Σημειογραφία της θέσης

Γλωσσάριο των όρων που χρησιμοποιούνται στη σημειογραφία της θέσης

Η σημειογραφία της θέσης, επίσης γνωστή ως σημειογραφία της αξίας θέσης, αριθμητικό σύστημα της θέσης ή απλώς αξία θέσης, συνήθως δηλώνει την επέκταση σε οποιαδήποτε βάση του ινδουιστικού-αραβικού αριθμητικού συστήματος (ή δεκαδικού συστήματος). Γενικότερα, το σύστημα θέσης είναι ένα αριθμητικό σύστημα στο οποίο η συνεισφορά ενός ψηφίου στην αξία ενός αριθμού είναι η αξία του ψηφίου πολλαπλασιασμένη με έναν συντελεστή που καθορίζεται από τη θέση του ψηφίου. Στα πρώιμα αριθμητικά συστήματα, όπως τα ρωμαϊκά ψηφία, ένα ψηφίο έχει μόνο μία τιμή: I σημαίνει ένα, X σημαίνει δέκα και C εκατό (ωστόσο, οι τιμές μπορούν να τροποποιηθούν όταν συνδυάζονται). Στα σύγχρονα συστήματα θέσης, όπως το δεκαδικό σύστημα, η θέση του ψηφίου σημαίνει ότι η τιμή του πρέπει να πολλαπλασιαστεί με κάποια τιμή: στο 555, τα τρία πανομοιότυπα σύμβολα αντιπροσωπεύουν πέντε εκατοντάδες, πέντε δεκάδες και πέντε μονάδες αντίστοιχα, λόγω των διαφορετικών τους θέσεων στη σειρά ψηφίων.

Το βαβυλωνιακό αριθμητικό σύστημα, με βάση το 60, ήταν το πρώτο σύστημα θέσης που αναπτύχθηκε και η επιρροή του είναι παρούσα σήμερα στον τρόπο με τον οποίο μετράται ο χρόνος και οι γωνίες σε αριθμούς που σχετίζονται με το 60, όπως 60 λεπτά σε μια ώρα και 360 μοίρες σε έναν κύκλο. Σήμερα, το ινδουιστικό-αραβικό αριθμητικό σύστημα (βάση δέκα) είναι το περισσότερο χρησιμοποιούμενο σύστημα παγκοσμίως. Ωστόσο, το δυαδικό αριθμητικό σύστημα (βάση δύο) χρησιμοποιείται σχεδόν σε όλους τους υπολογιστές και τις ηλεκτρονικές συσκευές, επειδή είναι ευκολότερο να εφαρμοστεί αποτελεσματικά στα ηλεκτρονικά κυκλώματα.

Έχουν περιγραφεί συστήματα με αρνητική βάση, σύνθετη βάση ή αρνητικά ψηφία. Τα περισσότερα από αυτά δεν απαιτούν σύμβολο μείον για τον προσδιορισμό των αρνητικών αριθμών.

Η χρήση ενός ακριβείας (δεκαδικό σημείο στη βάση του δέκα), επεκτείνεται ώστε να περιλαμβάνει κλάσματα και επιτρέπει την αναπαράσταση οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού με αυθαίρετη ακρίβεια. Με τη σημειογραφία θέσης, οι αριθμητικοί υπολογισμοί είναι πολύ απλούστεροι από ό,τι με οποιοδήποτε παλαιότερο αριθμητικό σύστημα- αυτό οδήγησε στην ταχεία εξάπλωση της σημειογραφίας όταν εισήχθη στη δυτική Ευρώπη.

Ιστορία

Σουάν παν ή άβαξ (ο αριθμός που απεικονίζεται στην εικόνα είναι 6.302.715.408)

Σήμερα, το σύστημα βάσης 10 (δεκαδικό σύστημα), το οποίο πιθανώς έχει ως κίνητρο την αρίθμηση με τα δέκα δάχτυλα, είναι πανταχού παρόν. Κατά το παρελθόν χρησιμοποιήθηκαν και άλλες βάσεις, και ορισμένες συνεχίζουν να χρησιμοποιούνται και σήμερα. Επί παραδείγματι, το Βαβυλωνιακό αριθμητικό σύστημα, που πιστώνεται ως το πρώτο αριθμητικό σύστημα θέσης, ήταν η βάση 60. Ωστόσο, δεν είχε πραγματικό μηδέν. Αρχικά το μηδέν προέκυπτε μόνο από τα συμφραζόμενα, αργότερα, περίπου το 700 π.Χ., το μηδέν άρχισε να επισημαίνεται με ένα «κενό» ή ένα «σύμβολο στίξης» (όπως δύο κεκλιμένες γωνίες) μεταξύ των ψηφίων. Ήταν ένα σύμβολο θέσης και όχι ένα πραγματικό μηδέν, επειδή δεν χρησιμοποιούταν μόνο του ή στο τέλος ενός αριθμού. Αριθμοί όπως το 2 και το 120 (2×60) έμοιαζαν το ίδιο, επειδή ο μεγαλύτερος αριθμός δεν είχε τελικό κατασταλτικό στοιχείο. Μόνο τα συμφραζόμενα μπορούσαν να τους διαφοροποιήσουν.

Ο πολυμαθής Αρχιμήδης (περίπου 287-212 π.Χ.) εφηύρε ένα δεκαδικό σύστημα θέσης βασισμένο στο 10⁸ στο έργο του "Ψαμμίτης". Ο Γερμανός μαθηματικός του 19ου αιώνα Καρλ Γκάους παραπονέθηκε για το πώς θα είχε προχωρήσει η επιστήμη αν ο Αρχιμήδης είχε κάνει το άλμα σε κάτι παρόμοιο με το σύγχρονο δεκαδικό σύστημα. Οι ελληνιστικοί και ρωμαϊκοί αστρονόμοι χρησιμοποιούσαν ένα σύστημα βάσης 60 βασισμένο στο βαβυλωνιακό μοντέλο (βλ. Ελληνικό σύστημα αρίθμησης § Μηδέν).

Πριν η σημειογραφία θέσης γίνει πρότυπο, χρησιμοποιούνταν απλά προσθετικά συστήματα (σημειογραφία σημείων-τιμών) όπως οι ρωμαϊκοί αριθμοί ή οι κινεζικοί αριθμοί, και οι λογιστές στο παρελθόν χρησιμοποιούσαν τον άβακα ή τους πέτρινους μετρητές για να κάνουν αριθμητική μέχρι την εισαγωγή της σημειογραφίας θέσης.

Κινέζικοι αριθμοί ράβδου; Πάνω σειρά κάθετης μορφής(Βρετονικά) Κάτω σειρά οριζόντια μορφή

Οι ράβδοι μέτρησης και οι περισσότεροι άβακες χρησιμοποιούνταν για την αναπαράσταση των αριθμών σε ένα σύστημα αριθμητικών θέσεων. Χρησιμοποιώντας ράβδους μέτρησης ή άβακες για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων, οι αρχικές, ενδιάμεσες και τελικές τιμές ενός υπολογισμού μπορούσαν εύκολα να γραφτούν χρησιμοποιώντας ένα απλό προσθετικό σύστημα σε κάθε θέση ή στήλη. Αυτή η προσέγγιση δεν απαιτεί την απομνημόνευση πινάκων (όπως η σημειογραφία θέσης) και επιτρέπει τη γρήγορη εξαγωγή πρακτικών αποτελεσμάτων.

Το παλαιότερο σωζόμενο σύστημα σημειογραφίας θέσης είναι είτε το κινεζικό σύστημα το λεγόμενο "ράβδοι αριθμών", που χρησιμοποιείται τουλάχιστον από τις αρχές του 8ου αιώνα, είτε ίσως τα αριθμητικά συστήματα των Χμερ, που δείχνουν πιθανές χρήσεις της σημειογραφίας θέσης τον 7ο αιώνα. Τα αριθμητικά Χμερ και τα άλλα ινδικά αριθμητικά προέρχονται από τα αριθμητικά Μπράχμι του 3ου αιώνα π.Χ., τα οποία σύμβολα δεν χρησιμοποιούνταν, εκείνη την εποχή, ως σύμβολα θέσης. Τα μεσαιωνικά ινδικά αριθμητικά είναι θέσης, όπως και τα παράγωγα αραβικά αριθμητικά, που καταγράφονται από τον 10ο αιώνα.

Μετά τη Γαλλική Επανάσταση (1789-1799), η νέα γαλλική κυβέρνηση προώθησε την επέκταση του δεκαδικού συστήματος. Ορισμένες από αυτές τις προσπάθειες υπέρ του δεκαδικού συστήματος -όπως η δεκαδική ώρα και το δεκαδικό ημερολόγιο- ήταν ανεπιτυχείς. Άλλες γαλλικές προσπάθειες υπέρ του δεκαδικού συστήματος -η δεκαπλασιασμός των νομισμάτων και η μετρικοποίηση των βαρών και των μέτρων- διαδόθηκαν ευρέως εκτός Γαλλίας σε ολόκληρο σχεδόν τον κόσμο.

Ιστορία των κλασμάτων θέσης

Κύριο άρθρο: Δεκαδικό σύστημα

Τα δεκαδικά κλάσματα αναπτύχθηκαν και χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από τους Κινέζους με τη μορφή του υπολογισμού ράβδων τον 1ο αιώνα π.Χ. και στη συνέχεια διαδόθηκαν στον υπόλοιπο κόσμο. Ο Τζ. Λέναρτ Μπέργκρεν σημειώνει ότι τα δεκαδικά κλάσματα θέσης χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά στα αραβικά από τον μαθηματικό Αμπού'λ-Χασάν αλ-Οκλιντίσι ήδη από τον 10ο αιώνα. Ο Εβραίος μαθηματικός Ιμάνουελ Μπονφίλς χρησιμοποίησε τα δεκαδικά κλάσματα γύρω στο 1350, αλλά δεν ανέπτυξε κάποια σημειογραφία για την αναπαράστασή τους .Ο Πέρσης μαθηματικός Τζαμσίτ αλ-Κασί έκανε την ίδια ανακάλυψη των δεκαδικών κλασμάτων τον 15ο αιώνα. Ο Αλ Χουαρίζμι εισήγαγε τα κλάσματα στις ισλαμικές χώρες στις αρχές του 9ου αιώνα- η παρουσίαση των κλασμάτων του ήταν παρόμοια με τα παραδοσιακά κινεζικά μαθηματικά κλάσματα από το Σούνζι Σουαντζίνγκ. Αυτή η μορφή κλάσματος με τον αριθμητή στο πάνω μέρος και τον παρονομαστή στο κάτω μέρος χωρίς οριζόντια γραμμή χρησιμοποιήθηκε επίσης από τον 10ο αιώνα από τον Αμπού'λ-Χασάν αλ-Ουκλίδη και τον 15ο αιώνα από το έργο του Τζαμσίτ αλ-Κασί «Αριθμητικό κλειδί»

Η υιοθέτηση της δεκαδικής αναπαράστασης αριθμών μικρότερων του ενός, δηλαδή ενός κλάσματος, αποδίδεται συχνά στον Σίμον Στέβιν μέσω του εγχειριδίου του «Ντε Θιέντε», αλλά τόσο ο Στέβιν όσο και ο Ε. Γ. Ντάικστερχουις αναφέρουν ότι ο Ρετζιομόντανους συνέβαλε στην ευρωπαϊκή υιοθέτηση των γενικών δεκαδικών αριθμών:

Οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί, όταν παρέλαβαν από τους Ινδουιστές, μέσω των Αράβων, την ιδέα της τιμής θέσης για τους ακέραιους αριθμούς, παρέλειψαν να επεκτείνουν την ιδέα αυτή στα κλάσματα. Για μερικούς αιώνες περιορίστηκαν στη χρήση κοινών και εξηνταδικών κλασμάτων ... Αυτή η ημιμάθεια δεν ξεπεράστηκε ποτέ εντελώς, και τα εξηνταδικά κλάσματα εξακολουθούν να αποτελούν τη βάση της τριγωνομετρίας, της αστρονομίας και της μέτρησης του χρόνου. ¶ ... Οι μαθηματικοί προσπάθησαν να αποφύγουν τα κλάσματα παίρνοντας την ακτίνα R ίση με έναν αριθμό μονάδων μήκους της μορφής 10ⁿ και στη συνέχεια υποθέτοντας για το n μια τόσο μεγάλη ακέραια τιμή ώστε όλες οι εμφανιζόμενες ποσότητες να μπορούν να εκφραστούν με επαρκή ακρίβεια με ακέραιους αριθμούς. ¶ Ο πρώτος που εφάρμοσε αυτή τη μέθοδο ήταν ο Γερμανός αστρονόμος Ρετζιομοντάνος. Στο βαθμό που εξέφρασε τα γωνιομετρικά ευθύγραμμα τμήματα σε μια μονάδα R/10ⁿ, ο Ρετζιομοντάνος μπορεί να χαρακτηριστεί πρόδρομος του δόγματος των δεκαδικών κλασμάτων θέσης.

Κατά την εκτίμηση του Ντάικστερχουις, «μετά τη δημοσίευση του Ντε Θιέντε μόνο μια μικρή πρόοδος χρειαζόταν για να καθιερωθεί το πλήρες σύστημα των δεκαδικών κλασμάτων θέσης, και αυτό το βήμα έγινε αμέσως από έναν αριθμό συγγραφέων... μετά τον Στέβιν η πιο σημαντική φιγούρα σε αυτή την εξέλιξη ήταν ο Ρετζιομόντανους». Ο Ντάικστερχουις σημείωσε ότι [ο Στέβιν] «αποδίδει πλήρη αναγνώριση στον Ρετζιομοντάνο για την προηγούμενη συμβολή του, λέγοντας ότι οι τριγωνομετρικοί πίνακες του Γερμανού αστρονόμου περιέχουν στην πραγματικότητα ολόκληρη τη θεωρία των “αριθμών του δεκαδικού συστήματος”»"

Μαθηματικά

Βάση αριθμητικού συστήματος

Στα μαθηματικά αριθμητικά συστήματα το radix r είναι συνήθως ο αριθμός των μοναδικών ψηφίων, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός, που χρησιμοποιεί ένα σύστημα αριθμητικών θέσεων για την αναπαράσταση των αριθμών. Σε ορισμένες περιπτώσεις, όπως για παράδειγμα με αρνητική βάση, το radix είναι η απόλυτη τιμή $r=|b|$ της βάσης b. Επί παραδείγματι, για το δεκαδικό σύστημα το ρίζωμα (και η βάση) είναι δέκα, επειδή χρησιμοποιεί τα δέκα ψηφία από το 0 έως το 9. Όταν ένας αριθμός « φτάνει» στο 9, ο επόμενος αριθμός δεν θα είναι ένα άλλο διαφορετικό σύμβολο, αλλά ένα «1» που θα ακολουθείται από ένα «0». Στο δυαδικό σύστημα, το radix είναι δύο, διότι αφού φτάσει στο "1", αντί για το "2" ή ένα άλλο γραμμένο σύμβολο, μεταπηδά απευθείας στο «10», ακολουθούμενο από το "11" και το "100".

Το υψηλότερο σύμβολο ενός αριθμητικού συστήματος θέσης έχει κατά κανόνα τιμή κατά μία μονάδα χαμηλότερη από την τιμή του radix του εν λόγω αριθμητικού συστήματος. Τα τυποποιημένα συστήματα αριθμητικών θέσεων διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς τη βάση που χρησιμοποιούν.

Το radix είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 1, καθώς ένα radix μηδέν δεν θα είχε κανένα ψηφίο, ενώ ένα radix 1 θα είχε μόνο το μηδενικό ψηφίο. Οι αρνητικές βάσεις χρησιμοποιούνται σπάνια. Σε ένα σύστημα με περισσότερα από $|b|$ μοναδικά ψηφία, οι αριθμοί μπορεί να έχουν πολλές διαφορετικές πιθανές αναπαραστάσεις.

Είναι σημαντικό το radix να είναι πεπερασμένο, από το οποίο προκύπτει ότι ο αριθμός των ψηφίων είναι αρκετά μικρός. Διαφορετικά, το μήκος ενός αριθμού δεν θα ήταν απαραίτητα λογαριθμικό ως προς το μέγεθός του.

(Σε ορισμένα μη τυποποιημένα συστήματα αριθμητικών θέσεων, συμπεριλαμβανομένης της bijective αρίθμησης

Στην τυπική σημειογραφία θέσης στη βάση του δέκα (δεκαδικό), υπάρχουν δέκα δεκαδικά ψηφία και ο αριθμός , ο ορισμός της βάσης ή των επιτρεπόμενων ψηφίων αποκλίνει από τα ανωτέρω.)

$5305_{\mathrm {dec} }=(5\times 10^{3})+(3\times 10^{2})+(0\times 10^{1})+(5\times 10^{0})$.

Στην τυπική βάση δεκαέξι (δεκαεξαδικό σύστημα), υπάρχουν δεκαέξι δεκαεξαδικά ψηφία (0-9 και A-F) και ο αριθμός

$14\mathrm {B} 9_{\mathrm {hex} }=(1\times 16^{3})+(4\times 16^{2})+(\mathrm {B} \times 16^{1})+(9\times 16^{0})\qquad (=5305_{\mathrm {dec} }),$

όπου το Β αναπαριστά τον αριθμό έντεκα ως ενιαίο σύμβολο.

Γενικά, στη βάση-b, υπάρχουν b ψηφία $\{d_{1},d_{2},\dotsb ,d_{b}\}=:D$ και ο αριθμός

$(a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}\times b^{3})+(a_{2}\times b^{2})+(a_{1}\times b^{1})+(a_{0}\times b^{0})$

έχει $\forall k\colon a_{k}\in D.$

Ας σημειωθεί ότι το $a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}$ αντιπροσωπεύει μια ακολουθία ψηφίων και όχι πολλαπλασιασμός.

Συμβολισμός

Όταν περιγράφεται η βάση σε συμβολισμό, το γράμμα b χρησιμοποιείται γενικά ως σύμβολο για την έννοια αυτή, έτσι, για ένα δυαδικό σύστημα, b ισούται με 2. Ένας άλλος συνήθης τρόπος έκφρασης της βάσης είναι να γράφεται ως δεκαδικός δείκτης μετά τον αριθμό που αναπαρίσταται (αυτή η γραφή χρησιμοποιείται σε αυτό το άρθρο). 1111011₂ σημαίνει ότι ο αριθμός 1111011 είναι ένας αριθμός βάσης 2, ίσος με 123₁₀ (δεκαδική αναπαράσταση), 173₈ (οκταδική) και 7B₁₆ (δεκαεξαδική). Σε βιβλία και άρθρα, όταν χρησιμοποιούνται αρχικά οι γραπτές συντομογραφίες των βάσεων των αριθμών, η βάση δεν αναγράφεται στη συνέχεια: θεωρείται ότι ο δυαδικός αριθμός 1111011 είναι ίδιος με το 1111011₂.

Η βάση b μπορεί επίσης να δηλώνεται με τη φράση "βάση-b". Έτσι, οι δυαδικοί αριθμοί είναι «βάση-2», οι οκταδικοί αριθμοί είναι "βάση-8", οι δεκαδικοί αριθμοί είναι "βάση-10" κ.ο.κ.

Για ένα δεδομένο radix b το σύνολο των ψηφίων {0, 1, ..., b-2, b-1} ονομάζεται τυπικό σύνολο ψηφίων. Έτσι, οι δυαδικοί αριθμοί έχουν ψηφία {0, 1}- οι δεκαδικοί αριθμοί έχουν ψηφία {0, 1, 2, ..., 8, 9}; και ούτω καθεξής. Επομένως, τα ακόλουθα είναι λάθη συμβολισμού: 52₂, 2₂, 1A₉. (Σε όλες τις περιπτώσεις, ένα ή περισσότερα ψηφία δεν περιλαμβάνονται στο σύνολο των επιτρεπόμενων ψηφίων για τη συγκεκριμένη βάση.)

Εκθετικοποίηση

Τα συστήματα αρίθμησης θέσεων λειτουργούν με εκθετικοποίηση της βάσης. Η αξία ενός ψηφίου είναι το ψηφίο πολλαπλασιασμένο με την αξία θέσης του. Οι αξίες θέσης είναι ο αριθμός της βάσης ανυψωμένος στη δύναμη nth , όπου n είναι ο αριθμός των άλλων ψηφίων μεταξύ ενός συγκεκριμένου ψηφίου και του σημείου radix. Εάν ένα δεδομένο ψηφίο βρίσκεται στα αριστερά του σημείου radix (δηλ. η τιμή του είναι ακέραιος αριθμός), το n είναι θετικό ή μηδέν- εάν το ψηφίο βρίσκεται στα δεξιά του σημείου radix (δηλ. η τιμή του είναι κλασματική), το n είναι αρνητικό.

Παραδείγματος χάριν, ο αριθμός 465 στη βάση b (η οποία πρέπει να είναι τουλάχιστον στη βάση 7 επειδή το υψηλότερο ψηφίο είναι το 6) είναι ίσος με :

$4\times b^{2}+6\times b^{1}+5\times b^{0}$

Αν ο αριθμός 465 ήταν στη βάση 10, τότε θα ήταν ίσος με:

$4\times 10^{2}+6\times 10^{1}+5\times 10^{0}=4\times 100+6\times 10+5\times 1=465$

(465₁₀ = 465₁₀)

Αν όμως ο αριθμός ήταν στη βάση 7, τότε θα ισοδυναμούσε με:

$4\times 7^{2}+6\times 7^{1}+5\times 7^{0}=4\times 49+6\times 7+5\times 1=243$

(465₇ = 243₁₀)

10_b = b for any base b, since 10_b = 1×b¹ + 0×b⁰. Επί παραδείγματι,

10₂ = 2; 10₃ = 3; 10₁₆ = 16₁₀. Ας σημειωθεί ότι το τελευταίο "16" αναφέρεται στη βάση 10. Η βάση δεν κάνει καμία διαφορά για μονοψήφιους αριθμούς.

Η έννοια αυτή μπορεί να καταδειχθεί με τη χρήση ενός διαγράμματος. Ένα αντικείμενο αντιπροσωπεύει μια μονάδα. Όταν ο αριθμός των αντικειμένων είναι ίσος ή μεγαλύτερος από τη βάση b, τότε δημιουργείται μια ομάδα αντικειμένων με b αντικείμενα. Όταν ο αριθμός αυτών των ομάδων υπερβαίνει το b, τότε δημιουργείται μια ομάδα αυτών των ομάδων αντικειμένων με b ομάδες b αντικειμένων- και ούτω καθεξής. Έτσι, ο ίδιος αριθμός σε διαφορετικές βάσεις θα έχει διαφορετικές τιμές:

241 in base 5:
   2 groups of 52 (25)           4 groups of 5          1 group of 1
   ooooo    ooooo
   ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
   ooooo    ooooo         +                         +         o
   ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
   ooooo    ooooo

241 in base 8:
   2 groups of 82 (64)          4 groups of 8          1 group of 1
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
 oooooooo  oooooooo    +                            +        o
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo

Ο συμβολισμός μπορεί να εμπλουτιστεί περαιτέρω επιτρέποντας την εισαγωγή ενός μείον σημείου. Αυτό επιτρέπει την αναπαράσταση αρνητικών αριθμών. Για μια δεδομένη βάση, κάθε αναπαράσταση αντιστοιχεί ακριβώς σε έναν πραγματικό αριθμό και κάθε πραγματικός αριθμός έχει τουλάχιστον μια αναπαράσταση. Οι αναπαραστάσεις των ρητών αριθμών είναι εκείνες οι αναπαραστάσεις που είναι πεπερασμένες, χρησιμοποιούν τον συμβολισμό της ράβδου ή καταλήγουν σε έναν απείρως επαναλαμβανόμενο κύκλο ψηφίων.

Ψηφία και αριθμοί

Ένα ψηφίο είναι ένα σύμβολο που χρησιμοποιείται για τη σημειογραφία θέσης και ένα νούμερο αποτελείται από ένα ή περισσότερα ψηφία που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση ενός αριθμού με σημειογραφία θέσης. Τα πιο συνηθισμένα ψηφία σήμερα είναι τα δεκαδικά ψηφία "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" και "9". Η διάκριση μεταξύ ενός ψηφίου και ενός αριθμού είναι πιο έντονη στο πλαίσιο μιας αριθμητικής βάσης.

Ένας μη μηδενικός αριθμός με περισσότερες από μία θέσεις ψηφίων θα σημαίνει διαφορετικό αριθμό σε διαφορετική αριθμητική βάση, αλλά σε γενικές γραμμές, τα ψηφία θα σημαίνουν το ίδιο. Επί παραδείγματι, ο αριθμός 23₈ στη βάση 8 περιέχει δύο ψηφία, "2" και "3", και με αριθμό βάσης (με δείκτη) "8". Όταν μετατρέπεται σε βάση 10, το 23₈ ισοδυναμεί με το 19₁₀, δηλαδή 23₈ = 19₁₀. Στον συμβολισμό μας εδώ, ο δείκτης "₈" του αριθμού 23₈ είναι μέρος του αριθμού, αλλά αυτό μπορεί να μην ισχύει πάντα.

Φανταστείτε ότι ο αριθμός "23" έχει διφορούμενο βασικό αριθμό. Τότε το "23" θα μπορούσε πιθανώς να είναι οποιαδήποτε βάση, από τη βάση 4 και πάνω. Στη βάση 4, το "23" σημαίνει 11₁₀, δηλαδή 23₄ = 11₁₀. Στη βάση 60, το "23"σημαίνει τον αριθμό 123₁₀, δηλαδή 23₆₀ = 123₁₀. Το νούμερο "23", λοιπόν, σε αυτή την περίπτωση, αντιστοιχεί στο σύνολο των αριθμών της βάσης 10 {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ..., 121, 123}, ενώ τα ψηφία του "2"και "3" διατηρούν πάντα την αρχική τους σημασία: το "2" σημαίνει «δύο από» και το "3" σημαίνει «τρία από».

Σε ορισμένες εφαρμογές, όταν ένας αριθμός με σταθερό αριθμό θέσεων πρέπει να αντιπροσωπεύει μεγαλύτερο αριθμό, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια υψηλότερη αριθμητική βάση με περισσότερα ψηφία ανά θέση. Ένας τριψήφιος δεκαδικός αριθμός μπορεί να αντιπροσωπεύσει μόνο μέχρι το 999. Αν όμως η αριθμητική βάση αυξηθεί σε 11, π.χ. με την προσθήκη του ψηφίου "Α", τότε οι ίδιες τρεις θέσεις, μεγιστοποιημένες σε "ΑΑΑ", μπορούν να αναπαραστήσουν έναν αριθμό μέχρι και 1330. Θα μπορούσαμε να αυξήσουμε ξανά την αριθμητική βάση και να αποδώσουμε το «Β» στο 11, κ.ο.κ. (αλλά υπάρχει και μια πιθανή κρυπτογράφηση μεταξύ αριθμού και ψηφίου στην ιεραρχία αριθμού-ψηφίου-αριθμητικού). Ένα τριψήφιο αριθμητικό "ZZZ" στη βάση 60 θα μπορούσε να σημαίνει 215999. Αν χρησιμοποιήσουμε ολόκληρη τη συλλογή των αλφαριθμητικών μας, θα μπορούσαμε τελικά να χρησιμοποιήσουμε ένα αριθμητικό σύστημα βάσης-62, αλλά αφαιρούμε δύο ψηφία, το κεφαλαίο "I" και το κεφαλαίο "O", για να μειώσουμε τη σύγχυση με τα ψηφία "1" και "0" . Μας μένει ένα αριθμητικό σύστημα βάσης-60 ή εξηνταδικό σύστημα που χρησιμοποιεί 60 από τα 62 τυποποιημένα αλφαριθμητικά. (Αλλά δείτε παρακάτω το εξηνταδικό σύστημα.) Γενικά, ο αριθμός των πιθανών τιμών που μπορούν να αναπαρασταθούν από έναν αριθμό $d$ ψηφίων στη βάση $r$ είναι $r^{d}$.

Σημείο Radix

Ο συμβολισμός μπορεί να επεκταθεί στους αρνητικούς εκθέτες της βάσης b. Έτσι, το λεγόμενο σημείο radix, κυρίως ».«, χρησιμοποιείται ως διαχωριστικό των θέσεων με μη αρνητικό από εκείνες με αρνητικό εκθέτη.

Οι αριθμοί που δεν είναι ακέραιοι χρησιμοποιούν θέσεις πέραν του σημείου radix. Για κάθε θέση πίσω από αυτό το σημείο (και επομένως μετά το ψηφίο των μονάδων), ο εκθέτης n της δύναμης bⁿ μειώνεται κατά 1 και η δύναμη πλησιάζει το 0. Ενδεικτικά, ο αριθμός 2.35 ισούται με:

$2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}$

Πρόσημα

Κύριο άρθρο: Πρόσημα

Εάν η βάση και όλα τα ψηφία στο σύνολο των ψηφίων είναι μη αρνητικά, οι αρνητικοί αριθμοί δεν μπορούν να εκφραστούν. Για να ξεπεραστεί αυτό, ένα σύμβολο μείον, εδώ το »−«, προστίθεται στο αριθμητικό σύστημα. Στη συνήθη σημειογραφία προστίθεται στη σειρά των ψηφίων που αντιπροσωπεύουν τον κατά τα άλλα μη αρνητικό αριθμό.

Μετατροπή βάσεων

Η μετατροπή σε μια βάση $b_{2}$ ενός ακέραιου n που αναπαρίσταται στη βάση $b_{1}$ μπορεί να γίνει με μια σειρά από ευκλείδειες διαιρέσεις με $b_{2}:$ το δεξιότερο ψηφίο στη βάση $b_{2}$ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του n με το $b_{2},$ το δεύτερο δεξιότερο ψηφίο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πηλίκου με το $b_{2},$ και ούτω καθεξής. Το αριστερότερο ψηφίο είναι το τελευταίο πηλίκο. Γενικά, το kοστό ψηφίο από τα δεξιά είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης με το $b_{2}$ του (k-1)th πηλίκου.

Παραδείγματος χάριν: μετατροπή του A10B_Hex σε δεκαδικό (41227):

0xA10B/10 = 0x101A R: 7 (ones place)
0x101A/10 = 0x19C  R: 2 (tens place)
 0x19C/10 = 0x29   R: 2 (hundreds place)
  0x29/10 = 0x4    R: 1  ...
                      4

Κατά τη μετατροπή σε μεγαλύτερη βάση (όπως από δυαδική σε δεκαδική), το υπόλοιπο αντιπροσωπεύει το $b_{2}$ ως ένα ψηφίο, χρησιμοποιώντας ψηφία από το $b_{1}$. Λόγου χάριν: μετατροπή του 0b11111001 (δυαδικό) σε 249 (δεκαδικό):

0b11111001/10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = "9" for ones place)
   0b11000/10 = 0b10    R: 0b100  (0b100 =  "4" for tens)
      0b10/10 = 0b0     R: 0b10   (0b10 =   "2" for hundreds)

Για το κλασματικό μέρος, η μετατροπή μπορεί να γίνει με τη λήψη των ψηφίων μετά το σημείο radix (αριθμητής) και τη διαίρεσή τους με τον υπονοούμενο παρονομαστή στο radix του στόχου. Η προσέγγιση μπορεί να χρειαστεί λόγω της πιθανότητας μη τερματισμού των ψηφίων, εάν ο παρονομαστής του μειωμένου κλάσματος έχει έναν πρώτο παράγοντα διαφορετικό από οποιονδήποτε από τους πρώτους παράγοντες της βάσης που πρέπει να μετατραπεί. Επί παραδείγματι, το 0,1 στο δεκαδικό σύστημα (1/10) είναι 0b1/0b1010 στο δυαδικό σύστημα, διαιρώντας το στο εν λόγω ακτίνα, το αποτέλεσμα είναι 0b0.00011 (επειδή ένας από τους πρώτους παράγοντες του 10 είναι το 5). Για γενικότερα κλάσματα και βάσεις δείτε τον αλγόριθμο για θετικές βάσεις.

Εναλλακτικά, η μέθοδος Χόρνερ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μετατροπή βάσης με επαναλαμβανόμενους πολλαπλασιασμούς, με την ίδια υπολογιστική πολυπλοκότητα όπως οι επαναλαμβανόμενες διαιρέσεις. Ένας αριθμός σε σημειογραφία θέσης μπορεί να θεωρηθεί ως πολυώνυμο, όπου κάθε ψηφίο είναι ένας συντελεστής. Οι συντελεστές μπορεί να είναι μεγαλύτεροι από ένα ψηφίο, οπότε ένας αποτελεσματικός τρόπος για τη μετατροπή βάσεων είναι να μετατρέψετε κάθε ψηφίο και στη συνέχεια να αξιολογήσετε το πολυώνυμο μέσω της μεθόδου Χόρνερ εντός της βάσης-στόχου. Η μετατροπή κάθε ψηφίου είναι ένας απλός πίνακας αναζήτησης, αφαιρώντας την ανάγκη για ακριβές πράξεις διαίρεσης ή modulus και ο πολλαπλασιασμός με x γίνεται δεξιά μετατόπιση. Ωστόσο, άλλοι αλγόριθμοι αξιολόγησης πολυωνύμων θα λειτουργούσαν επίσης, όπως ο επαναλαμβανόμενος τετραγωνισμός για μεμονωμένα ή αραιά ψηφία. Παράδειγμα:

Convert 0xA10B to 41227
 A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0)

 Lookup table:
  0x0 = 0
  0x1 = 1
  ...
  0x9 = 9
  0xA = 10
  0xB = 11
  0xC = 12
  0xD = 13
  0xE = 14
  0xF = 15
 Therefore 0xA10B's decimal digits are 10, 1, 0, and 11.
 
 Lay out the digits out like this. The most significant digit (10) is "dropped":
  10 1   0    11 <- Digits of 0xA10B

  ---------------
  10
 Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον κάτω αριθμό από τη βάση της πηγής (16), το γινόμενο τοποθετείται κάτω από το επόμενο ψηφίο της τιμής της πηγής και στη συνέχεια προσθέτουμε:
  10 1   0    11
     160
  ---------------
  10 161

 Repeat until the final addition is performed:
  10 1   0    11
     160 2576 41216
  ---------------
  10 161 2576 41227
  
 and that is 41227 in decimal.

Convert 0b11111001 to 249
 Lookup table:
  0b0 = 0
  0b1 = 1

Result:
 1  1  1  1  1  0  0   1 <- Digits of 0b11111001
    2  6  14 30 62 124 248
 -------------------------
 1  3  7  15 31 62 124 249

Τερματισμός κλασμάτων

Οι αριθμοί που έχουν πεπερασμένη αναπαράσταση σχηματίζουν το ημιδακτύλιο

${\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-\nu }\mid m\in \mathbb {N} _{0}\wedge \nu \in \mathbb {N} _{0}\right\}.$

Πιο συγκεκριμένα, εάν $p_{1}^{\nu _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\nu _{n}}:=b$ είναι μια παραγοντοποίηση του $b$ στους πρώτους αριθμούς $p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {P}$ με εκθέτες $\nu _{1},\ldots ,\nu _{n}\in \mathbb {N}$, τότε με το μη κενό σύνολο των παρονομαστών $S:=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}$ έχουμε

$\mathbb {Z} _{S}:=\left\{x\in \mathbb {Q} \left|\,\exists \mu _{i}\in \mathbb {Z} :x\prod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{\mu _{i}}\in \mathbb {Z} \right.\right\}=b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} ={\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z}$

όπου $\langle S\rangle$ είναι η ομάδα που παράγεται από τις $p\in S$ και ${\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z}$ είναι ο λεγόμενος εντοπισμός της $\mathbb {Z}$ ως προς $S$.

Ο παρονομαστής ενός στοιχείου του $\mathbb {Z} _{S}$ περιέχει, αν αναχθεί σε χαμηλότερους όρους, μόνο πρώτους παράγοντες από το $S$. Αυτός ο δακτύλιος όλων των περατουμένων κλασμάτων στη βάση $b$ είναι πυκνός στο σώμα των ρητών αριθμών$\mathbb {Q}$. Η ολοκλήρωσή του για τη συνηθισμένη (Αρχιμήδειο) μετρική είναι η ίδια όπως και για το $\mathbb {Q}$, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί $\mathbb {R}$. Έτσι, αν $S=\{p\}$ then $\mathbb {Z} _{\{p\}}$ τότε$\mathbb {Z} _{\{p\}}$ δεν πρέπει να συγχέεται με το $\mathbb {Z} _{(p)}$ τον διακριτό δακτύλιο αποτίμησης για τον πρώτο αριθμό $p$, ο οποίος είναι ίσος με $\mathbb {Z} _{T}$ with $T=\mathbb {P} \setminus \{p\}$.

Αν το $b$ διαιρεί το $c$, έχουμε $b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} \subseteq c^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} .$

Άπειρες αναπαραστάσεις

Ρητοί αριθμοί

Η αναπαράσταση των μη ακέραιων αριθμών μπορεί να επεκταθεί ώστε να επιτρέπει μια άπειρη σειρά ψηφίων πέρα από το σημείο. Παραδείγματος χάριν,

1.12112111211112 ... η βάση-3 αντιπροσωπεύει το άθροισμα των άπειρων σειρών:

${\begin{array}{l}1\times 3^{0\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-1\,\,}+2\times 3^{-2\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-3\,\,}+1\times 3^{-4\,\,\,}+2\times 3^{-5\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-6\,\,}+1\times 3^{-7\,\,\,}+1\times 3^{-8\,\,\,}+2\times 3^{-9\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-10}+1\times 3^{-11}+1\times 3^{-12}+1\times 3^{-13}+2\times 3^{-14}+\cdots \end{array}}$

Δεδομένου ότι μια πλήρης άπειρη σειρά ψηφίων δεν μπορεί να γραφτεί με σαφήνεια, η ελλειπτική στο τέλος (...) δηλώνει τα παραλειπόμενα ψηφία, τα οποία μπορεί να ακολουθούν ή να μην ακολουθούν κάποιο μοτίβο. Ένα συνηθισμένο μοτίβο είναι όταν μια πεπερασμένη ακολουθία ψηφίων επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Αυτό δηλώνεται με τη χάραξη ενός vinculum κατά μήκος του επαναλαμβανόμενου μπλοκ:

$2.42{\overline {314}}_{5}=2.42314314314314314\dots _{5}$

Αυτή είναι η επαναλαμβανόμενη δεκαδική σημειογραφία (για την οποία δεν υπάρχει μία και μόνη παγκοσμίως αποδεκτή σημειογραφία ή διατύπωση). Για τη βάση 10 ονομάζεται επαναλαμβανόμενος δεκαδικός ή επαναλαμβανόμενος δεκαδικός.

Ένας άρρητος αριθμός έχει άπειρη μη επαναλαμβανόμενη αναπαράσταση σε όλες τις βάσεις ακεραίων. Το αν ένας ορθολογικός αριθμός έχει πεπερασμένη αναπαράσταση ή απαιτεί άπειρη επαναλαμβανόμενη αναπαράσταση εξαρτάται από τη βάση. Για παράδειγμα, το ένα τρίτο μπορεί να αναπαρασταθεί με:

Ένας άρρητος αριθμός έχει άπειρη μη επαναλαμβανόμενη αναπαράσταση σε όλες τις βάσεις ακεραίων. Το αν ένας ρητός αριθμός έχει πεπερασμένη αναπαράσταση ή απαιτεί άπειρη επαναλαμβανόμενη αναπαράσταση εξαρτάται από τη βάση. Για παράδειγμα, το ένα τρίτο μπορεί να αναπαρασταθεί από:

$0.1_{3}$

$0.{\overline {3}}_{10}=0.3333333\dots _{10}$

or, with the base implied:

$0.{\overline {3}}=0.3333333\dots$ (see also 0,999...)

$0.{\overline {01}}_{2}=0.010101\dots _{2}$

$0.2_{6}$

Για ακέραιους αριθμούς p και q με gcd (p, q) = 1, το κλάσμα p/q έχει πεπερασμένη αναπαράσταση στη βάση b αν και μόνο αν κάθε πρώτος παράγοντας του q είναι επίσης πρώτος παράγοντας του b.

Για μια δεδομένη βάση, κάθε αριθμός που μπορεί να αναπαρασταθεί με έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων (χωρίς τη χρήση του συμβολισμού της ράβδου) θα έχει πολλαπλές αναπαραστάσεις, συμπεριλαμβανομένης μιας ή δύο άπειρων αναπαραστάσεων:

1. Μπορεί να προστεθεί ένας πεπερασμένος ή άπειρος αριθμός μηδενικών:

   $3.46_{7}=3.460_{7}=3.460000_{7}=3.46{\overline {0}}_{7}$

2. Το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο μπορεί να μειωθεί κατά ένα και να προστεθεί μια άπειρη σειρά ψηφίων, που το καθένα αντιστοιχεί σε ένα λιγότερο από τη βάση (ή να αντικαταστήσει τυχόν επόμενα μηδενικά ψηφία):

   $3.46_{7}=3.45{\overline {6}}_{7}$

   $1_{10}=0.{\overline {9}}_{10}\qquad$ (βλ. 0,999...)

   $220_{5}=214.{\overline {4}}_{5}$

Αρρητοί αριθμοί

Κύριο άρθρο: άρρητος αριθμός

Ένας (πραγματικός) άρρητος αριθμός έχει άπειρη μη επαναλαμβανόμενη αναπαράσταση σε όλες τις ακέραιες βάσεις

Παραδείγματα είναι οι μη επιλύσιμες nth ρίζες.

$y={\sqrt[{n}]{x}}$

με $y^{n}=x$ και y ∉ Q, αριθμοί που ονομάζονται αλγεβρικοί, ή αριθμοί όπως

$\pi ,e$

τα οποία είναι υπερβατικά. Ο αριθμός των υπερβατικών είναι αμέτρητος και ο μόνος τρόπος για να τα καταγράψουμε με πεπερασμένο αριθμό συμβόλων είναι να τους δώσουμε ένα σύμβολο ή μια πεπερασμένη ακολουθία συμβόλων.

Μη πρότυπα συστήματα σημειογραφίας θέσης

Ενδιαφέρουσες ιδιότητες υπάρχουν όταν η βάση δεν είναι σταθερή ή θετική και όταν τα σύνολα συμβόλων ψηφίων δηλώνουν αρνητικές τιμές. Υπάρχουν πολλές ακόμη παραλλαγές. Τα συστήματα αυτά έχουν πρακτική και θεωρητική αξία για τους επιστήμονες υπολογιστών.

Το ισορροπημένο τριαδικό (balanced ternary) χρησιμοποιεί βάση το 3 αλλά το σύνολο των ψηφίων είναι {1,0,1} αντί για {0,1,2}. Το "1" έχει ισοδύναμη τιμή −1. Η άρνηση ενός αριθμού σχηματίζεται εύκολα με την αλλαγή το    του 1. Αυτό το σύστημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του προβλήματος της ισορροπίας, το οποίο απαιτεί την εύρεση ενός ελάχιστου συνόλου γνωστών αντίβαρων για τον προσδιορισμό ενός άγνωστου βάρους. Τα βάρη των 1, 3, 9, ..., 3ⁿ γνωστών μονάδων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό οποιουδήποτε άγνωστου βάρους μέχρι το 1 + 3 + ... + 3ⁿ μονάδες. Ένα βάρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε οποιαδήποτε πλευρά της ζυγαριάς ή καθόλου. Τα βάρη που χρησιμοποιούνται στο ταψί της ζυγαριάς με το άγνωστο βάρος χαρακτηρίζονται με 1, με 1 εάν χρησιμοποιούνται στο άδειο ταψί και με 0 εάν δεν χρησιμοποιούνται. Εάν ένα άγνωστο βάρος W ισορροπεί με 3 (3¹) στο ταψί του και 1 και 27 (3⁰ και 3³) στο άλλο, τότε το βάρος του σε δεκαδικό αριθμό είναι 25 ή 1011 iσε ισορροπημένη βάση-3.

1011₃ = 1 × 3³ + 0 × 3² − 1 × 3¹ + 1 × 3⁰ = 25.

Το παραγοντικό σύστημα αριθμών χρησιμοποιεί ένα μεταβαλλόμενο radix, δίνοντας παραγοντικά ως τιμές θέσης- σχετίζονται με το Κινεζικό Θεώρημα Υπολοίπων και τις απαριθμήσεις του συστήματος αριθμών υπολοίπων. Αυτό το σύστημα απαριθμεί αποτελεσματικά μεταθέσεις. Ένα παράγωγο αυτού χρησιμοποιεί τη διαμόρφωση του παζλ των Πύργων του Ανόι ως σύστημα αρίθμησης. Η διαμόρφωση των πύργων μπορεί να τεθεί σε αντιστοιχία 1 προς 1 με τη δεκαδική αρίθμηση του βήματος στο οποίο εμφανίζεται η διαμόρφωση και αντίστροφα.

Δεκαδικά ισοδύναμα	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Ισορροπημένη βάση 3	10	11	1	0	1	11	10	11	111	110	111	101
Βάση −2	1101	10	11	0	1	110	111	100	101	11010	11011	11000
Factoroid				0	10	100	110	200	210	1000	1010	1100

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Επιστήμες συμπεριφοράς
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Γεωμετρική τοπολογία
• Φυσικές επιστήμες
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ευκλείδειος χώρος
• Ντάνιελ Γκόρενσταϊν
• Στατιστική μέθοδος
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Τοπολογικός χώρος
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Δισδιάστατος χώρος

Βιβλιογραφία

• Chrisomalis, Stephen (18 Ιανουαρίου 2010). Numerical Notation: A Comparative History. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87818-0. 
• Academy, Cisco Networking (10 Δεκεμβρίου 2016). Introduction to Networks v6 Companion Guide. Cisco Press. ISBN 978-0-13-465561-1. 
• Shan, Zun (28 Μαΐου 2024). Problems And Solutions In Mathematical Olympiad (Secondary 1). World Scientific. ISBN 978-981-12-8722-0. 
• Mollin, Richard A. (10 Σεπτεμβρίου 1997). Fundamental Number Theory with Applications. CRC Press. ISBN 978-0-8493-3987-5. 
• Morley, Iain· Renfrew, Colin (26 Απριλίου 2010). The Archaeology of Measurement: Comprehending Heaven, Earth and Time in Ancient Societies. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11990-0. 
• Resnikoff, Howard L.· Wells, Raymond O. Jr (6 Δεκεμβρίου 2012). Wavelet Analysis: The Scalable Structure of Information. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0593-7. 
• Maheshwari, Sharad· Jain, Ruchin (2005). DBMS – Complete Practical Approach. Firewall Media. ISBN 978-81-7008-714-4. 
• Chemla, Karine· Keller, Agathe (1 Ιανουαρίου 2023). Cultures of Computation and Quantification in the Ancient World: Numbers, Measurements, and Operations in Documents from Mesopotamia, China and South Asia. Springer Nature. ISBN 978-3-030-98361-1. 
• Command, United States Naval Training (1973). Digital Computer Basics. U.S. Government Printing Office. 

Παραπομπές

• Rosenbaum, Paul R. (2002). Observational Studies (2nd έκδοση). New York: Springer-Verlag. ISBN 0387989676. 
• O'Connor, John· Robertson, Edmund (Δεκεμβρίου 2000). «Babylonian Numerals». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 11 Σεπτεμβρίου 2014. Ανακτήθηκε στις 21 Αυγούστου 2010. 
• Kadvany, John (December 2007). «Positional Value and Linguistic Recursion». Journal of Indian Philosophy 35 (5–6): 487–520. doi:10.1007/s10781-007-9025-5. 
• Knuth, Donald (1997). The art of Computer Programming. 2. Addison-Wesley. σελίδες 195–213. ISBN 0-201-89684-2. 
• Ifrah, George (2000). The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. ISBN 0-471-37568-3. 
• Kroeber, Alfred (1976) [1925]. Handbook of the Indians of California. Courier Dover Publications. σελ. 176. ISBN 9780486233680. 
• Thompson, John G. (1984), «Finite nonsolvable groups», στο: Gruenberg, K. W.; Roseblade, J. E., επιμ., Group theory. Essays for Philip Hall, Boston, MA: Academic Press, σελ. 1–12, ISBN 978-0-12-304880-6 
• Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5,  
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd έκδοση), Springer, ISBN 978-3319134666 
• —— 2007. Intricate Ethics: Rights, Responsibilities, and Permissible Harm. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-518969-8, ISBNT978-0-19-534590-2.
• Kant, Immanuel (1964). Groundwork of the Metaphysic of Morals. Harper and Row Publishers, Inc. ISBN 978-0-06-131159-8. 
• «Législation, éthique et déontologie», Bruxelles: Editions de Boeck Université, 2011, Karine BREHAUX, ISBN 978-2-84371-558-7

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο.
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο.
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών.
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές.
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών.
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών.