Τρεις συντρέχουσες ευθείες
ε
1
,
ε
2
,
ε
3
{\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}
O
{\displaystyle {\rm {O}}}
Στην γεωμετρία , συντρέχουσες ονομάζονται δύο ή περισσότερες ευθείες που τέμνονται σε (ακριβώς) ένα σημείο .[ 1]
Ένα σύνολο των ευθειών που συντρέχουν λέγονται δέσμη ευθειών και το σημείο τομής τους λέγεται το κέντρο της.
Έστω δύο παράλληλες ευθείες
δ
1
,
δ
2
{\displaystyle \delta _{1},\delta _{2}}
ε
1
,
ε
2
,
ε
3
{\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}
A
1
,
B
1
,
A
2
,
B
2
,
A
3
,
B
3
{\displaystyle {\rm {A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},A_{3},B_{3}}}}
ε
1
,
ε
2
,
ε
3
{\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}
A
1
A
2
B
1
B
2
=
A
2
A
3
B
2
B
3
=
A
3
A
1
B
3
B
1
{\displaystyle {\rm {{\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{3}A_{1}}{B_{3}B_{1}}}}}}
δηλαδή τα τμήματα που αποκόπτουν από τις παράλληλες είναι ανάλογα μεταξύ τους.
Απόδειξη
Σχήμα απόδειξης. Τα τρίγωνα
O
A
1
A
2
{\displaystyle {\rm {OA_{1}A_{2}}}}
O
B
1
B
2
{\displaystyle {\rm {OB_{1}B_{2}}}}
όμοια καθώς
A
1
O
A
2
^
=
B
1
O
B
2
^
{\displaystyle {\widehat {\rm {A_{1}OA_{2}}}}={\widehat {\rm {B_{1}OB_{2}}}}}
O
A
1
A
2
^
=
O
B
1
B
2
^
{\displaystyle {\widehat {\rm {OA_{1}A_{2}}}}={\widehat {\rm {OB_{1}B_{2}}}}}
δ
1
,
δ
2
{\displaystyle \delta _{1},\delta _{2}}
ε
1
{\displaystyle \varepsilon _{1}}
Επομένως,
A
1
A
2
B
1
B
2
=
O
A
2
O
B
2
{\displaystyle {\rm {{\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {OA_{2}}{OB_{2}}}}}}
(1
Αντίστοιχα, από τα όμοια τρίγωνα
O
A
2
A
3
{\displaystyle {\rm {OA_{2}A_{3}}}}
O
B
2
B
3
{\displaystyle {\rm {OB_{2}B_{3}}}}
A
2
A
3
B
2
B
3
=
O
A
2
O
B
2
{\displaystyle {\rm {{\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {OA_{2}}{OB_{2}}}}}}
(2
Συνδυάζοντας τις (1 2
A
1
A
2
B
1
B
2
=
A
2
A
3
B
2
B
3
{\displaystyle {\rm {{\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}}}}
Τέλος, από την ιδιότητα των κλασμάτων
α
β
=
γ
δ
=
α
+
γ
β
+
δ
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\gamma }{\delta }}={\frac {\alpha +\gamma }{\beta +\delta }}}
λαμβάνουμε την ζητούμενη.
Η εξίσωση της δέσμης ευθειών είναι η
κ
(
α
1
x
+
β
1
y
+
γ
1
)
+
λ
(
α
2
x
+
β
2
y
+
γ
2
)
=
0
{\displaystyle \kappa \left({{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}y+{{\gamma }_{1}}\right)+\lambda \left({{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}y+{{\gamma }_{2}}\right)=0}
:
(
1
)
{\displaystyle :(1)}
Οι συντεταγμένες του κέντρου βρίσκονται από την επίλυση του συστήματος
(
Σ
)
:
{
α
1
x
+
β
1
y
+
γ
1
=
0
α
2
x
+
β
2
y
+
γ
2
=
0
{\displaystyle \left(\Sigma \right):\left\{{\begin{matrix}{{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}y+{{\gamma }_{1}}=0\\{{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}y+{{\gamma }_{2}}=0\\\end{matrix}}\right.}
Αν
κ
=
1
{\displaystyle \kappa =1}
(
α
1
x
+
β
1
y
+
γ
1
)
+
λ
(
α
2
x
+
β
2
y
+
γ
2
)
=
0
{\displaystyle \left({{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}y+{{\gamma }_{1}}\right)+\lambda \left({{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}y+{{\gamma }_{2}}\right)=0}
:
(
2
)
{\displaystyle :(2)}
(
2
)
{\displaystyle (2)}
α
2
x
+
β
2
y
+
γ
2
=
0
{\displaystyle {{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}y+{{\gamma }_{2}}=0}
(
1
)
{\displaystyle (1)}
λ
=
1
{\displaystyle \lambda =1}
α
1
x
+
β
1
y
+
γ
1
=
0
{\displaystyle {{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}y+{{\gamma }_{1}}=0}
Αν
P
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle \mathrm {P} \left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)}
(
1
)
{\displaystyle \left(1\right)}
(
2
)
{\displaystyle \left(2\right)}
P
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle \mathrm {P} \left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)}
P
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle \mathrm {P} \left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)}
περιέχει όλες τις ευθείες του επιπέδου που διέρχονται από αυτό ενώ δεν ισχύει το ίδιο για την μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών .
Για παράδειγμα το σύνολο των ευθειών της δέσμης
κ
(
x
+
2
y
+
1
)
+
λ
(
x
+
y
)
=
0
,
|
κ
|
+
|
λ
|
≠
0
{\displaystyle \kappa \left(x+2y+1\right)+\lambda \left(x+y\right)=0,\left|\kappa \right|+\left|\lambda \right|\neq 0}
(
x
+
2
y
+
1
)
+
λ
(
x
+
y
)
=
0
{\displaystyle \left(x+2y+1\right)+\lambda \left(x+y\right)=0}
x
+
y
=
0
{\displaystyle x+y=0}
κ
(
x
+
2
y
+
1
)
+
λ
(
x
+
y
)
=
0
{\displaystyle \kappa \left(x+2y+1\right)+\lambda \left(x+y\right)=0}
P
(
1
,
−
1
)
{\displaystyle \mathrm {P} \left(1,-1\right)}
x
+
y
=
0
{\displaystyle x+y=0}
P
(
1
,
−
1
)
{\displaystyle \mathrm {P} \left(1,-1\right)}
κ
=
0
{\displaystyle \kappa =0}
λ
=
1
{\displaystyle \lambda =1}
(
x
+
2
y
+
1
)
+
λ
(
x
+
y
)
=
0
{\displaystyle \left(x+2y+1\right)+\lambda \left(x+y\right)=0}
λ
{\displaystyle \lambda }
1
+
λ
2
+
λ
=
1
{\displaystyle {\frac {1+\lambda }{2+\lambda }}=1}
1
2
+
λ
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2+\lambda }}=0}
Αν είναι γνωστό το κέντρο
P
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle \mathrm {P} \left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)}
y
−
y
0
=
λ
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle y-{{y}_{0}}=\lambda \left(x-{{x}_{0}}\right)}
x
=
x
0
{\displaystyle x={{x}_{0}}}
↑ Στεργίου, Μπάμπης (2003). Ολυμπιάδες Μαθηματικών: Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Α'Λυκείου . Σαββάλας. σελίδες 156–157.
