Σημαντικά ψηφία

Τα λεγόμενα σημαντικά ψηφία είναι όσα ψηφία ενός αριθμού γραμμένου σε θεσιακή σημειογραφία ενέχουν τόσο αξιοπιστία όσο και χρησιμότητα στο να αποδοθεί μια συγκεκριμένη ποσότητα. Κατά την καταγραφή του αποτελέσματος μιας μετρήσεως φυσικού μεγέθους (π.χ. μήκους, θερμοκρασίας, όγκου, ηλεκτρικής αντιστάσεως), εάν ο αριθμός των ψηφίων υπερβαίνει τη διακριτική ικανότητα του οργάνου μετρήσεως, μόνο τα ψηφία που καθορίζονται από τη διακριτική αυτή ικανότητα είναι αξιόπιστα και θεωρούνται σημαντικά ψηφία.

Π.χ. εάν μια μέτρηση δώσει αποτέλεσμα 115,8 μονάδες ενός μεγέθους με χρήση οργάνου καταγεγραμμένης ακρίβειας 1 μονάδα, τότε τα πρώτα τρία ψηφία (1, 1, και 5, που αντιπροσωπεύουν τον αριθμό 115) είναι βέβαια και αποτελούν σημαντικά ψηφία. Ωστόσο και ένα αβέβαιο ψηφίο μπορεί να έχει σημασία και τότε περιλαμβάνεται και αυτό στα σημαντικά ψηφία. Στο προηγούμενο παράδειγμα το τελευταίο ψηφίο (το 8, που συνεισφέρει το 0,8 της μονάδας) θεωρείται σημαντικό, παρά την αβεβαιότητα που ενέχει. Συνεπώς, αυτή η μέτρηση περιέχει τέσσερα σημαντικά ψηφία.

Μια άλλη περίπτωση είναι το παράδειγμα για τον υπολογισμό με μετρήσεις ενός όγκου ως 2,98 λίτρα, με αβεβαιότητα που υποόγίζεται (διάδοση σφαλμάτων σε υπολογισμούς) ±0,05 λίτρο. Ο πραγματικός όγκος είναι μεταξύ 2,93 λίτρα και 3,03 λίτρα. Ακόμη και αν ορισμένα ψηφία δεν είναι γνωστά με βεβαιότητα, εξακολουθούν να αποτελούν σημαντικά ψηφία εάν έχουν κάποια σημασία, καθώς υποδεικνύουν τον πραγματικό όγκο εντός ενός αποδεκτού εύρους τιμών. Στην περίπτωση αυτή ο πραγματικός όγκος θα μπορούσε να είναι 2,94 λίτρα ή 3,02 λίτρα, οπότε και τα τρία ψηφία θεωρούνται σημαντικά.

Οι ακόλουθες περιπτώσεις αφορούν ψηφία που ΔΕΝ θεωρούνται σημαντικά:

• Αρχικά μηδενικά. Π.χ. αν γράψουμε 013 χιλιόγραμμα, η τιμή έχει δύο σημαντικά ψηφία (το 1 και το 3), ενώ το αρχικό ψηφίο μηδέν δεν είναι σημαντικό, αφού δεν μεταβάλλει την ένδειξη της μάζας. Η γραφή 013 χιλιόγραμμα είναι ισοδύναμη με τη γραφή 13 χιλιόγραμμα, γεγονός που καθιστά το 0 αχρείαστο. Παρόμοια, στην τιμή 0,056 μέτρο υπάρχουν δύο μη σημαντικά αρχικά μηδενικά, αφού το 0,056 μέτρο ισοδυναμεί με 56 χιλιοστόμετρα, χρειάζονται όμως στην πρώτη γραφή, καθώς δείχνουν την τάξη μεγέθους της τιμής.
• Τελικά μηδενικά όταν χρησιμεύουν και πάλι απλώς ως δηλωτικά της τάξεως μεγέθους. Στη μέτρηση 1500 μέτρα, όταν η διακριτική ικανότητα της μετρήσεως είναι 100 μέτρα, τα τελικά 0 δεν είναι σημαντικά, καθώς συμβολίζουν απλώς τις θέσεις των δεκάδων και των μονάδων. Στην περίπτωση αυτή το «1500 μέτρα» υποδεικνύει ένα προσεγγιστικό μήκος αντί την ακριβή τιμή των 1500 μέτρων.
• Ανακριβή ψηφία που προκύπτουν από υπολογισμούς και εμφανίζουν υψηλότερη ακρίβεια από ό,τι τα πρωτογενή δεδομένα, ή μια μέτρηση που καταγράφεται με υψηλότερη ακρίβεια από τη διακριτική ικανότητα του οργάνου.

Μηδενικό ή μηδενικά μετά από μια υποδιαστολή (π.χ. 1,0) είναι σημαντικό, καθώς υποδεικνύει υπάρχουσα ακρίβεια σε τιμή φυσικού μεγέθους. Η γραφή αριθμού 1,0 περιέχει επομένως δύο σημαντικά ψηφία, ενώ η γραφή 1 (χωρίς δεκαδικό) έχει ένα σημαντικό ψηφίο.

Από τα σημαντικά ψηφία, το πιο σημαντικό ψηφίο είναι εκείνο με τη μεγαλύτερη δεκαδική αξία, δηλαδή το αριστερότερα ευρισκόμενο σημαντικό ψηφίο, ενώ το λιγότερο σημαντικό ψηφίο είναι εκείνο με τη μικρότερη δεκαδική αξίαμ δηλαδή το δεξιότερα ευρισκόμενο σημαντικό ψηφίο. Π.χ. στον αριθμό «253» το 2 είναι το σημαντικότερο ψηφίο, καθώς αντιπροσωπεύει εκατοντάδες (10²), ενώ το 3 είναι το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, καθώς αντιπροσωπεύει μονάδες (10⁰).

Για την αποφυγή της δηλώσεως παραπλανητικού επιπέδου ακρίβειας, συχνά οι αριθμοί στρογγυλεύονται. Π.χ. θα δημιουργούσε την εντύπωση ψευδούς ακριβείας το να καταγραφεί και να παρουσιασθεί μια μέτρηση ως 12,34525 χιλιόγραμμα όταν το όργανο μετρήσεως παρέχει ακρίβεια ενός γραμμαρίου (0,001 χιλιόγραμμο). Στην περίπτωση αυτή τα σημαντικά ψηφία είναι τα πρώτα πέντε (τα 1, 2, 3, 4 και 5) από τα αριστερά, και ο αριθμός θα έπρεπε να στρογγυλευθεί σε αυτά τα ψηφία, δηλαδή το 12,345 χιλιόγραμμα είναι η ακριβής τιμή. Το σφάλμα από στρογγύλευση (στο παράδειγμα αυτό 0,00025 χιλιόγραμμο = 0,25 γραμμάριο) προσεγγίζει την ακρίβεια. Οι αριθμοί μπορούν επίσης να στρογγυλεύονται για απλότητα, και όχι απαραιτήτως για να συμφωνούν με τη μετρητική ακρίβεια, όπως για συντομία στα δελτία ειδήσεων.

Υπάρχει ένα σύνολο προσεγγιστικών κανόνων για τη διατήρηση της σημαντικότητας μέσα από υπολογισμούς. Ο σχετικός κλάδος των μαθηματικών είναι γνωστός ως διάδοση σφαλμάτων.

• Μια μαθηματική ή φυσική σταθερά έχει ως σημαντικά όλα τα γνωστά ψηφία της τιμής της. Π.χ. στην περίπτωση της σταθεράς π όλα τα δεκαδικά ψηφία 3,14159... είναι σημαντικά. Το σύνολο των ψηφίων είναι άπειρο, αλλά δεν είναι όλα γνωστά: έως τον Μάρτιο του 2024 είχαν υπολογισθεί περισσότερα από 102 τρισεκατομμύρια ψηφία και προσεγγίζοντας έτσι τη σταθερά π αυτή έχει 102 τρισεκατομμύρια και πλέον σημαντικά ψηφία. Βεβαίως στις πρακτικές εφαρμογές χρησιμοποιούνται συνήθως έως 20 ψηφία το πολύ. Τα περισσότερα προγράμματα υπολογιστών και πολλές αριθμομηχανές μπορούν να χειρισθούν μια προσέγγιση 16 ψηφίων, που επαρκεί ακόμα και για υπολογισμούς τροχιών διαπλανητικών σκαφών στο διάστημα.

Βιβλιογραφία

• Bond, E.A. (1931). «Significant Digits in Computation with Approximate Numbers». The Mathematics Teacher 24 (4): 208-212. doi:10.5951/MT.24.4.0208. https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_1931-04_24_4/page/208. 
• Delury, D.B. (1958). «Computations with approximate numbers». The Mathematics Teacher 51 (7): 521-530. doi:10.5951/MT.51.7.0521. https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_1958-11_51_7/page/520. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Υπολογιστής σημαντικών ψηφίων – δείχνει έναν αριθμό με το επιθυμητό πλήθος σημαντικών ψηφίων
• «Measurements and Uncertainties versus Significant Digits or Significant Figures» Αρχειοθετήθηκε 2009-04-15 στο Wayback Machine. – κατάλληλες μέθοδοι για την έκφραση των αβεβαιοτήτων, με λεπτομερή συζήτηση των προβλημάτων σχετικώς με τα σημαντικά ψηφία