Σημείο Ζεργκόν

Το σημείο Ζεργκόν ${\rm {G}}_{e}$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$, όπου $\mathrm {I_{A}} ,\mathrm {I_{B}} ,\mathrm {I_{\Gamma }}$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του.

Στην γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο το σημείο Ζεργκόν είναι το σημείο τομής των ευθειών που συνδέουν τις κορυφές ενός τριγώνου με τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου στις απέναντι πλευρές του.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\mathrm {I_{A}} ,\mathrm {I_{B}} ,\mathrm {I_{\Gamma }}$ στα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του τριγώνου, τα ευθύγραμμα τμήματα $\mathrm {AI_{A}} ,\mathrm {BI_{B}} ,\mathrm {\Gamma I_{\Gamma }}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό λέγεται σημείο Ζεργκόν και συμβολίζεται ως ${\rm {G}}_{e}$.

Το σημείο παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Ζοζέφ Ντιέζ Ζεργκόν.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης.

Έστω το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$. Αν $\mathrm {I}$ είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και $\mathrm {I_{A}} ,\mathrm {I_{B}} ,\mathrm {I_{\Gamma }}$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του τριγώνου, τότε ισχύει:
$\mathrm {AI_{B}} =\mathrm {AI_{\Gamma }}$, $\mathrm {BI_{A}} =\mathrm {BI_{\Gamma }}$ και $\mathrm {\Gamma I_{A}} =\mathrm {\Gamma I_{B}}$, ως εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από τις κορυφές του τριγώνου προς τον κύκλο.

Συνεπώς,

${\frac {\color {blue}{\cancel {\mathrm {BI_{A}} }}}{\color {red}{\cancel {\mathrm {\Gamma I_{A}} }}}}\cdot {\frac {\color {red}{\cancel {\mathrm {\Gamma I_{B}} }}}{\color {orange}{\cancel {\mathrm {AI_{B}} }}}}\cdot {\frac {\color {orange}{\cancel {\mathrm {AI_{\Gamma }} }}}{\color {blue}{\cancel {\mathrm {BI_{\Gamma }} }}}}=1$,

και από το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα $\mathrm {AI_{A}}$, $\mathrm {BI_{B}}$ και $\mathrm {\Gamma I_{\Gamma }}$ συντρέχουν.$\quad \square$

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο Ζεργκόν
• Θεώρημα του Τσέβα
• Έγκεντρο τριγώνου