Σύγκλιση κατά σημείο

(Το περιεχόμενο σε αυτή την επεξεργασία έχει μεταφραστεί από το υπάρχον αγγλικό λήμμα της Wikipedia στο: pointwise convergence)

Στα μαθηματικά, η σύγκλιση κατά σημείο είναι μία έννοια που εκφράζει έναν από τους πολλούς τρόπους με τους οποίους μια ακολουθία συναρτήσεων μπορεί να συγκλίνει σε μια συγκεκριμένη συνάρτηση. Είναι ασθενέστερη έννοια από την ομοιόμορφη σύγκλιση, με την οποία συγκρίνεται συχνά.

Ορισμός

Η σύγκλιση κατά σημείο δεν διατηρεί τη συνέχεια: οι συνεχείς συναρτήσεις $\sin ^{n}(x)$ (σημειωμένες με πράσινο) συγκλίνουν κατά σημείο σε μια μη συνεχή συνάρτηση (σημειωμένη με κόκκινο).

Έστω ένα σύνολο $X$ και ένας τοπολογικός χώρος $Y$. Μια ακολουθία συναρτήσεων $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ όπου $f_{n}:X\to Y,\,\forall n\in \mathbb {N}$, λέγεται ότι συγκλίνει κατά σημείο σε μια συνάρτηση $f:X\to Y$ και συμβολίζουμε με:

$\lim _{n\to \infty }f_{n}=f$ κατά σημείο ή $\lim _{n\to \infty }f_{n}{\overset {\kappa .\sigma .}{=}}f$

αν για κάθε $x\in X$ η ακολουθία ${\big (}f_{n}(x){\big )}_{n=1}^{\infty }$ συγκλίνει στο $f(x)$, δηλαδή:

$\forall x\in X\quad \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$.

Η συνάρτηση $f$ λέγεται το όριο κατά σημείο της ακολουθίας $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$.

• Σύγκλιση ακολουθιών σε τοπολογικούς χώρους: μια ακολουθία $(y_{n})_{n=1}^{\infty }\subseteq Y$, όπου $Y$ τοπολογικός χώρος, λέγεται ότι συγκλίνει σε ένα $y\in Y$, αν για κάθε ανοιχτό $V\subseteq Y$ με $y\in V$ υπάρχει $n_{0}\in \mathbb {N}$ ώστε $\forall n\geq n_{0}:\quad y_{n}\in V$.

Ο ορισμός επεκτείνεται εύκολα από ακολουθίες συναρτήσεων σε δίκτυα συναρτήσεων: ένα δίκτυο συναρτήσεων $(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$, όπου $f_{\lambda }:X\to Y,\,\forall \lambda \in \Lambda$, λέγεται ότι συγκλίνει κατά σημείο σε μια συνάρτηση $f:X\to Y$ και συμβολίζουμε με:

$\lim _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }=f$ κατά σημείο ή $\lim _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }{\overset {\kappa .\sigma .}{=}}f$

αν $\forall x\in X$ το δίκτυο ${\big (}f_{\lambda }(x){\big )}_{\lambda \in \Lambda }$ συγκλίνει στο $f(x)$, δηλαδή:

$\forall x\in X\quad \lim _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }(x)=f(x)$.

• Κατευθυνόμενο σύνολο: λέγεται μια δυάδα $(\Lambda ,\lesssim )$ όπου η $\lesssim$ είναι μια σχέση στο $\Lambda$ που ικανοποιεί:
  • $\forall \lambda \in \Lambda \quad \lambda \lesssim \lambda$
  • $\forall \kappa ,\lambda ,\mu \in \Lambda$, αν $\kappa \lesssim \lambda$ και $\lambda \lesssim \mu$, τότε $\kappa \lesssim \mu$
  • $\forall \kappa ,\lambda \in \Lambda$ υπάρχει $\mu \in \Lambda$ με $\kappa \lesssim \mu$ και $\lambda \lesssim \mu$
• Δίκτυο: λέγεται κάθε συνάρτηση $p:\Lambda \to X$ όπου $\Lambda$ κατευθυνόμενο σύνολο και $X$ τοπολογικός χώρος. Κατά αντιστοιχία με τις ακολουθίες (συναρτήσεις $x:\mathbb {N} \to X$ που συμβολίζονται με $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$) ένα δίκτυο συμβολίζεται με $(p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$.
• Σύγκλιση δικτύου: ένα δίκτυο $(p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\subseteq X$ λέγεται ότι συγκλίνει σε ένα $p\in X$ αν για κάθε ανοιχτό $V\subseteq Y$ με $p\in V$ υπάρχει $\lambda _{0}\in \Lambda$ ώστε $\forall \lambda \gtrsim \lambda _{0}:\quad p_{\lambda }\in V$.

Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο φραγμένη κατά σημείο σύγκλιση αν υπάρχει σταθερά $C$ ώστε $\forall x,i\quad |f_{i}(x)|<C$.

Ιδιότητες

Πολύ συχνά γίνεται σύγκριση μεταξύ των εννοιών της σύγκλισης κατά σημείο και της ομοιόμορφης σύγκλισης.

Μια ακολουθία συναρτήσεων $f_{n}:X\to Y$ λέγεται ότι συγκλίνει ομοιόμορφα στην $f:X\to Y$ αν:

$\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=\lim _{n\to \infty }\sup\{|f_{n}(x)-f(x)|:x\in X\}=0$

(όπου το supremum είναι ως προς $x$, όχι ως προς $n$).

Η ομοιόμορφη σύγκλιση είναι ισχυρότερη έννοια από την σύγκλιση κατά σημείο: κάθε ομοιόμορφα συγκλίνουσα ακολουθία συναρτήσεων, συγκλίνει και κατά σημείο στην ίδια συνάρτηση. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει. Για παράδειγμα, αν $f_{n}:[0,1)\to [0,1)$ με $f_{n}(x)=x^{n}$ τότε:

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0\quad \forall x\in [0,1)$

δηλαδή η $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ συγκλίνει κατά σημείο στην μηδενική συνάρτηση $f(x)=0$, αλλά δεν συγκλίνει ομοιόμορφα, αφού:

$\|f_{n}-f\|_{\infty }=\sup\{|f_{n}(x)-0|:x\in [0,1)\}=1\quad \forall n\in \mathbb {N}$

Σχηματικά, μπορούμε να το καταλάβουμε αυτό, αν σκεφτούμε ότι η γραφική παράσταση κάθε συνάρτησης $f_{n}$ είναι μια καμπύλη που ξεκινάει από το σημείο $(0,0)$ και τελειώνει στο σημείο $(1,1)$ (χωρίς να το περιέχει), άρα για κάθε $n$ υπάρχουν σημεία τα οποία βρίσκονται "κοντά" στο $(1,1)$ και συνεπώς "μακριά" από το κατά σημείο όριο $f(x)=0$.

Το κατά σημείο όριο μιας ακολουθίας συνεχών συναρτήσεων δεν είναι απαραίτητα συνεχής συνάρτηση. Για παράδειγμα, η συνάρτηση:$$f(x)=\lim _{n\to \infty }\cos(\pi x)^{2n}$$είναι όριο κατά σημείο συνεχών συναρτήσεων, όμως παίρνει τιμή $1$ όταν το $x$ είναι ακέραιος και $0$ όταν δεν είναι, οπότε δεν είναι συνεχής (βλ και την εικόνα). Από την άλλη, κάθε ομοιόμορφα συγκλίνουσα ακολουθία συνεχών συναρτήσεων, συγκλίνει σε συνεχή συνάρτηση.

Οι τιμές των συναρτήσεων $f_{n}$ δεν χρειάζεται απαραίτητα να είναι πραγματικοί αριθμοί: αρκεί απλά να ανήκουν σε κάποιον τοπολογικό χώρο, προκειμένου να ορίζεται η έννοια της σύγκλισης για την ακολουθία ${\big (}f_{n}(x){\big )}_{n=1}^{\infty }$. Από την άλλη, η ομοιόμορφη σύγκλιση απαιτεί οι συναρτήσεις να επιστρέφουν τιμές σε κάποιον μετρικό χώρο, προκειμένου να έχει νόημα το supremum του ορισμού.

Τοπολογία

Ας συμβολίζουμε με $Y^{X}$ το σύνολο όλων των συναρτήσεων από ένα σύνολο $X$ σε έναν τοπολογικό χώρο $Y$. Για να οριστεί μια τοπολογία στο σύνολο $Y^{X}$ αρκεί να προσδιοριστούν ποια υποσύνολά του θεωρούνται ανοιχτά. Ένας τέτοιος ορισμός φυσικά, θα πρέπει να είναι τέτοιος ώστε να ικανοποιούνται:

1. Τα $\emptyset$ και $Y^{X}$ είναι ανοιχτά.
2. Αν τα $A,B\subseteq Y^{X}$ είναι ανοιχτά, τότε και το $A\cap B$ είναι ανοιχτό.
3. Αν $A_{i}\subseteq Y^{X}$ ανοιχτό $\forall i\in I$, τότε και το $\cup _{i\in I}A_{n}$ είναι ανοιχτό.

Αν καταφέρουμε να ορίσουμε πότε ένα δίκτυο $(z_{i})_{i\in I}$ (με στοιχεία $z_{i}\in Y^{X}$) συγκλίνει και, αν συγκλίνει, σε ποιο $z\in Y^{X}$, ώστε να ικανοποιούνται ορισμένες ιδιότητες "κανονικότητας" (πχ ότι αν ένα δίκτυο συγκλίνει στο $z$, τότε κάθε υποδίκτυο θα συγκλίνει επίσης στο $z$), τότε μπορούμε να ορίσουμε πως ένα $A\subseteq Y^{X}$ είναι ανοιχτό αν και μόνο αν κάθε δίκτυο $(z_{i})_{i\in I}$ (με στοιχεία $z_{i}\in Y^{X}$) συγκλίνει σε κάποιο $z\in A$, τότε υπάρχει $i_{0}\in I$ ώστε $\forall i\gtrsim i_{0}:\,\,z_{i}\in A$. Όπως περιγράφεται και σε αυτό το άρθρο της αγγλικής Βικιπαίδειας, αυτός ο ορισμός για το ποια υποσύνολα του $Y^{X}$ θα θεωρούνται ανοιχτά, είναι τέτοιος ώστε να ισχύουν τα 1, 2 και 3.

Η σύγκλιση κατά σημείο είναι ένας τέτοιος τρόπος με τον οποίο μπορούμε να ορίσουμε πότε ένα δίκτυο $(z_{i})_{i\in I}$ θα συγκλίνει και πού. Μάλιστα, πληροί και τις ιδιότητες "κανονικότητας". Έτσι, η σύγκλιση κατά σημείο προσδιορίζει ένα σύνολο $S\subseteq {\mathcal {P}}(Y^{X})$ ανοιχτών υποσυνόλων του $Y^{X}$, το οποίο με τη σειρά του προσδιορίζει μία τοπολογία στο $Y^{X}$. Αυτή η τοπολογία ονομάζεται τοπολογία της κατά σημείο σύγκλισης. Σε αυτήν την τοπολογία, ένα δίκτυο στον $Y^{X}$ συγκλίνει αν και μόνο αν συγκλίνει κατά σημείο.

Σχεδόν παντού σύγκλιση

Στη θεωρία μέτρου, μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων $f_{n}:X\to [-\infty ,+\infty ]$ όπου $(X,\Sigma ,\mu )$ μετρήσιμος χώρος, λέγεται ότι συγκλίνει σχεδόν παντού, αν υπάρχει $A\subseteq X$ με $\mu (X\setminus A)=0$ ώστε για κάθε $x\in A$ υπάρχει το όριο $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$. Δηλαδή, η $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ συγκλίνει σχεδόν παντού στον $X$, αν συγκλίνει κατά σημείο σε κάποιο $A\subseteq X$ με συμπλήρωμα μηδενικού μέτρου.

Σύμφωνα με το θεώρημα του Egorov, αν $A\subseteq X$ είναι πεπερασμένου μέτρου, δηλαδή $\mu (A)<\infty$, και η $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ συγκλίνει σχεδόν παντού σε μια $f$ στο $A$, τότε για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $B\subseteq X$ με $\mu (B)<\varepsilon$ ώστε η $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην $f$, όταν οι συναρτήσεις περιοριστούν στο $A\setminus B$.