Συναρτητής Μακέι

Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στη θεωρία αναπαραστάσεων και στην αλγεβρική τοπολογία, ο συναρτητής Μακέι είναι ένας τύπος συναρτητή που γενικεύει διάφορες κατασκευές στη θεωρία ομάδων και στην ισαλλοίωτη θεωρία ομοτοπίας. Ο εν λόγω συναρτητής, που πήρε το όνομά του από τον Αμερικανό μαθηματικό Τζορτζ Μακέι, παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον Γερμανό μαθηματικό Αντρέας Ντρες το 1971.

Ορισμός

Κλασικός ορισμός

Έστω $G$ μια πεπερασμένη ομάδα. Ένας συναρτητής Μακέι $M$ για την $G$ αποτελείται από:

• Για κάθε υποομάδα $H\leq G$, μια αβελιανή ομάδα p $M(H)$,
• Για κάθε ζεύγος υποομάδων $H,K\leq G$ με $H\subseteq K$:
  • Ένας ομομορφισμός περιορισμού $R_{H}^{K}:M(K)\to M(H)$,
  • Ένας ομομορφισμός μεταφοράς $I_{H}^{K}:M(H)\to M(K)$.

Οι απεικονίσεις αυτές πρέπει να ικανοποιούν τα ακόλουθα αξιώματα:

Συναρτησιακότητα: Για φωλευμένες υποομάδες $H\subseteq K\subseteq L$, $R_{H}^{L}=R_{H}^{K}\circ R_{K}^{L}$ and $I_{H}^{L}=I_{K}^{L}\circ I_{H}^{K}$.

Συζυγία: Για κάθε $g\in G$ και $H\leq G$, είναι ισομορφισμοί $c_{g}:M(H)\to M(gHg^{-1})$ συμβατοί με τον περιορισμό και τη μεταφορά.

Τύπος διπλού συσσύνολο (coset): Για τις υποομάδες $H,K\leq G$, ισχύει η ακόλουθη ταυτότητα:

$R_{H}^{G}I_{K}^{G}=\sum _{x\in [H\backslash G/K]}I_{H\cap xKx^{-1}}^{H}\circ c_{x}\circ R_{x^{-1}Hx\cap K}^{K}$.

Σύγχρονος ορισμός

Στη σύγχρονη θεωρία κατηγοριών, ένας συναρτητής Μακέι μπορεί να οριστεί πιο κομψά χρησιμοποιώντας τη γλώσσα των spans. Έστω ${\mathcal {C}}$ μια διαζευκτική οιονεί κατηγορία και ${\mathcal {A}}$ μια προσθετική οιονεί κατηγορία. Ένας συναρτήτης Μακέι είναι ένας συναρτήτης που διατηρεί το γινόμενο $M:{\text{Span}}({\mathcal {C}})\to {\mathcal {A}}$ όπου ${\text{Span}}({\mathcal {C}})$ είναι η οιονεί κατηγορία των αντιστοιχιών στο ${\mathcal {C}}$.

Εφαρμογές

Στην ισοδύναμη θεωρία ομοτοπίας

Οι συναρτητές Μακέι παίζουν σημαντικό ρόλο στην ισαλλοίωτη θεωρία σταθερής ομοτοπίας. Για ένα γνήσιο $G$-spectrum $E$, οι ισαλλοίωτες  ομάδες ομοτοπίας του σχηματίζουν έναν συναρτητή Μακέι που δίνεται από:

$\pi _{n}(E):G/H\mapsto [G/H_{+}\wedge S^{n},X]^{G}$

όπου $[-,-]^{G}$ συμβολίζει μορφισμούς στην ισαλλοίωτη κατηγορία σταθερής ομοτοπίας.

Συνομολογία με τους συντελεστές του συναρτητή Μακέι

Για ένα σημειακό G-CW μιγαδικό $X$ και έναν συναρτητή Μακέι $A$, μπορεί κανείς να ορίσει την ισαλλοίωτη συνομολογία με συντελεστές στο:

$H_{G}^{n}(X,A):=H^{n}({\text{Hom}}(C_{\bullet }(X),A))$

όπου $C_{\bullet }(X)$ μιγαδική αλυσίδα των συναρτητών Μακέι που δίνονται από σταθερές ισαλλοίωτες ομάδες ομοτοπίας των πηλίκων χώρων.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
• Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Προσεταιριστική ιδιότητα
• Αντιμεταθετική ιδιότητα
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Τοπολογικός χώρος
• Κατηγορία αβελιανών ομάδων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Αβελιανή κατηγορία
• Αβελιανή ομάδα
• Σύνθεση συνάρτησης
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Συναρτητής Hom
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

Βιβλιογραφία

• Bouc, Serge (2000). Non-Additive Exact Functors and Tensor Induction for Mackey Functors. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1951-7. 
• Dlab, Vlastimil· Ringel, Claus Michael (2004). Representations of Finite Dimensional Algebras and Related Topics in Lie Theory and Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3416-9. 
• Bergh, Petter Andreas· Oppermann, Steffen (29 Ιουλίου 2024). Triangulated Categories in Representation Theory and Beyond: The Abel Symposium 2022. Springer Nature. ISBN 978-3-031-57789-5. 
• Greenlees, John Patrick Campbell (1999). Rational $S^1$-Equivariant Stable Homotopy Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1001-9. 
• Dieck, Tammo tom (14 Νοεμβρίου 2006). Algebraic Topology and Transformation Groups: Proceedings of a Conference held in Göttingen, FRG, August 23-29, 1987. Springer. ISBN 978-3-540-46036-7. 
• Adem, Alejandro (1998). Group Representations: Cohomology, Group Actions and Topology: Cohomology, Group Actions, and Topology : Summer Research Institute on Cohomology, Representations, and Actions of Finite Groups, July 7-27, 1996, University of Washington, Seattle. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0658-6. 
• Dwyer, William G. (1 Ιανουαρίου 1998). Stable and Unstable Homotopy. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7126-3. 
• Arlettaz, Dominique· Hess, Kathryn (2006). An Alpine Anthology of Homotopy Theory: Proceedings of the Second Arolla Conference on Algebraic Topology, August 24-29, 2004, Arolla, Switzerland. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3696-5. 
• Adams, John Frank· Ray, Nigel (1992). Adams Memorial Symposium on Algebraic Topology: Manchester 1990. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42153-9. 
• Dennis, R. Keith (1992). Algebraic $K$-Theory, Commutative Algebra, and Algebraic Geometry: Proceedings of the U.S.--Italy Joint Seminar Held June 18-24, 1989 at Santa Margherita Ligure, Italy, with Support from the National Science Foundation and Consiglio Nazionale Delle Ricerche. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-5130-2. 

Παραπομπές

• Peter Freyd, Max Kelly (1972). «Categories of Continuous Functors I». Journal of Pure and Applied Algebra 2. 
• Riehl, Emily (2014), Categorical homotopy theory, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781107261457, ISBN 978-1-107-04845-4 

• The standard reference is the fourth volume of the Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie.
• Francis, J. Derived Algebraic Geometry Over ${\mathcal {E}}_{n}$-Rings
• Grothendieck Duality for Derived Stacks
• Homology of local rings, Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, 20, Queen's University, 1969 
• Quillen, Daniel (1970), «On the (co-)homology of commutative rings», Applications of categorical algebra, Proc. Symp. Pure Mat., 17, American Mathematical Society, σελ. 65–87 
• «Hopf algebras and derivations», Journal of Algebra 64: 218–229, 1980, doi:10.1016/0021-8693(80)90143-X 
• «History of homological algebra», History of topology, Amsterdam: North-Holland, 1999, σελ. 797–836, http://sites.math.rutgers.edu/~weibel/HA-history.pdf 

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
• Munkres, James R. (1993). Elements of Algebraic Topology. New York: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0. 
• Artin, Michael· Alexandre Grothendieck· Jean-Louis Verdier, επιμ. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1. Lecture notes in mathematics (στα Γαλλικά). 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0. 
• Giraud, Jean (1964), «Analysis situs», Séminaire Bourbaki, 1962/63. Fasc. 3,, Paris: Secrétariat mathématique, http://www.numdam.org/item?id=SB_1962-1964__8__189_0 
• Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 
• Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 
• Categorical programming with inductive and coinductive types (Αρχειοθετήθηκε 2020-11-30 στο Wayback Machine.) by Varmo Vene
• Philip Wadler: Recursive types for free! (Αρχειοθετήθηκε 2020-11-30 στο Wayback Machine.) University of Glasgow, June 1990. Draft.
• Algebra and coalgebra (Αρχειοθετήθηκε 2019-04-27 στο Wayback Machine.) from CLiki
• B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, Αρχειοθετήθηκε 2021-02-12 στο Wayback Machine.
• Understanding F-Algebras (Αρχειοθετήθηκε 2020-08-04 στο Wayback Machine.) by Bartosz Milewski
• Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 
• Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X 
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Endomorphism ring», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035610 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 
• Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8, https://books.google.com/books?id=hQTvAAAAMAAJ&q=endomorphism+ring 
• Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, 3 (Revised and translated from the 1988 German έκδοση), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, σελ. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, https://archive.org/details/foundationsofmod0003wisb/page/  A handbook for study and research
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_ 
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 

Πηγές

• Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7. 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.