Σημείο Miquel (τρίγωνο)

Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ${\rm {AB'\Gamma '}}$, ${\rm {A'B\Gamma '}}$ και ${\rm {A'B'\Gamma }}$ τέμνονται στο σημείο Miquel ${\rm {M}}$.

Στην γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ αν ${\rm {A',B',\Gamma '}}$ σημεία των πλευρών ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {A\Gamma }}$, ${\rm {AB}}$ αντίστοιχα, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ${\rm {AB'\Gamma '}}$, ${\rm {A'B\Gamma '}}$ και ${\rm {A'B'\Gamma }}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό λέγεταi σημείο Miquel και οι τρεις κύκλοι, κύκλοι Miquel.

Το σημείο και οι κύκλοι φέρουν το όνομα του Auguste Miquel, που δημοσίευσε το σχετικό θεώρημα το 1838.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε ${\rm {M'\neq A'}}$ το σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των ${\rm {B\Gamma 'A'}}$ και ${\rm {\Gamma A'B'}}$. Θα δείξουμε ότι το ${\rm {AB'M'\Gamma '}}$ είναι εγγράψιμο, που αποδεικνύει ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ${\rm {AB'M'\Gamma '}}$ διέρχεται από το ίδιο σημείο ${\rm {M'}}$.

Η απόδειξη προκύπτει από την αναγκαία και ικανή συνθήκη για ένα τετράπλευρο να είναι εγγεγραμμένο αν μία εκ των γωνιών του είναι ίση με την εξωτερική της απέναντι.

Από το εγγράψιμο ${\rm {A'M'B'\Gamma }}$, έχουμε ότι

${\widehat {\rm {M'A'\Gamma }}}={\widehat {\rm {AB'M'}}}$,

και από το εγγράψιμο ${\rm {A'B\Gamma 'M'}}$,

${\widehat {\rm {B\Gamma 'M'}}}={\widehat {\rm {M'A'\Gamma '}}}$.

Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις, ${\widehat {\rm {AB'M'}}}={\widehat {\rm {B\Gamma 'M'}}}$ και το ${\rm {AB'M'\Gamma '}}$ είναι εγγράψιμο.

Δείτε επίσης

• Θεώρημα Miquel (τετράπλευρο)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Σημείο Miquel στην πινακοθήκη γεωμετρικών θεμάτων.
• Διαδραστική εφαρμογή για το σημείο Miquel στο Geogebra.
• Σημείο Miquel στο cut-the-knot.