Μετάβαση στο περιεχόμενο

Πυραμίδα (στερεομετρία)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Παράδειγμα πυραμίδας με τετραγωνική βάση

Στην στερεομετρία, πυραμίδα είναι το πολύεδρο που σχηματίζεται με ένα (επίπεδο) ν-γωνο ως βάση και ν τριγωνικές πλευρές που συνδέονται σε μια κορυφή. Η πιο γνωστή μορφή πυραμίδας είναι αυτή με ένα τετράγωνο ως βάση και τέσσερα ισοσκελή και ίσα μεταξύ τους τρίγωνα ως πλευρές.[1][2]

Όταν η βάση είναι κανονικό πολύγωνο, τότε η πυραμίδα λέγεται κανονική. Ένα από τα Πλατωνικά στερεά, το τετράεδρο, είναι πυραμίδα με όλες τις πλευρές της ισόπλευρα τρίγωνα.

Η πυραμίδα είναι μία ειδική περίπτωση (γενικού) κώνου όπου η οδηγός καμπύλη είναι ένα πολύγωνο.

Το σχήμα της πυραμίδας έχει αρκετές εφαρμογές στην αρχιτεκτονική, την οπτικοποίηση δεδομένων, την οπτική και άλλους τομείς (δείτε παρακάτω).

Ορισμός

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Τα μέρη μίας πυραμίδας.

Η πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο που προκύπει από μία επίπεδη πολυγωνική έδρα που περιέχει από τις κορυφές και οι υπόλοιπες έδρες συνδέουν τις γειτονικές κορυφές της επίπεδης έδρας με την τελευταία κορυφή, που λέγεται η κορυφή της πυραμίδας.

Δηλαδή, η πυραμίδα έχει μία πολυγωνική έδρα, που λέγεται βάση, και τριγωνικές έδρες, τις παράπλευρες έδρες. Η ένωση των παράπλευρων εδρών είναι η παράπλευρη επιφάνεια.[3] Οι ακμές που συνδέουν τις κορυφές της βάσης με την κορυφή τις πυραμίδας είναι οι παράπλευρες ακμές.[4]

Το ευθύγραμμο τμήμα από την κορυφή της πυραμίδας κάθετο προς την βάση της είναι το ύψος της πυραμίδας.

Ανάλογα με το αν η βάση είναι τρίγωνο, τετράπλευρο, πεντάγωνο, ... η πυραμίδα καλείται τριγωνική, τετραγωνική, πενταγωνική, ... .

Ιστορικά, ο ορισμός της πυραμίδας έχει περιγραφεί από πολλούς μαθηματικούς στην αρχαιότητα. Ο Ευκλείδης στα Στοιχεία του όρισε την πυραμίδα ως ένα στερεό σχήμα, που προκύπτει ενώνοντας τις κορυφές ενός επίπεδου σχήματος μεταξύ τους, καταλήγοντας σε ένα κοινό σημείο. Το πλαίσιο του ορισμού του ήταν ασαφές, μέχρι που ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς την όρισε ως το σχήμα με την τοποθέτηση του σημείου μαζί με μια πολυγωνική βάση[5].

Εμβαδόν

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το εμβαδόν της επιφάνειας είναι το συνολικό εμβαδόν των επιφανειών κάθε πολυέδρου. Στην περίπτωση μιας πυραμίδας, το εμβαδόν της επιφάνειάς της είναι το άθροισμα του εμβαδού των τριγώνων και του εμβαδού της πολυγωνικής βάσης.[1]:D70

Όγκος

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο όγκος μιας πυραμίδας με εμβαδόν βάσης και ύψος δίνεται από τον τύπο:[6][1]:D70

Ο όγκος μιας πυραμίδας καταγράφηκε ήδη στην αρχαία Αίγυπτο, όπου υπολόγισαν τον όγκο μίας τετραγωνικής κόλουρης πυραμίδας, γεγονός που υποδηλώνει ότι γνώριζαν τον όγκο μιας τετραγωνικής πυραμίδας[7]. Ο τύπος του όγκου για μια γενική πυραμίδα ανακαλύφθηκε από τον Ινδό μαθηματικό Αριαμπάτα, όπου ανέφερε στο έργο του Αριαμπατίγια ότι ο όγκος μιας πυραμίδας είναι λανθασμένα το μισό του γινομένου του εμβαδού της βάσης και του ύψους.[8]

Ειδικές περιπτώσεις

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Πυραμίδα με βάση ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Πυραμίδα με βάση έναν ρόμβο.
Πυραμίδα με βάση ένα πεντάγραμμο.

Ορθή πυραμίδα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορθή πυραμίδα είναι μια πυραμίδα της οποίας η βάση είναι πολύγωνο εγγράψιμο σε κύκλο και το ύψος της πυραμίδας συναντά το κέντρο αυτού του κύκλου[9].

Κανονικές πυραμίδες: τετράεδρο, τετραγωνική πυραμίδα, πενταγωνική πυραμίδα και εξαγωνική πυραμίδα.

Κανονική πυραμίδα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ειδική περίπτωση της ορθής πυραμίδας είναι η κανονική πυραμίδα. Σε αυτή η βάση της είναι ένα κανονικό πολύγωνο.[10].

Ιδιότητες

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  • Οι παράπλευρες έδρες είναι ίσα ισοσκελή τρίγωνα.[1]
  • Το παράπλευρο ύψος είναι ίσο για όλες τις παράπλευρες έδρες.[1]
  • Όταν το είναι ζυγός, τότε ο άξονας της πυραμίδας είναι και άξονας συμμετρίας του.[1]
  • Έχει επίπεδα συμμετρίας. Όταν το είναι μονός, τότε είναι αυτά που διέρχονται από μία κορυφή της βάσης, το κέντρο της βάσης και την κορυφή της πυραμίδας.[11][12] Όταν το είναι ζυγός, τότε αυτά τα επίπεδα είναι ανά δύο τα ίδια και επίπεδα συμμετρίας είναι επιπλέον αυτά που διέρχονται από τα μέσα απέναντι πλευρών της κανονικής βάσης και την κορυφή της πυραμίδας.

Εμβαδόν επιφάνειας

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας μίας κανονικής πυραμίδας είναι ίσο με[1]

,

όπου είναι η ημιπερίμετρος της βάσης και το παράπλευρο ύψος.

Τετράεδρο

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα τετράεδρο ή τριγωνική πυραμίδα είναι ένα παράδειγμα που έχει τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα ως έδρες, με όλες τις ακμές ίσες. Επειδή οι επιφάνειες είναι κανονικές, αποτελεί παράδειγμα Πλατωνικού στερεού και έχει τετραεδρική συμμετρία.[13][14] Οι πυραμίδες έχουν την ιδιότητα του αυτο-δυϊκού, δηλαδή οι δυϊκές τους είναι ίδιες με τις κορυφές που αντιστοιχούν στις ακμές και αντίστροφα[15]. Ο σκελετός τους μπορεί να αναπαρασταθεί ως γράφημα τροχού[16]

Ετυμολογία

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η λέξη «πυραμίδα» προέρχεται από την αρχαιοελληνική λέξη «πυραμίς» (πυράμις), η οποία αναφερόταν σε μια δομή σε σχήμα πυραμίδας και σε ένα είδος κέικ σιταριού[17][18]. Ο όρος έχει τις ρίζες του στα ελληνικά «πυρ» ('φωτιά') και «άμις» ('δοχείο'), τονίζοντας την αιχμηρή, φλογερή εμφάνιση του σχήματος[19].

Στη Μεσαιωνική ελληνική γλώσσα, ο όρος εξελίχθηκε σε «πυραμίδα», συνεχίζοντας να δηλώνει τις πυραμιδικές κατασκευές[20]. Ο όρος «πυραμίδα» επηρέασε την εξέλιξη της λέξης σε «πυραμίδα» στα αγγλικά και σε άλλες γλώσσες[21][22].

Γενικεύσεις

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Υπερπυραμίδα 4 διαστάσεων με βάση έναν κύβο.

Η υπερπυραμίδα είναι η γενίκευση της πυραμίδας στον n-διάστατο χώρο. Στην περίπτωση της πυραμίδας, συνδέουμε όλες τις κορυφές της βάσης, ένα πολύγωνο σε ένα επίπεδο, με ένα σημείο εκτός του επιπέδου, το οποίο είναι η κορυφή. Το ύψος της πυραμίδας είναι η απόσταση της κορυφής από το επίπεδο. Αυτή η κατασκευή γενικεύεται σε διαστάσεις. Η βάση γίνεται ένα (n − 1)--πολύτοπο σε ένα (n − 1)-διάστατο υπερεπίπεδο. Ένα σημείο που ονομάζεται κορυφή βρίσκεται έξω από το υπερεπίπεδο και συνδέεται με όλες τις κορυφές του πολυτόπου και η απόσταση της κορυφής από το υπερεπίπεδο ονομάζεται ύψος.[23]

Ο n-διάστατος όγκος μιας n-διάστατης υπερπυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί ως

,

όπου είναι ο (n - 1)-διάστατος όγκος της βάσης και το ύψος, δηλαδή η απόσταση μεταξύ της κορυφής και του (n − 1)-διάστατου υπερεπίπεδου που περιέχει τη βάση . [23]

Εφαρμογές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αρχιτεκτονική

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Λόγω του σχήματός της η πυραμίδα έχει κάποιες ασυνήθιστες ιδιότητες όπως, για παράδειγμα, για να εμφανίζει σκιά, η πηγή του φωτός θα πρέπει να είναι αρκετά χαμηλά (συγκριτικά με τις διαστάσεις της πυραμίδας).

Στην αρχιτεκτονική, αρκετά κτήρια, όπως οι πυραμίδες της Γκίζας, η πυραμίδα του Ελληνικού, η πυραμίδα του Λούβρου, έχουν σχήμα πυραμίδας.

Αρκετές σκεπές σε σπίτια και εκκλησίες έχουν σχήμα πυραμίδας, που πέραν των λόγων αισθητικής επιτρέπει επίσης την ομαλή ολίσθηση της βροχής και του χιονιού.

Για περαιτέρω εφαρμογές δείτε επίσης το λήμμα για την πυραμίδα στην αρχιτεκτονική.

Οπτική

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το πεδίο προβολής ενός προβολέα σε μία επιφάνεια είναι μία πυραμίδα με ορθογώνια βάση.

Πυραμίδα όρασης.

Μαθηματικά

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η εικασία του Κέπλερ λέει ότι η διάταξη σφαιρών στον χώρο που καταλαβάνει τον ελάχιστο όγκο είναι σε διάταξη πυραμίδας. Η πυραμίδα του Πασκάλ είναι μία γενίκευση του τριγώνου του Πασκάλ.

Οπτικοποίηση δεδομένων

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην οπτικοποίηση δεδομένων, συχνά τα δεδομένα οργανώνονται σε ομάδες οι οποίες μυκραίνουν σε μέγεθος και διατάσσονται σε σχήμα πυραμίδας, που συνήθως αναπαρίσταται στο χαρτί ως ένα ισοσκελές τρίγωνο. Για παράδειγμα, η πυραμίδα ηλικιών δίνει το πλήθος των ανθρώπων σε μία περιοχή ανά ηλικιακή ομάδα. Πολλές φορές τα πλήθη μειώνονται όσο μεγαλύτερη είναι η ηλικία, επομένως η οπτικοποίηση δημιουργεί ένα τριγωνικό σχήμα. Άλλο παράδειγμα είναι η διατροφική πυραμίδα που κατατάσει τα φαγητά ανάλογα με την συνιστώμενη συχνότητα καταβάλωσης τους.

Οικονομικά

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Τα κέρδη σε ένα επιχειρηματικό σχήμα πυραμίδας.

Στα οικονομικά, η βάση της πυραμίδας αναφέρεται στην οικονομικά ασθενέστερη ομάδα του πληθισμού. Επίσης, το επιχειρηματικό σχήμα πυραμίδας είναι ένα επιχειρησιακό μοντέλο τα κέρδη των μελών του οποίου στηρίζεται στην έλευση και άλλων ατόμων, δημιουργούντας ένα σχήμα πυραμίδας, στην βάση του οποίου τα μέλη δεν έχουν κάποιο κέρδος, ενώ στην κορυφή έχουν το μεγαλύτερο κέρδος.

Δείτε επίσης

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. 1 2 3 4 5 6 7 Αργυρόπουλος Ηλίας· Βλάμος Παναγιώτης· Κατσουλης Γεωργιος· Μαρκατης Στυλιανος· Σιδερης Πολυχρονης. «Κεφάλαιο 13.13: Κώνος». Ευκλείδεια Γεωμετρία. Αθήνα: Διόφαντος.
  2. ↑ Δρακόπουλος, Μ. Κ. (1970). Στερεομετρία. Αθήνα. σελίδες 84–86.
  3. ↑ Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra, Cambridge University Press, σελ. 13, https://archive.org/details/polyhedra0000crom/page/13/mode/2up?view=theater.
  4. ↑ Smith, James T. (2000), Methods of Geometry, John Wiley & Sons, σελ. 98, ISBN 0-471-25183-6, https://books.google.com/books?id=B0khWEZmOlwC&pg=PA98.
  5. ↑ Heath, Thomas (1908), Euclid: The Thirteen Books of the Elements, 3, Cambridge University Press, σελ. 268, https://archive.org/details/euclids-elements-vol.-3/page/268/mode/1up?view=theater.
  6. ↑ Alexander, Daniel C.; Koeberlin, Geralyn M. (2014), Elementary Geometry for College Students (6th έκδοση), Cengage Learning, σελ. 403, ISBN 978-1-285-19569-8, https://books.google.com/books?id=EN_KAgAAQBAJ&pg=PA403.
  7. ↑ Gillings, R. J. (1964), «The volume of a truncated pyramid in ancient Egyptian papyri», The Mathematics Teacher 57 (8): 552–555, doi:10.5951/MT.57.8.0552.
  8. ↑ Cajori, Florian (1991), History of Mathematics (5th έκδοση), American Mathematical Society, σελ. 87, ISBN 978-1-4704-7059-3, https://books.google.com/books?id=0BZuEAAAQBAJ&pg=PA87.
  9. ↑ Polya, G. (1954), Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and analogy in mathematics, Princeton University Press, σελ. 138, ISBN 0-691-02509-6, https://books.google.com/books?id=-TWTcSa19jkC&pg=PA138.
  10. ↑ O'Leary, Michael (2010), Revolutions of Geometry, John Wiley & Sons, σελ. 10, ISBN 978-0-470-59179-6, https://books.google.com/books?id=Ch5CrMtyniEC&pg=PA10.
  11. ↑ Johnson, Norman W. (2018), Geometries and Transformations, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-10340-5. See Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms.
  12. ↑ Alexandroff, Paul (2012), An Introduction to the Theory of Groups, Dover Publications, σελ. 48, ISBN 978-0-486-48813-4, https://books.google.com/books?id=DPrDAgAAQBAJ&pg=PA48.
  13. ↑ Shavinina, Larisa V. (2013), The Routledge International Handbook of Innovation Education, Routledge, σελ. 333, ISBN 978-0-203-38714-6, https://books.google.com/books?id=JcPd_JRc4FgC&pg=PA333.
  14. ↑ Cundy, H. Martyn (1952), «Deltahedra», The Mathematical Gazette 36 (318): 263–266, doi:10.2307/3608204.
  15. ↑ Wohlleben, Eva (2019), «Duality in Non-Polyhedral Bodies Part I: Polyliner», στο: Cocchiarella, Luigi, επιμ., ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics: 40th Anniversary - Milan, Italy, August 3-7, 2018, Advances in Intelligent Systems and Computing, 809, Springer, σελ. 485–486, doi:10.1007/978-3-319-95588-9, ISBN 978-3-319-95588-9, https://books.google.com/books?id=rEpjDwAAQBAJ&pg=PA485
  16. ↑ Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013), Configuration from a Graphical Viewpoint, Springer, σελ. 21, doi:10.1007/978-0-8176-8364-1, ISBN 978-0-8176-8363-4, https://books.google.com/books?id=3vnEcMCx0HkC&pg=PA21.
  17. ↑ Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, πυραμίς, https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dpurami%2Fs.
  18. ↑ The word meant "a kind of cake of roasted wheat-grains preserved in honey"; the Egyptian pyramids were named after its form. See Beekes, Robert S. (2009), Etymological Dictionary of Greek, Brill, σελ. 1261.
  19. ↑ Liddell, Henry George· Scott, Robert (1940). A Greek–English Lexicon. Clarendon Press.
  20. ↑ «πυραμίδα». Wiktionary. 12 Ιουλίου 2022. Ανακτήθηκε στις 30 Ιουνίου 2024.
  21. ↑ Lewis, Charlton T.· Short, Charles (1879). A Latin Dictionary. Clarendon Press.
  22. ↑ Peck, Harry Thurston (1898). Harper's Dictionary of Classical Antiquities. Harper & Brothers.
  23. 1 2 Mathai, A. M. (1999), An Introduction to Geometrical Probability: Distributional Aspects with Applications, Taylor & Francis, σελ. 42–43, ISBN 978-90-5699-681-9, https://books.google.com/books?id=FV6XncZgfcwC&pg=PA43.
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Πυραμίδα_(στερεομετρία)&oldid=11824100"