Συντηρητική δύναμη

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Συντηρητική ή διατηρητική δύναμη στη φυσική ονομάζεται μια δύναμη που έχει την ιδιότητα το έργο το οποίο παράγει κινώντας ένα σωματίδιο ανάμεσα σε δύο σημεία να είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή.[1] Ισοδύναμα, αν ένα σωματίδιο εκτελέσει μία διαδρομή και επιστρέψει στο σημείο από το οποίο ξεκίνησε υπό την επίδραση μιας συντηρητικής δυνάμεως, τότε το έργο της δυνάμεως πάνω στο σωματίδιο είναι μηδέν.[2]

Αν μια δύναμη είναι συντηρητική, τότε είναι δυνατό να ορίσουμε σε σχέση με αυτή ένα δυναμικό με μοναδική συγκεκριμένη τιμή σε κάθε σημείο. Κατά την κίνηση ενός σωματιδίου (υλικού σημείου) από μία θέση σε μία άλλη, η δύναμη μεταβάλλει τη δυναμική ενέργεια του σωματιδίου κατά ποσότητα που δεν εξαρτάται από τη διαδρομή του. Αν η δύναμη δεν είναι συντηρητική, τότε δεν είναι δυνατό να ορίσουμε ένα βαθμωτό δυναμικό, επειδή διαφορετικές διαδρομές δεν θα οδηγούσαν στην ίδια διαφορά δυναμικού ανάμεσα στα σημεία αρχής και τέλους της διαδρομής.

Η βαρυτική δύναμη είναι παράδειγμα συντηρητικής δυνάμεως, ενώ η τριβή ανήκει στις μη συντηρητικές δυνάμεις.

Μερικά άλλα παραδείγματα διατηρητικών δυνάμεων είναι η δύναμη επαναφοράς ενός απολύτως ελαστικού (ιδανικού) ελατηρίου, η ηλεκτροστατική δύναμη ανάμεσα σε δύο ηλεκτρικά φορτία και η μαγνητική δύναμη ανάμεσα σε δύο μαγνητικούς πόλους. Η ηλεκτροστατική δύναμη είναι επίσης κεντρική δύναμη, δηλαδή η διεύθυνσή της είναι κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα κέντρα των δύο φορτισμένων σωμάτων. Όλες οι σφαιρικά συμμετρικές κεντρικές δυνάμεις είναι συντηρητικές δυνάμεις.

Εναλλακτικός ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια συντηρητική δύναμη μπορεί να οριστεί λιγότερο αυστηρά ως μια δύναμη που συντηρεί (διατηρεί) τη μηχανική ενέργεια. Από αυτό τον ορισμό προέρχονται και οι ονομασίες «συντηρητική» και «διατηρητική». Ας υποθέσουμε ότι ένα σωματίδιο εκκινεί από το σημείο Α με μία δύναμη F να δρα επάνω του. Στη συνέχεια το σωμάτιο κινείται υπό την επίδραση διάφορων άλλων δυνάμεων και τελικώς καταλήγει και πάλι στο Α. Μολονότι το σωματίδιο μπορεί να κινείται ακόμα, τη στιγμή που ξαναπερνά από το σημείο Α, έχει διανύσει μία κλειστή διαδρομή. Αν το καθαρό έργο που έχει παραγάγει η F εκείνη τη στιγμή είναι 0, τότε η F ικανοποιεί το κριτήριο για την κλειστή διαδρομή. Κάθε δύναμη που ικανοποιεί το κριτήριο αυτό για όλες τις δυνατές κλειστές διαδρομές, είναι συντηρητική.

Για μη διατηρητικές δυνάμεις, η (μακροσκοπική) μηχανική ενέργεια που χάνεται (δεν διατηρείται) πρέπει να μετατραπεί σε κάποια άλλη μορφή ενέργειας, αφού ισχύει πάντοτε η διατήρηση της ενέργειας. Στις περισσότερες περιπτώσεις η ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα, π.χ. από την τριβή. Εκτός από θερμότητα, ένα (πολύ μικρότερο συνήθως) μέρος της ενέργειας φεύγει με τη μορφή ηχητικών κυμάτων. Η αντίσταση του νερού στην κίνηση μιας βάρκας μετατρέπει τη μηχανική της ενέργεια, εκτός από θερμότητα και ήχο, σε ενέργεια εγκάρσιων κυμάτων του νερού. Αυτές και άλλες απώλειες ενέργειας είναι μη αντιστρεπτές, εξαιτίας του β΄ νόμου της θερμοδυναμικής.

Ανεξαρτησία από τη διαδρομή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Conservative Force Gravity Example.svg

Στο σχήμα δεξιά, το έργο που εκτελεί η βαρυτική δύναμη κατά τη μετακίνηση ενός σώματος μάζας m εξαρτάται μόνο από τη μεταβολή στο ύψος του (h), επειδή η βαρύτητα είναι συντηρητική δύναμη. Το έργο που παράγει μια τέτοια δύναμη ισούται με το αντίθετο της μεταβολής στη δυναμική ενέργεια του σώματος κατά τη διάρκεια της διαδικασίας. Θεωρείστε δύο διαδρομές, τις 1 και 2, που οδηγούν αμφότερες από το σημείο A στο σημείο B. Η μεταβολή στην ενέργεια του σώματος όταν ακολουθεί την πρώτη διαδρομή από το A στο B και κατόπιν τη δεύτερη διαδρομή προς τα πίσω, από το B στο A, είναι 0. Επομένως το έργο είναι το ίδιο για τις δύο διαδρομές, δηλ. το έργο είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή που ακολουθείται, αρκεί να οδηγεί από το A στο B.

Για παράδειγμα, αν ένα παιδί γλιστρά σε μια τσουλήθρα χωρίς τριβή, το έργο της βαρυτικής δυνάμεως πάνω του από την κορυφή ως το τέλος της τσουλήθρας θα είναι το ίδιο, ανεξάρτητα από το σχήμα της τσουλήθρας, που μπορεί να είναι ευθύ, ή π.χ. ελικοειδές ή σπειροειδές. Το ποσό του έργου εξαρτάται μόνο από την κάθετη μετατόπιση του παιδιού.

Μαθηματική περιγραφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα πεδίο δυνάμεων F, που ορίζεται στον χώρο, ονομάζεται συντηρητική δύναμη ή συντηρητικό διανυσματικό πεδίο αν ικανοποιεί οποιαδήποτε από τις παρακάτω τρεις ισοδύναμες συνθήκες:

  1. Ο στροβιλισμός του F είναι το μηδενικό διάνυσμα:
  2. Το συνολικό έργο (W) της δυνάμεως είναι μηδέν όταν αυτή κινεί ένα σωματίδιο σε μία τροχιά που αρχίζει και τελειώνει στο ίδιο σημείο:
  3. Η δύναμη μπορεί να γραφεί ως η αρνητική κλίση (βαθμίδα) ενός δυναμικού :

Πολλές δυνάμεις (ιδίως όσες εξαρτώνται από την ταχύτητα) δεν αποτελούν πεδία δυνάμεων. Στις περιπτώσεις αυτές, οι παραπάνω τρεις συνθήκες δεν είναι μαθηματικώς ισοδύναμες. Π.χ. η μαγνητική δύναμη ικανοποιεί τη συνθήκη 2 (αφού το έργο που παράγει ένα μαγνητικό πεδίο πάνω σε ένα φορτισμένο σωματίδιο είναι πάντοτε μηδέν), αλλά δεν ικανοποιεί τη συνθήκη 3, ενώ η συνθήκη 1 δεν ορίζεται καν (η δύναμη δεν αποτελεί διανυσματικό πεδίο, οπότε δεν μπορεί να εκτιμηθεί ο στροβιλισμός της). Υπάρχουν λοιπόν κάποιοι φυσικοί που θεωρούν τη μαγνητική δύναμη συντηρητική[3], ενώ άλλοι δεν τη θεωρούν τέτοια[4]. Ωστόσο, η μαγνητική δύναμη είναι μία ιδιάζουσα περίπτωση. Οι περισσότερες δυνάμεις που εξαρτώνται από την ταχύτητα, όπως η αντίσταση του αέρα στην κίνηση ενός αυτοκινήτου, δεν ικανοποιούν καμιά από τις τρεις συνθήκες, και επομένως είναι αδιαμφισβήτητα μη συντηρητικές.

Μη συντηρητικές δυνάμεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μη διατηρητικές δυνάμεις μπορεί να προκύπτουν στην κλασική φυσική εξαιτίας αγνοημένων βαθμών ελευθερίας ή από χρονοεξαρτώμενα δυναμικά.[5] Η τριβή, για παράδειγμα, μπορεί να αναλυθεί χωρίς να καταφύγουμε σε μη συντηρητικές δυνάμεις, θεωρώντας τις δυνάμεις μεταξύ των μορίων ή των ατόμων. Ωστόσο, αυτό σημαίνει ότι πρέπει να αναλυθεί η κίνηση του κάθε μορίου ξεχωριστά αντί μέσω στατιστικών μεθόδων. Για μακροσκοπικά συστήματα, η προσέγγιση με τη μη συντηρητική δύναμη είναι πολύ ευκολότερη από ό,τι λαβαίνοντας υπόψη τρισεκατομμύρια βαθμούς ελευθερίας. Εκτός από την τριβή, μια τέτοια μακροσκοπικά μή συντηρητική δύναμη είναι η μη ελαστική μηχανική τάση των υλικών.

Από την άλλη πλευρά, η βαρύτητα στη Γενική θεωρία της σχετικότητας δεν είναι συντηρητική, όπως φαίνεται από την ανώμαλη μετάπτωση του περιηλίου του Ερμή. Ωστόσο, μπορεί να δειχθεί ότι η γενική σχετικότητα διατηρεί έναν ψευδοτανυστή τάσης-ενέργειας-ορμής.


Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. HyperPhysics - Conservative force
  2. Louis N. Hand, Janet D. Finch (1998). Analytical Mechanics. Cambridge University Press. σελ. 41. ISBN 0-521-57572-9. 
  3. Βλ. π.χ. Mechanics, του P.K. Srivastava, 2004, σελ. 94: «Γενικά, μια δύναμη που εξαρτάται εκπεφρασμένα από την ταχύτητα του σωματιδίου δεν είναι συντηρητική. Ωστόσο, η μαγνητική δύναμη (qv×B) μπορεί να συμπεριληφθεί στις συντηρητικές δυνάμεις υπό την έννοια ότι δρα κάθετα στην ταχύτητα και άρα το έργο που παράγει είναι πάντοτε μηδέν». Web link
  4. Βλ. π.χ. The Magnetic Universe: Geophysical and Astrophysical Dynamo Theory, Rüdiger and Hollerbach, σελ. 178, Σύνδεσμος
  5. Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik, WILEY-VCH 2005, σελ. 9.
Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Conservative force της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).