Σωληνοειδές διανυσματικό πεδίο

Παράδειγμα σωληνοειδούς διανυσματικού πεδίου, $\mathbf {v} (x,y)=(y,-x)$

Σωληνοειδές πεδίο

Στον διανυσματικό λογισμό ένα σωληνοειδές διανυσματικό πεδίο (επίσης γνωστό ως ασυμπίεστο διανυσματικό πεδίο, διανυσματικό πεδίο χωρίς απόκλιση ή εγκάρσιο διανυσματικό πεδίο) είναι ένα διανυσματικό πεδίο v με απόκλιση μηδέν σε όλα τα σημεία του πεδίου:

$\nabla \cdot \mathbf {v} =0.$

Ένας συνήθης τρόπος έκφρασης αυτής της ιδιότητας είναι να πούμε ότι το πεδίο δεν έχει πηγές ή καταβόθρες.

Ιδιότητες

Το θεώρημα της απόκλισης δίνει έναν ισοδύναμο ολοκλήρωμα ορισμό ενός σωληνοειδούς πεδίου, δηλαδή ότι για οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια, η καθαρή συνολική ροή μέσω της επιφάνειας πρέπει να είναι μηδέν:

$\;\;\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {S} =0,$

όπου $d\mathbf {S}$ είναι η κάθετη προς τα έξω σε κάθε στοιχείο της επιφάνειας.

Το θεμελιώδες θεώρημα του διανυσματικού λογισμού ορίζει ότι κάθε διανυσματικό πεδίο μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ενός μη περιστροφικού και ενός σωληνοειδούς πεδίου. Η συνθήκη της μηδενικής απόκλισης ικανοποιείται κάθε φορά που ένα διανυσματικό πεδίο v έχει μόνο μια συνιστώσα διανυσματικού δυναμικού, επειδή ο ορισμός του διανυσματικού δυναμικού A ως:

$\mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A}$

οδηγεί αυτόματα στην ταυτότητα (όπως μπορεί να αποδειχθεί, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας καρτεσιανές συντεταγμένες):

$\nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0.$

Ισχύει και το αντίστροφο: για κάθε σωληνοειδές v υπάρχει ένα διανυσματικό δυναμικό A τέτοιο ώστε$\mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .$ (Αυστηρά μιλώντας, αυτό ισχύει υπό ορισμένες τεχνικές συνθήκες για το v, βλέπε θεωρημα Χέλμχολτς-Χοτζ.).

Ετυμολογία

Ο όρος σωληνοειδής (αγγλικά: Solenoidal) προέρχεται από τα αρχαία ελληνικά σωληνοειδής < σωλήν + -ειδής (< εἶδος).

Κατανομή ενός σωληνοειδούς πεδίου

Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο διανυσματικό χώρο, δεδομένου ότι η απόκλιση του περιστροφικού πεδίου είναι μηδέν, το περιστροφικό πεδίο ενός διανυσματικού πεδίου είναι ένα σωληνοειδές πεδίο. Ισχύει και το αντίστροφο: κάθε πεδίο χωρίς απόκλιση B μπορεί να γραφεί τοπικά ως το περιστροφικό ενός διανυσματικού πεδίου A. Το πεδίο μπορεί να γραφεί συνολικά αν ορίζεται σε ένα κυρτό ανοικτό, ή γενικότερα σε ένα πεδίο με πεπερασμένη θεμελιώδη ομάδα.

Δεδομένου του ορισμού των διαφορικών μορφών, η απόδειξη είναι στοιχειώδης. Το πεδίο B συνδέεται με το 2- κλειστή διαφορική μορφή ${\boldsymbol {\omega }}=B_{x}{\boldsymbol {\rm {d}}}y\wedge {\boldsymbol {\rm {d}}}z+B_{y}{\boldsymbol {\rm {d}}}z\wedge {\boldsymbol {\rm {d}}}x+B_{z}{\boldsymbol {\rm {d}}}x\wedge {\boldsymbol {\rm {d}}}y$ όπου (x, y, z) είναι οι συντεταγμένες σε ένα ορθοκανονικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Το διαφορικό του ω γράφεται ${\boldsymbol {\rm {d}}}{\boldsymbol {\omega }}={\rm {div}}({\boldsymbol {B}})\;{\boldsymbol {\rm {d}}}x\wedge {\boldsymbol {\rm {d}}}y\wedge {\boldsymbol {\rm {d}}}z$. Η απαίτηση να μην έχει απόκλιση η B είναι ισοδύναμη με την απαίτηση να είναι κλειστή η ω. Εάν η πρώτη ομάδα συνομολογίας Ντε Ραμ του πεδίου είναι μηδέν (τοπολογική συνθήκη), τότε αυτό είναι ισοδύναμο με το ότι η ω είναι ακριβής, δηλαδή υπάρχει μια διαφορική μορφή η τέτοια ώστε ${\boldsymbol {\rm {d}}}{\boldsymbol {\eta }}={\boldsymbol {\omega }}$. Αν γράφουμε η με τη μορφή ${\boldsymbol {\eta }}=A_{x}{\boldsymbol {\rm {d}}}x+A_{y}{\boldsymbol {\rm {d}}}y+A_{z}{\boldsymbol {\rm {d}}}z$, τότε ένας άμεσος υπολογισμός δείχνει ότι το B είναι το περιστροφικό του A.

Στον ηλεκτρομαγνητισμό, σε περίπτωση απουσίας ηλεκτρικού πεδίου, το μαγνητικό πεδίο είναι ένα σωληνοειδές πεδίο- η προηγούμενη ιδιότητα μας επιτρέπει να ορίσουμε το διανυσματικό δυναμικό σε αυτή την κατάσταση.

Ένα τρισδιάστατο σωληνοειδές πεδίο έχει μόνο δύο ανεξάρτητες συνιστώσες. Είναι δυνατόν (και μερικές φορές βολικό) να αναλύσουμε το πεδίο χρησιμοποιώντας δύο βαθμωτές ποσότητες. Το πεδίο λέγεται ότι έχει μια τοροειδή συνιστώσα και μια πολωτική συνιστώσα.

Παραδείγματα

• Το μαγνητικό πεδίο B (βλέπε νόμο του Γκάους για τον μαγνητισμό)
• Το πεδίο ταχύτητας μιας ασυμπίεστης ροής ρευστού
• Το πεδίο στροβιλότητας
• Το ηλεκτρικό πεδίο E σε ουδέτερες περιοχές ($\rho _{e}=0$),
• Η πυκνότητα ρεύματος J όπου η πυκνότητα φορτίου είναι αμετάβλητη, ${\textstyle {\frac {\partial \rho _{e}}{\partial t}}=0}$.
• Το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό A σε μέτρο Κουλόμπ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Διδιάστατος χώρος
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Διάσταση Κρουλ
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Backus, George· Parker, Robert Ladislav (23 Φεβρουαρίου 1996). Foundations of Geomagnetism. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41006-9. 
• Udriste, C. (6 Δεκεμβρίου 2012). Geometric Dynamics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-4187-1. 
• Pahl, Peter J.· Damrath, Rudolf (2 Ιουλίου 2001). Mathematical Foundations of Computational Engineering: A Handbook. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67995-0. 
• Davidson, P. A. (18 Φεβρουαρίου 2019). An Introduction to Electrodynamics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-251910-8. 
• Tou, Stephen (22 Απριλίου 2011). Visualization of Fields and Applications in Engineering. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-97846-7. 
• Muktavat, Kshamata· Upadhyaya, A. K. (2010). Applied Physics. I. K. International Pvt Ltd. ISBN 978-93-80578-00-2. 
• Zheligovsky, Vladislav (30 Ιουνίου 2011). Large-Scale Perturbations of Magnetohydrodynamic Regimes: Linear and Weakly Nonlinear Stability Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-18169-6. 
• Marchuk, G. I. (25 Ιουνίου 2014). Differential Equations and Numerical Mathematics: Selected Papers Presented to a National Conference Held in Novosibirsk, September 1978. Elsevier. ISBN 978-1-4831-5454-1. 
• Sá, Joaquim Marques de· Alexandre, Luis A. (14 Σεπτεμβρίου 2007). Artificial Neural Networks - ICANN 2007: 17th International Conference, Porto, Portugal, September 9-13, 2007, Proceedings, Part I. Springer. ISBN 978-3-540-74690-4. 
• Razdan, Atul Kumar· Ravichandran, V. (2 Απριλίου 2022). Fundamentals of Partial Differential Equations. Springer Nature. ISBN 978-981-16-9865-1. 

Παραπομπές

• L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1975). The Classical Theory of Fields. 2 (4th έκδοση). Butterworth–Heineman. ISBN 978-0-7506-2768-9. 
• J. D. Jackson (1998). Classical Electrodynamics (3rd έκδοση). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1. 
• Boothby, William (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics, volume 120 (second έκδοση). Orlando, FL: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X. 
• Watson, G. N. (1966). A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press. MR 1349110. 
• Fewell, M. P. (2006). «Area of common overlap of three circles». Defence Science and Technology Organisation. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Μαρτίου 2022. 
• White, Joseph F. (1 Αυγούστου 2016). High Frequency Techniques: An Introduction to RF and Microwave Design and Computer Simulation. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-24450-9. 
• Slater, John C.· Frank, Nathaniel H. (9 Μαρτίου 2012). Electromagnetism. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15040-6. 
• Barrera, Tony; Hast, Anders; Bengtsson, Ewert, «Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes», στο: Ollila, Mark, επιμ., SIGRAD 2002, σελ. 43–48, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:968852/FULLTEXT01.pdf#page=49 
• Martin, Ralph R. (6 Αυγούστου 2009). Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7-9, 2009 Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-03595-1. 
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0