Σημεία Μπροκάρ

Πρώτο σημείο Μπροκάρ ${\rm {\Omega }}$ του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ για το οποίο ${\widehat {\rm {\Omega AB}}}={\widehat {\rm {\Omega B\Gamma }}}={\widehat {\rm {\Omega \Gamma A}}}$.

Δεύτερο σημείο Μπροκάρ ${\rm {\Omega '}}$ του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ για το οποίο ${\widehat {\rm {\Omega 'BA}}}={\widehat {\rm {\Omega '\Gamma B}}}={\widehat {\rm {\Omega 'A\Gamma }}}$.

Στην γεωμετρία, τα σημεία Μπροκάρ (αναφέρονται και ως σημεία σημεία Brocard) ενός τριγώνου είναι σημεία για τα οποία τα ευθύγραμμα τμήματα που τα συνδέουν με τις κορυφές του τριγώνου σχηματίζουν ίσες γωνίες. Κάθε τρίγωνο έχει δύο τέτοια σημεία, τα οποία ταυτίζονται μόνο στο ισόπλευρο τρίγωνο,

Συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ το πρώτο σημείο Μπροκάρ $\Omega$ (αναφέρεται και ως πρώτο σημείο Brocard) είναι το σημείο για το οποίο οι γωνίες ${\widehat {\rm {\Omega AB}}},{\widehat {\rm {\Omega B\Gamma }}},{\widehat {\rm {\Omega \Gamma A}}}$ είναι ίσες.

Το δεύτερο σημείο Μπροκάρ $\Omega '$ (αναφέρεται και ως δεύτερο σημείο Brocard) είναι το σημείο για το οποίο οι γωνίες ${\widehat {\rm {\Omega 'BA}}},{\widehat {\rm {\Omega '\Gamma B}}},{\widehat {\rm {\Omega 'A\Gamma }}}$ είναι ίσες.

Και στις δύο περιπτώσεις οι γωνίες που σχηματίσουν τα σημεία είναι ίσες και το μέτρο τους ονομάζεται γωνία Μπροκάρ (αναφέρεται και ως γωνία Brocard). Τα δύο σημεία Μπροκάρ, το σημείο Λεμουάν και το περίκεντρο ανήκουν στον ίδιο κύκλο, που ονομάζεται κύκλος Μπροκάρ (αναφέρεται και ως κύκλος Brocard).

Τα σημεία, η γωνία και ο κύκλος παίρνουν το όνομά τους από τον Ανρί Μπροκάρ που έγραψε για αυτά στην δημοσίευσή του Étude d'un nouveau cercle du plan du triangle [Μελέτη ενός κύκλου στο επίπεδο του τριγώνου] (1881).

Ιδιότητες

• Θεωρούμε τον κύκλο $C_{A}$ που διέρχεται από τα ${\rm {\Gamma ,A}}$ και εφάπτεται στην ${\rm {AB}}$ στο ${\rm {A}}$, $C_{B}$ που διέρχεται από τα ${\rm {A,B}}$ και εφάπτεται στην ${\rm {B\Gamma }}$ στο ${\rm {B}}$ και τον $C_{\Gamma }$ που διέρχεται από τα ${\rm {B,\Gamma }}$ και εφάπτεται στην ${\rm {\Gamma A}}$ στο ${\rm {\Gamma }}$. Οι τρεις αυτοί κύκλοι διέρχονται από το ${\rm {\Omega }}$.
• Θεωρούμε τον κύκλο $C_{A}'$ που διέρχεται από τα ${\rm {A,B}}$ και εφάπτεται στην ${\rm {A\Gamma }}$ στο ${\rm {A}}$, και αντίστοιχα τους $C_{B}',C_{\Gamma }'$. Οι κύκλοι αυτοί διέρχονται από το σημείο ${\rm {\Omega '}}$.
• Ισχύει ότι ${\rm {{\widehat {A\Omega B}}=180^{\circ }-{\hat {B}}}}$, ${\rm {{\widehat {B\Omega \Gamma }}=180^{\circ }-{\hat {\Gamma }}}}$ και ${\rm {{\widehat {\Gamma \Omega A}}=180^{\circ }-{\hat {A}}}}$.
• Ισχύει ότι ${\rm {{\widehat {A\Omega 'B}}=180^{\circ }-{\hat {A}}}}$, ${\rm {{\widehat {B\Omega '\Gamma }}=180^{\circ }-{\hat {B}}}}$ και ${\rm {{\widehat {\Gamma \Omega 'A}}=180^{\circ }-{\hat {\Gamma }}}}$.
• Έστω $\alpha ,\beta ,\gamma$ οι πλευρές του τριγώνου. Τότε ισχύει ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {A\Omega ,B\Omega ,\Gamma \Omega }}$ είναι ανάλογα των

${\frac {\beta }{\alpha }},{\frac {\gamma }{\beta }},{\frac {\alpha }{\gamma }}$.

Απόδειξη  

Στο τρίγωνο ${\rm {A\Gamma \Omega }}$, από τον νόμο των ημιτόνων, έχουμε ότι

${\frac {\rm {A\Omega }}{\beta }}={\frac {\sin {\rm {A\Gamma \Omega }}}{\sin {\rm {A\Omega \Gamma }}}}={\frac {\sin \omega }{\sin(\pi -{\rm {A)}}}}={\frac {\sin \omega }{\sin {\rm {A}}}}$,

και επειδή ${\textstyle \sin {\rm {A}}={\frac {\alpha }{2R}}}$

${\rm {A\Omega }}=2R\cdot {\frac {\beta }{\alpha }}\cdot \sin \omega$.

Αντίστοιχα, προκύπτει ότι

${\rm {B\Omega }}=2R\cdot {\frac {\gamma }{\beta }}\cdot \sin \omega$.

Διαιρώντας κατά μέλη,

${\frac {\rm {A\Omega }}{\rm {B\Omega }}}={\frac {\beta /\alpha }{\gamma /\beta }}$.

Κυκλικά, λαμβάνουμε το ζητούμενο.

• Έστω ${\rm {\Omega _{\alpha },\Omega _{\beta },\Omega _{\gamma }}}$ οι προβολές του ${\rm {\Omega }}$ στις πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ του τριγώνου. Τότε ισχύει ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {\Omega \Omega _{\alpha },\Omega \Omega _{\beta },\Omega \Omega _{\gamma }}}$ είναι ανάλογα των

${\frac {\beta }{\alpha }},{\frac {\gamma }{\beta }},{\frac {\alpha }{\gamma }}$.

Απόδειξη  

Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {A\Omega \Omega _{\gamma }}}$, ${\rm {B\Omega \Omega _{\alpha }}}$ και ${\rm {\Gamma \Omega \Omega _{\alpha }}}$ είναι όμοια καθώς έχουν μία οξεία γωνία ίση (με $\omega$). Συνεπώς, έχουμε ότι οι τρεις κάθετες πλευρές ${\rm {\Omega \Omega _{\alpha }}}$, ${\rm {\Omega \Omega _{\beta }}}$ και ${\rm {\Omega \Omega _{\gamma }}}$ είναι ανάλογες των υποτεινουσών ${\rm {\rm {A\Omega }}}$, ${\rm {B\Omega }}$ και ${\rm {\Gamma \Omega }}$. Από την προηγούμενη ιδιότητα, προκύπτει το ζητούμενο.

• Έστω ${\rm {\Omega _{\alpha }',\Omega _{\beta }',\Omega _{\gamma }'}}$ οι προβολές του ${\rm {\Omega '}}$ στις πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ του τριγώνου. Τότε ισχύει ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {A\Omega ',B\Omega ',\Gamma \Omega '}}$ είναι ανάλογα των ${\rm {\Omega '\Omega _{\alpha }',\Omega '\Omega _{\beta }',\Omega '\Omega _{\gamma }'}}$ και ανάλογα των

${\frac {\beta }{\alpha }},{\frac {\gamma }{\beta }},{\frac {\alpha }{\gamma }}$.

• Το κυκλοσεβιανό τρίγωνο του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ ως προς το σημείο ${\rm {\Omega }}$ είναι ίσο με το αρχικό τρίγωνο.
• Τα σημεία ${\rm {\Omega ,\Omega '}}$ είναι ισογώνια συζυγή σημεία του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$.

Μέτρο γωνίας Μπροκάρ

• Η γωνία Μπροκάρ $\omega$ του ${\rm {AB\Gamma }}$ ικανοποιεί την σχέση

$\cot \omega =\cot {\rm {A}}+\cot {\rm {B}}+\cot {\rm {\Gamma }}$.

και

$\cot \omega ={\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}{\rm {E}}}$,

όπου ${\rm {E}}$ το εμβαδόν του τριγώνου.

Κύκλος Μπροκάρ

Τα δύο σημεία Μπροκάρ, το σημείο Λεμουάν και το περίκεντρο του τριγώνου ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Ο κύκλος αυτός λέγεται κύκλος Μπροκάρ.

Ο κύκλος Μπροκάρ του τριγώνου που περιλαμβάνει τα σημεία Brocard $\Omega$, $\Omega '$, το σημείο Λεμουάν ${\rm {K}}$ και το περίκεντρο ${\rm {O}}$ του τριγώνου.

Δείτε επίσης

• Ευθεία Μπροκάρ
• Πρώτο τρίγωνο Μπροκάρ
• Δεύτερο τρίγωνο Μπροκάρ

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Τα σημεία Μπροκάρ στο Γεωμετρικόν.
• Σχέση ακτινών των περιγεγραμμένων κύκλων των ${\rm {\Omega AB,\Omega B\Gamma ,\Omega \Gamma A}}$ στο Cut The Knot.
• Διαδραστική εφαρμογή για τα σημεία Μπροκάρ στο Desmos.
• Διαδραστική εφαρμογή για τα σημεία Μπροκάρ στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή για τα σημεία Μπροκάρ στο Geogebra.
• Σημεία Μπροκάρ στο MathWorld.

Ελληνικά άρθρα

• Γιαννακόπουλος, Σπύρος (2023). «Προσέγγιση των σημείων Brocard και του σημείου Lemoine». Ευκλείδης_Β΄ (Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία) (127): 65-70. https://hms.gr/wp-content/uploads/2024/12/EYKLEIDHS_B_t127_2023.pdf. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Sadi Abu-Saymeh; Mow Affaq Hajja (March 2020). «Notes on the Brocard points and angles of a triangle». The Mathematical Gazette 104 (559): 49-62. doi:10.1017/mag.2020.7. 
• Sadi Abu-Saymeh; Mow Affaq Hajja (2005). «Some Brocard-like points of a triangle». Forum Geometricorum 5: 65–74. ISSN 1534-1178. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2018-04-22. https://web.archive.org/web/20180422182608/http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200511.pdf. Ανακτήθηκε στις 2025-04-07. 
• Yff, P. (1960). «On the Brocard Points of a Triangle». The American Mathematical Monthly 67 (6): 520-525. doi:10.2307/2309168. 
• Yff, P. (1963). An analogue of the Brocard points. Amer. Math. Monthly, σελ. 495–501. doi:10.1080/00029890.1963.11992054.