Συνεπίπεδα σημεία

4 συνεπίπεδα σημεία

4 μη-συνεπίπεδα σημεία

Στην στερεομετρία, συνεπίπεδα σημεία ονομάζεται ένα σύνολο σημείων για τα οποία υπάρχει ένα επίπεδο που τα περιέχει όλα.

Παραδείγματα

• Οποιαδήποτε τρία σημεία είναι συνεπίπεδα, καθώς υπάρχει επίπεδο που περιέχει και τα τρία (αυτό που περιέχει το τρίγωνο που ορίζουν).

Διανυσματική γεωμετρία

Τέσσερα σημεία $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d}$ είναι συνεπίπεδα αν και μόνο αν

$\left((\mathbf {b} -\mathbf {a} )\times (\mathbf {c} -\mathbf {a} )\right)\cdot (\mathbf {d} -\mathbf {a} )=0$,

όπου $\times$ είναι το εξωτερικό και $\cdot$ το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.

Απόδειξη  

Αν δύο από τα σημεία είναι ίσα, τότε η σχέση πάντα είναι ίση με το 0 και τα τρία σημεία είναι συνεπίπεδα.

Επομένως, θα υποθέσουμε ότι τα τέσσερα σημεία είναι διακριτά. Το διάνυσμα

$(\mathbf {b} -\mathbf {a} )\times (\mathbf {c} -\mathbf {a} )$,

είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα σημεία $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$, καθώς από τις ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου είναι κάθετο προς τα διανύσματα $\mathbf {b} -\mathbf {a}$ και $\mathbf {c} -\mathbf {a}$. Το $\mathbf {d}$ θα ανήκει στο ίδιο επίπεδο αν και μόνο αν αυτό το διάνυσμα είναι επίσης κάθετο στο διάνυσμα $\mathbf {d} -\mathbf {a}$, δηλαδή αν και μόνο αν

$\left((\mathbf {b} -\mathbf {a} )\times (\mathbf {c} -\mathbf {a} )\right)\cdot (\mathbf {d} -\mathbf {a} )=0$.

Ισοδύναμα, τα σημεία είναι συνεπίπεδα αν και μόνο αν

$[\mathbf {b} -\mathbf {a} ,\mathbf {c} -\mathbf {a} ,\mathbf {d} -\mathbf {a} ]=0$,

όπου $[~~,~~,~~]$ το μεικτό γινόμενο.

Δείτε επίσης

• Συνευθειακά σημεία (γεωμετρία)