Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές Μπορείτε να βοηθήσετε προσθέτοντας την κατάλληλη τεκμηρίωση. Υλικό που είναι ατεκμηρίωτο μπορεί να αμφισβητηθεί και να αφαιρεθεί.Η σήμανση τοποθετήθηκε στις 17/08/2015.
R
[
x
1
,
.
.
.
,
x
n
]
{\displaystyle {\mathcal {R}}[x_{1},...,x_{n}]}
δακτύλιος των πολυωνύμων στις μεταβλητές
x
1
,
.
.
,
x
n
{\displaystyle x_{1},..,x_{n}}
δακτύλιο
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
S
n
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}
συμμετρική ομάδα βαθμού n.
Ένα πολυώνυμο
f
∈
R
[
x
1
,
.
.
,
x
n
]
{\displaystyle f\in {\mathcal {R}}[x_{1},..,x_{n}]}
(symmetric polynomial ) αν ισχύει ότι
f
(
x
1
,
.
.
x
n
)
=
f
(
x
π
(
x
1
)
,
.
.
.
,
x
π
(
x
n
)
)
{\displaystyle f(x_{1},..x_{n})=f(x_{\pi (x_{1})},...,x_{\pi (x_{n})})}
μετάθεση π
∈
S
n
{\displaystyle \in {\mathcal {S}}_{n}}
Τα ακόλουθα πολυώνυμα είναι συμμετρικά
s
1
=
x
1
+
.
.
+
x
n
{\displaystyle s_{1}=x_{1}+..+x_{n}}
s
2
=
x
1
x
2
+
.
.
.
+
x
1
x
n
+
.
.
.
.
x
n
−
1
x
n
{\displaystyle s_{2}=x_{1}x_{2}+...+x_{1}x_{n}+....x_{n-1}x_{n}}
.....
s
n
=
x
1
x
2
.
.
x
n
{\displaystyle s_{n}=x_{1}x_{2}..x_{n}}
Τα πολυώνυμα αυτά καλούνται στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα (elementary symmetric polynomials) και προκύπτουν (με προσέγγιση προσήμου),ως συντελεστές του πολυωνύμου
(
x
−
x
1
)
.
.
.
.
(
x
−
x
n
)
=
x
n
−
s
1
x
n
−
1
+
s
2
x
n
−
2
−
.
.
.
+
(
−
1
)
n
s
n
∈
R
[
x
1
.
.
.
,
x
n
]
[
x
]
{\displaystyle (x-x_{1})....(x-x_{n})=x^{n}-s_{1}x^{n-1}+s_{2}x^{n-2}-...+(-1)^{n}s_{n}\in {\mathcal {R}}[x_{1}...,x_{n}][x]}
![{\displaystyle {\mathcal {R}}[x_{1},...,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508c8fc9d85ee54c4b8acf1cd923dde408912b1e)
![{\displaystyle f\in {\mathcal {R}}[x_{1},..,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67060e5db18e9eb15392ae295626bb6d5e11fcfa)
![{\displaystyle (x-x_{1})....(x-x_{n})=x^{n}-s_{1}x^{n-1}+s_{2}x^{n-2}-...+(-1)^{n}s_{n}\in {\mathcal {R}}[x_{1}...,x_{n}][x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10be96d20608070fbd9123a1db0a31e1fcac2e6)
