Σχήμα (στερεό)

Ένα παιδικό παιχνίδι που ονομάζεται Σχήμα-Ο και παρασκευάζεται από την Tupperware το οποίο χρησιμοποιείται για την εκμάθηση διαφόρων σχημάτων.

Το σχήμα είναι μια γραφική αναπαράσταση της μορφής ή του εξωτερικού ορίου ενός αντικειμένου, του περιγράμματος ή της εξωτερικής του επιφάνειας. Διαφέρει από άλλες ιδιότητες του αντικειμένου, όπως το χρώμα, η υφή ή ο τύπος υλικού. Στη γεωμετρία, το σχήμα αποκλείει τις πληροφορίες που αφορούν τη θέση, το μέγεθος, τον προσανατολισμό και τη χειρομορφία του αντικειμένου . Ένα σχήμα είναι μια αναπαράσταση που περιλαμβάνει τόσο το σχήμα όσο και το μέγεθος (όπως, π.χ., το σχήμα της Γης).

Ένα επίπεδο σχήμα ή μια επίπεδη φιγούρα περιορίζεται να βρίσκεται σε ένα επίπεδο, σε αντίθεση με τα τρισδιάστατα στερεά σχήματα. Ένα δισδιάστατο σχήμα ή φιγούρα (επίσης: 2D σχήμα ή 2D φιγούρα) μπορεί να βρίσκεται σε μια γενικότερη καμπύλη επιφάνεια (δισδιάστατος χώρος).

Ταξινόμηση απλών σχημάτων

Μια ποικιλία από πολύγωνα σχήματα.

Ορισμένα απλά σχήματα μπορούν να ενταχθούν σε μεγάλες κατηγορίες. Παραδείγματος χάριν, τα πολύγωνα ταξινομούνται ανάλογα με τον αριθμό των ακμών τους ως τρίγωνα, τετράπλευρα, πεντάγωνα κ.λπ. Καθένα από αυτά χωρίζεται σε μικρότερες κατηγορίες- τα τρίγωνα μπορεί να είναι ισόπλευρα, ισοσκελή, αμβλεία, οξυκόρυφα, σκαληνά κ.λπ. ενώ τα τετράπλευρα μπορεί να είναι ορθογώνια, ρόμβοι, τραπέζια, τετράγωνα κ.λπ.

Άλλα κοινά σχήματα είναι τα σημεία, οι γραμμές, τα επίπεδα και οι κωνικές τομές όπως οι ελλείψεις, οι κύκλοι και οι παραβολές.

Μεταξύ των πιο συνηθισμένων τρισδιάστατων σχημάτων είναι τα πολύεδρα, τα οποία είναι σχήματα με επίπεδες επιφάνειες, τα ελλειψοειδή, τα οποία είναι αντικείμενα σε σχήμα αυγού ή σφαίρας, οι κύλινδροι και οι κώνοι.

Αν ένα αντικείμενο εμπίπτει σε μία από αυτές τις κατηγορίες ακριβώς ή έστω κατά προσέγγιση, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να περιγράψουμε το σχήμα του αντικειμένου. Έτσι, λέμε ότι το σχήμα ενός καλύμματος φρεατίου είναι δίσκος, επειδή είναι περίπου το ίδιο γεωμετρικό αντικείμενο με έναν πραγματικό γεωμετρικό δίσκο.

Γεωμετρία

Ένα σύνολο γεωμετρικών σχημάτων σε 2 διαστάσεις: παραλληλόγραμμο, τρίγωνο & κύκλος

Ένα σύνολο γεωμετρικών σχημάτων σε 3 διαστάσεις: πυραμίδα, σφαίρα & κύβος.

Ένα γεωμετρικό σχήμα αποτελείται από τις γεωμετρικές πληροφορίες που παραμένουν όταν η θέση, η κλίμακα, ο προσανατολισμός και η αντανάκλαση αφαιρεθούν από την περιγραφή ενός γεωμετρικού αντικειμένου δηλαδή, το αποτέλεσμα της μετακίνησης ενός σχήματος, της μεγέθυνσής του, της περιστροφής του ή της αντανάκλασής του σε έναν καθρέφτη είναι το ίδιο σχήμα με το αρχικό και όχι ένα ξεχωριστό σχήμα.

Πολλά δισδιάστατα γεωμετρικά σχήματα μπορούν να προσδιοριστούν από ένα σύνολο σημείων ή κορυφών και γραμμών που συνδέουν τα σημεία σε μια κλειστή αλυσίδα, καθώς και από τα προκύπτοντα εσωτερικά σημεία. Τέτοια σχήματα ονομάζονται πολύγωνα και περιλαμβάνουν τρίγωνα, τετράγωνα και πεντάγωνα. Άλλα σχήματα μπορεί να οριοθετούνται από καμπύλες όπως ο κύκλος ή η έλλειψη.

Πολλά τρισδιάστατα γεωμετρικά σχήματα μπορούν να οριστούν από ένα σύνολο κορυφών, γραμμών που συνδέουν τις κορυφές και δισδιάστατων επιφανειών που περικλείονται από αυτές τις γραμμές, καθώς και από τα εσωτερικά σημεία που προκύπτουν. Τέτοια σχήματα ονομάζονται πολύεδρα και περιλαμβάνουν κύβους καθώς και πυραμίδες όπως τα τετράεδρα. Άλλα τρισδιάστατα σχήματα μπορούν να οριοθετούνται από καμπύλες επιφάνειες, όπως το ελλειψοειδές και η σφαίρα.

Ένα σχήμα λέγεται κυρτό εάν όλα τα σημεία ενός ευθύγραμμου τμήματος μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων του αποτελούν επίσης μέρος του σχήματος.

Ιδιότητες

Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να συγκρίνετε τα σχήματα δύο αντικειμένων:

• Ισόμοια: Δύο αντικείμενα είναι ισόμοια αν το ένα μπορεί να μετασχηματιστεί στο άλλο με μια ακολουθία περιστροφών, μετατοπίσεων και/ή ανακλάσεων.
• Ομοιότητα: Δύο αντικείμενα είναι όμοια αν το ένα μπορεί να μετασχηματιστεί στο άλλο με μια ομοιόμορφη κλιμάκωση, μαζί με μια ακολουθία περιστροφών, μετατοπίσεων και/ή ανακλάσεων.
• Ισοτοπία: Δύο αντικείμενα είναι ισοτοπικά αν το ένα μπορεί να μετασχηματιστεί στο άλλο με μια ακολουθία παραμορφώσεων που δεν σχίζουν το αντικείμενο ή δεν το τρυπούν.

Τα σχήματα που εμφανίζονται με το ίδιο χρώμα έχουν το ίδιο σχήμα μεταξύ τους και λέγεται ότι είναι παρόμοια.

Ορισμένες φορές, δύο όμοια ή ισόμοια αντικείμενα μπορούν να θεωρηθούν ότι έχουν διαφορετικό σχήμα, εάν απαιτείται αντανάκλαση για να μετατραπεί το ένα στο άλλο. Παραδείγματος χάριν, τα γράμματα « b » και « d » είναι το ένα είδωλο του άλλου και επομένως είναι ισόμοια και όμοια, αλλά σε ορισμένα πλαίσια δεν θεωρείται ότι έχουν το ίδιο σχήμα. Μερικές φορές, μόνο το περίγραμμα ή το εξωτερικό όριο του αντικειμένου θεωρείται ότι καθορίζει το σχήμα του. Παραδείγματος χάριν, μια κοίλη σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει το ίδιο σχήμα με μια συμπαγή σφαίρα. Η ανάλυση του Προκρούστη χρησιμοποιείται σε πολλές επιστήμες για να προσδιοριστεί αν δύο αντικείμενα έχουν ή όχι το ίδιο σχήμα ή για να μετρηθεί η διαφορά μεταξύ δύο σχημάτων. Στα προχωρημένα μαθηματικά, η οιονεί ισομετρία μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως κριτήριο για να ισχυριστεί κανείς ότι δύο σχήματα είναι περίπου ίδια.

Τα απλά σχήματα μπορούν συχνά να ταξινομηθούν σε βασικά γεωμετρικά αντικείμενα, όπως μια γραμμή, μια καμπύλη, ένα επίπεδο, ένα επίπεδο σχήμα (π.χ. τετράγωνο ή κύκλος) ή ένα στερεό σχήμα (π.χ. κύβος ή σφαίρα). Ωστόσο, τα περισσότερα σχήματα που εμφανίζονται στον φυσικό κόσμο είναι σύνθετα. Ορισμένα, όπως οι δομές των φυτών και οι ακτογραμμές, μπορεί να είναι τόσο πολύπλοκα ώστε να αψηφούν την παραδοσιακή μαθηματική περιγραφή - οπότε μπορούν να αναλυθούν με τη διαφορική γεωμετρία ή ως μορφοκλασματικό σύνολο.

Ορισμένα κοινά σχήματα περιλαμβάνουν: Κύκλος, τετράγωνο, τρίγωνο, ορθογώνιο, οβάλ, αστέρι (πολύγωνο), ρόμβος, ημικύκλιο. Τα κανονικά πολύγωνα ξεκινώντας από το πεντάγωνο ακολουθούν τη σύμβαση ονοματοδοσίας του ελληνικού παράγωγου προθέματος με την κατάληξη «-gon»: Πεντάγωνο, Εξάγωνο, Επτάγωνο, Οκτάγωνο, Εννεάγωνο, Δεκάγωνο... Βλ. πολύγωνο

Ισοδυναμία σχημάτων

Στη γεωμετρία, δύο υποσύνολα ενός ευκλείδειου χώρου έχουν το ίδιο σχήμα εάν το ένα μπορεί να μετασχηματιστεί στο άλλο με ένα συνδυασμό μεταθέσεων, περιστροφών (που μαζί ονομάζονται επίσης άκαμπτοι μετασχηματισμοί) και ομοιόμορφων κλιμάκων. Με άλλα λόγια, το σχήμα ενός συνόλου σημείων είναι όλες οι γεωμετρικές πληροφορίες που είναι αναλλοίωτες σε μετατοπίσεις, περιστροφές και αλλαγές μεγέθους. Το να έχει κανείς το ίδιο σχήμα είναι μια σχέση ισοδυναμίας, και κατά συνέπεια ένας ακριβής μαθηματικός ορισμός της έννοιας του σχήματος μπορεί να δοθεί ως μια κλάση ισοδυναμίας των υποσυνόλων ενός ευκλείδειου χώρου που έχουν το ίδιο σχήμα.

Ο μαθηματικός και στατιστικολόγος Ντέιβιντ Τζορτζ Κένταλ σημειώνει:

Στο παρόν έγγραφο ο όρος «σχήμα» χρησιμοποιείται με τη κοινή έννοια και σημαίνει αυτό που θα περίμενε κανείς να σημαίνει κανονικά. [...] Εδώ ορίζουμε το «σχήμα» ανεπίσημα ως «όλες τις γεωμετρικές πληροφορίες που παραμένουν όταν φιλτραριστούν από ένα αντικείμενο η θέση, η κλίμακα και τα φαινόμενα περιστροφής».

Τα σχήματα των φυσικών αντικειμένων είναι ίσα εάν τα υποσύνολα του χώρου που καταλαμβάνουν τα αντικείμενα αυτά ικανοποιούν τον παραπάνω ορισμό. Ειδικότερα, το σχήμα δεν εξαρτάται από το μέγεθος και την τοποθέτηση στο χώρο του αντικειμένου. Παραδείγματος χάριν, ένα «d» και ένα «p» έχουν το ίδιο σχήμα, καθώς μπορούν να επικάθονται τέλεια αν το «d» μεταφερθεί προς τα δεξιά κατά μια δεδομένη απόσταση, περιστραφεί ανάποδα και μεγεθυνθεί κατά ένα δεδομένο παράγοντα (δείτε την ανάλυση Προκρούστη για λεπτομέρειες). Ωστόσο, μια κατοπτρική εικόνα θα μπορούσε να ονομαστεί διαφορετικό σχήμα. Επί παραδείγματι, ένα «b» και ένα «p» έχουν διαφορετικό σχήμα, τουλάχιστον όταν περιορίζονται να κινούνται μέσα σε ένα δισδιάστατο χώρο όπως η σελίδα στην οποία γράφονται. Παρόλο που έχουν το ίδιο μέγεθος, δεν υπάρχει τρόπος να τα τοποθετήσουμε τέλεια πάνω τους μετατοπίζοντας και περιστρέφοντάς τα κατά μήκος της σελίδας. Ομοίως, μέσα σε έναν τρισδιάστατο χώρο, ένα δεξί και ένα αριστερό χέρι έχουν διαφορετικό σχήμα, ακόμη και αν είναι τα είδωλα του άλλου. Τα σχήματα μπορεί να αλλάξουν εάν το αντικείμενο κλιμακώνεται ανομοιόμορφα. Λόγου χάριν, μια σφαίρα γίνεται ελλειψοειδές όταν κλιμακώνεται διαφορετικά στην κάθετη και την οριζόντια κατεύθυνση. Επομένως, η διατήρηση των αξόνων συμμετρίας (αν υπάρχουν) είναι σημαντική για τη διατήρηση των σχημάτων. Επίσης, το σχήμα καθορίζεται μόνο από το εξωτερικό όριο ενός αντικειμένου.

Ισότητα και ομοιότητα

Τα αντικείμενα που μπορούν να μετασχηματιστούν το ένα στο άλλο με άκαμπτους μετασχηματισμούς και καθρεφτισμό (αλλά όχι με κλίμακα) είναι ισόμοια. Συνεπώς, ένα αντικείμενο είναι σύμφωνο με το είδωλό του (ακόμη και αν δεν είναι συμμετρικό), αλλά όχι με μια κλιμακωτή εκδοχή του. Δύο ισόμοια αντικείμενα έχουν πάντα είτε το ίδιο σχήμα είτε κατοπτρικά σχήματα και το ίδιο μέγεθος.

Αντικείμενα που έχουν το ίδιο σχήμα ή κατοπτρικά σχήματα ονομάζονται γεωμετρικά όμοια, είτε έχουν το ίδιο μέγεθος είτε όχι. Έτσι, τα αντικείμενα που μπορούν να μετασχηματιστούν μεταξύ τους με άκαμπτους μετασχηματισμούς, κατοπτρισμό και ομοιόμορφη κλιμάκωση είναι όμοια. Η ομοιότητα διατηρείται όταν ένα από τα αντικείμενα κλιμακώνεται ομοιόμορφα, ενώ η σύμπτωση όχι. Έτσι, τα συγγενή αντικείμενα είναι πάντα γεωμετρικά παρόμοια, αλλά τα παρόμοια αντικείμενα μπορεί να μην είναι συγγενή, καθώς μπορεί να έχουν διαφορετικό μέγεθος.

Ομοιομορφισμός

Ένας πιο ευέλικτος ορισμός του σχήματος λαμβάνει υπόψην το γεγονός ότι τα ρεαλιστικά σχήματα είναι συχνά παραμορφώσιμα, όπως ένα άτομο σε διαφορετικές στάσεις, ένα δέντρο που λυγίζει στον άνεμο ή ένα χέρι με διαφορετικές θέσεις των δακτύλων.

Οι ομοιομορφισμοί είναι ένας τρόπος μοντελοποίησης μη άκαμπτων κινήσεων. Κατά βάση, ένας ομοιομορφισμός είναι ένα συνεχές τέντωμα και κάμψη ενός αντικειμένου σε ένα νέο σχήμα. Έτσι, ένα τετράγωνο και ένας κύκλος είναι ομοιομορφικά μεταξύ τους, αλλά μια σφαίρα και ένα ντόνατ δεν είναι. Ένα συχνά επαναλαμβανόμενο μαθηματικό ανέκδοτο είναι ότι οι τοπολόγοι δεν μπορούν να ξεχωρίσουν το φλιτζάνι του καφέ από το ντόνατ τους , αφού ένα αρκετά εύκαμπτο ντόνατ θα μπορούσε να μετασχηματιστεί στη μορφή ενός φλιτζανιού καφέ δημιουργώντας ένα βαθούλωμα και διευρύνοντάς το προοδευτικά, διατηρώντας παράλληλα την τρύπα του ντόνατ στη λαβή του φλιτζανιού.

Ένα περιγραφόμενο σχήμα έχει εξωτερικές γραμμές που διακρίνονται και συνθέτουν το σχήμα. Αν τοποθετήσετε τις συντεταγμένες σας σε μια γραφική παράσταση συντεταγμένων, θα μπορούσατε να σχεδιάσετε γραμμές για να δείξετε πού μπορείτε να δείτε ένα σχήμα, ωστόσο δεν είναι κάθε φορά που βάζετε συντεταγμένες σε ένα γράφημα που μπορείτε να δημιουργήσετε ένα σχήμα. Αυτό το σχήμα έχει περίγραμμα και όριο ώστε να μπορείτε να το δείτε και δεν είναι απλώς κανονικές κουκκίδες σε ένα κανονικό χαρτί.

Ανάλυση σχήματος

Οι προαναφερθέντες μαθηματικοί ορισμοί του άκαμπτου και του μη άκαμπτου σχήματος προέκυψαν στον τομέα της στατιστικής ανάλυσης σχήματος. Ειδικότερα, η ανάλυση Προκρούστη είναι μια τεχνική που χρησιμοποιείται για τη σύγκριση σχημάτων παρόμοιων αντικειμένων (π.χ. οστών διαφορετικών ζώων) ή για τη μέτρηση της παραμόρφωσης ενός παραμορφώσιμου αντικειμένου. Άλλες μέθοδοι έχουν σχεδιαστεί για να λειτουργούν με μη άκαμπτα (καμπτόμενα) αντικείμενα, π.χ. για την ανάκτηση σχήματος ανεξάρτητου από τη στάση του σώματος (βλ. π.χ. φασματική ανάλυση σχήματος).

Κλάσεις ομοιότητας

Όλα τα παρόμοια τρίγωνα έχουν το ίδιο σχήμα. Αυτά τα σχήματα μπορούν να ταξινομηθούν χρησιμοποιώντας μιγαδικούς αριθμούς u, v, w για τις κορυφές, με μια μέθοδο που προωθείται από τους J.A. Λέστερ και Ραφαέλ Άρτσι. Επί παραδείγματι, ένα ισόπλευρο τρίγωνο μπορεί να εκφραστεί με τους μιγαδικούς αριθμούς 0, 1, (1 + i√3)/2 που αντιπροσωπεύουν τις κορυφές του. Οι Λέστερ και Άρτζι ονομάζουν τον λόγο

$S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}$

το σχήμα του τριγώνου (u, v, w). Τότε το σχήμα του ισόπλευρου τριγώνου είναι

${\frac {0-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}}{0-1}}={\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}=\cos(60^{\circ })+i\sin(60^{\circ })=e^{i\pi /3}.$

Για οποιονδήποτε αφινικό μετασχηματισμό του μιγαδικού επιπέδου, $z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,$ &nbsp- ένα τρίγωνο μετασχηματίζεται αλλά δεν αλλάζει το σχήμα του. Συνεπώς, το σχήμα είναι αναλλοίωτο της αφινικής γεωμετρίας. Το σχήμα p = S(u,v,w) εξαρτάται από τη σειρά των επιχειρημάτων της συνάρτησης S, αλλά οι μεταθέσεις οδηγούν σε σχετικές τιμές. Παραδείγματος χάριν,

$1-p=1-{\frac {u-w}{u-v}}={\frac {w-v}{u-v}}={\frac {v-w}{v-u}}=S(v,u,w).$ Also $$p^{-1}=S(u,w,v).$$

Συνδυάζοντας αυτές τις μεταθέσεις προκύπτει $S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.$ Επιπλέον,

$p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)={\frac {u-w}{v-w}}=S(w,v,u).$

Αυτές οι σχέσεις είναι «κανόνες μετατροπής» για το σχήμα ενός τριγώνου.

Το σχήμα ενός τετράπλευρου συνδέεται με δύο μιγαδικούς αριθμούς p, q. Αν το τετράπλευρο έχει κορυφές u, v, w, x, τότε p = S(u,v,w) και q = S(v,w,x). ο Άρτζι αποδεικνύει αυτές τις προτάσεις για τα σχήματα των τετραπλεύρων:

1. An $p=(1-q)^{-1},$ τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
2. Αν ένα παραλληλόγραμμο έχει | arg p | = | arg q |, τότε είναι ρόμβος.
3. Όταν p = 1 + i και q = (1 + i)/2,τότε το τετράπλευρο είναι τετράγωνο.
4. Αν $p=r(1-q^{-1})$ και sgn r = sgn(Im p), τότε το τετράπλευρο είναι τραπέζιο.

Ένα πολύγωνο$(z_{1},z_{2},...z_{n})$ έχει ένα σχήμα που ορίζεται από n - 2 μιγαδικούς αριθμούς $S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1,...,n-2.$ Το πολύγωνο οριοθετεί ένα κυρτό σύνολο όταν όλες αυτές οι συνιστώσες του σχήματος έχουν φανταστικές συνιστώσες με το ίδιο πρόσημο.

Ανθρώπινη αντίληψη των σχημάτων

Η ανθρώπινη όραση βασίζεται σε ένα ευρύ φάσμα αναπαραστάσεων σχημάτων. Ορισμένοι ψυχολόγοι θεωρούν ότι οι άνθρωποι διανοητικά αναλύουν τις εικόνες σε απλά γεωμετρικά σχήματα (π.χ. κώνοι και σφαίρες) που ονομάζονται geons. Εν τω μεταξύ, άλλοι έχουν προτείνει ότι τα σχήματα αναλύονται σε χαρακτηριστικά ή διαστάσεις που περιγράφουν τον τρόπο με τον οποίο τα σχήματα τείνουν να ποικίλουν, όπως η τμησιμότητα, η συμπαγής και η ακανθώδης μορφή τους.

Υπάρχουν επίσης σαφείς ενδείξεις ότι τα σχήματα καθοδηγούν την ανθρώπινη προσοχή.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός αριθμός
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Μοδιακή αριθμητική
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Ευκλείδειος χώρος
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολλαπλάσιο (μαθηματικά)
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας
• Γεωμετρικό σχήμα
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Στατιστικός πληθυσμός
• Δισδιάστατος χώρος

Βιβλιογραφία

• Floriani, Leila de· Spagnuolo, Michela (24 Δεκεμβρίου 2007). Shape Analysis and Structuring. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-33265-7. 
• Laga, Hamid· Guo, Yulan (14 Δεκεμβρίου 2018). 3D Shape Analysis: Fundamentals, Theory, and Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-40519-1. 
• Pratelli, Aldo· Leugering, Günter (1 Δεκεμβρίου 2015). New Trends in Shape Optimization. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-17563-8. 
• Ed.D, Linda Dacey (1 Ιουλίου 2014). Geometry Leveled Problems: Shape Word Problems: Shape Word Problems. Teacher Created Materials. ISBN 978-1-4807-8672-1. 
• Elahinia, Mohammad H. (19 Ιανουαρίου 2016). Shape Memory Alloy Actuators: Design, Fabrication, and Experimental Evaluation. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-35944-0. 
• Josephson, Peter (2002). The Great Art of Government: Locke's Use of Consent. University Press of Kansas. ISBN 978-0-7006-1169-0. 
• Sutton, Michael A.· Orteu, Jean Jose (21 Απριλίου 2009). Image Correlation for Shape, Motion and Deformation Measurements: Basic Concepts,Theory and Applications. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-78747-3. 
• Herz-Fischler, Roger (20 Οκτωβρίου 2000). The Shape of the Great Pyramid. Wilfrid Laurier Univ. Press. ISBN 978-0-88920-324-2. 

Παραπομπές

• Hartshorne, Robin (2000). Geometry: Euclid and Beyond. Springer. doi:10.1007/978-0-387-22676-7. ISBN 0-387-98650-2. 
• Kinsey, Laura Christine (1993). Topology of Surfaces. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0899-0. ISBN 0-387-94102-9. 
• Needham, Tristan (2021). Visual Differential Geometry and Forms. Princeton. ISBN 0-691-20370-9. 
• Stillwell, John (1992). Geometry of Surfaces. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0929-4. ISBN 0-387-97743-0. 
• Definitions and examples of quadrilaterals and Definition and properties of tetragons from Mathopenref
• A (dynamic) Hierarchical Quadrilateral Tree at Dynamic Geometry Sketches
• An extended classification of quadrilaterals Αρχειοθετήθηκε 2019-12-30 στο Wayback Machine. at Dynamic Math Learning Homepage Αρχειοθετήθηκε 2018-08-25 στο Wayback Machine.
• Luiz, Atílio; Richter, Bruce (2014), «Remarks on a conjecture of Barát and Tóth», Electronic Journal of Combinatorics 21 (1): P1.57, doi:10.37236/3396, http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v21i1p57 .

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0