνει μια άλλη μορφή ισοδυναμίας μεταξύ των συμπάντων Γκρότεντικ και των ισχυρά απρόσιτων πληθικών αριθμών:

Για κάθε σύμπαν Γκρότεντικ U, το |U| είναι είτε μηδέν, $\aleph _{0}$, είτε ένας ισχυρά απρόσιτος πληθικός αριθμός. Και αν κ είναι μηδέν, $\aleph _{0}$, oή ένας ισχυρά απρόσιτος πληθικός αριθμός, τότε υπάρχει ένα σύμπαν Γκρότεντικ ⁠$u(\kappa )$⁠. Επιπλέον, u(|U|) = U, και |u(κ)| = κ.

Δεδομένου ότι η ύπαρξη ισχυρά απρόσιτων πληθικών αριθμών δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ (ZFC), η ύπαρξη σύμπαντων εκτός από το κενό σύνολο και το $V_{\omega }$ δεν μπορεί να αποδειχθεί ούτε από το ZFC. Ωστόσο, οι ισχυρά απρόσιτοι πληθικοί αριθμοί βρίσκονται στο κάτω άκρο της λίστας των μεγάλων πληθικών αριθμών. Έτσι, οι περισσότερες θεωρίες συνόλων που χρησιμοποιούν μεγάλους πληθικούς αριθμούς (όπως "ZFC συν υπάρχει ένας μετρήσιμος πληθικός αριθμός", "ZFC συν υπάρχουν άπειροι πληθικοί αριθμοί Γούντιν") θα αποδείξουν ότι τα σύμπαντα Γκρότεντικ υπάρχουν.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Προσεταιριστική ιδιότητα
• Αντιμεταθετική ιδιότητα
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Τοπολογικός χώρος
• Κατηγορία αβελιανών ομάδων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Αβελιανή ομάδα
• Σύνθεση συνάρτησης
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Ένα προς ένα
• Συναρτητής Hom
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

Βιβλιογραφία

• Cartier, Pierre· Illusie, Luc (23 Οκτωβρίου 2007). The Grothendieck Festschrift, Volume III: A Collection of Articles Written in Honor of the 60th Birthday of Alexander Grothendieck. Springer. ISBN 978-0-8176-4576-2. 
• Panza, Marco· Struppa, Daniele C. (21 Ιανουαρίου 2025). The Mathematical and Philosophical Legacy of Alexander Grothendieck. Springer Nature. ISBN 978-3-031-68934-5. 
• Crosilla, Laura· Schuster, Peter (6 Οκτωβρίου 2005). From Sets and Types to Topology and Analysis: Towards practicable foundations for constructive mathematics. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-152420-2. 
• Yau, Donald (6 Δεκεμβρίου 2023). Grothendieck Construction of Bipermutative-Indexed Categories. CRC Press. ISBN 978-1-003-80746-9. 
• Centrone, Stefania· Negri, Sara (25 Οκτωβρίου 2019). Mathesis Universalis, Computability and Proof. Springer Nature. ISBN 978-3-030-20447-1. 
• Mainzer, Klaus (17 Νοεμβρίου 2017). Digital And The Real World, The: Computational Foundations Of Mathematics, Science, Technology, And Philosophy. World Scientific. ISBN 978-981-322-550-3. 
• McLarty, Colin (4 Ιουνίου 1992). Elementary Categories, Elementary Toposes. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-158949-2. 
• Thierry, Vialar (22 Αυγούστου 2023). Handbook of Mathematics. BoD - Books on Demand. ISBN 978-2-9551990-5-3. 
• Sica, Giandomenico (2006). What is Category Theory?. Polimetrica s.a.s. ISBN 978-88-7699-031-1. 
• Landry, Elaine M. (2017). Categories for the Working Philosopher. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-874899-1. 

Παραπομπές

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd έκδοση). Springer. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001. 
• Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 
• Theory of Categories. Academic Press. 1 Ιανουαρίου 1965. ISBN 978-0-08-087329-9. 
• Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X 
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Endomorphism ring», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035610 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 
• Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8, https://books.google.com/books?id=hQTvAAAAMAAJ&q=endomorphism+ring 
• Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, 3 (Revised and translated from the 1988 German έκδοση), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, σελ. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, https://archive.org/details/foundationsofmod0003wisb/page/  A handbook for study and research
• Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_, ανακτήθηκε στις 2025-08-12 
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2 
• J. S. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln 
• Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf. 
• Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8. 
• Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001. 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 

Πηγές

• Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7. 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.