Πρώτη θεμελιώδης μορφή

Στη διαφορική γεωμετρία, η πρώτη θεμελιώδης μορφή^[1]^[2] είναι το εσωτερικό γινόμενο στον εφαπτόμενο χώρο μιας επιφάνειας στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, το οποίο επάγεται κανονικά από το εσωτερικό γινόμενο του $R 3$ . Επιτρέπει τον υπολογισμό της καμπυλότητας και των μετρικών ιδιοτήτων μιας επιφάνειας, όπως το μήκος και το εμβαδόν, με τρόπο που να συνάδει με τον περιβάλλοντα χώρο. Η πρώτη θεμελιώδης μορφή συμβολίζεται με τον λατινικό αριθμό $I$ ,

$\mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .$

Ιστορία

Το 1860, η Γαλλική Ακαδημία Επιστημών απένειμε βραβείο για την εξεύρεση μεθόδων δημιουργίας, από μια δεδομένη επιφάνεια, άλλων επιφανειών που θα μπορούσαν να αναπτυχθούν σε αυτήν. Το δεύτερο βραβείο απονεμήθηκε στον Ντελφίνο Κοντάτσι για τον καθορισμό των συνθηκών που πρέπει να πληρούν δύο δοσμένα τετραγωνικά σχήματα για να είναι η πρώτη και η δεύτερη θεμελιώδης μορφή μιας επιφάνειας. Ο Γκάσπαρ Μαϊνάρντι επεσήμανε στη συνέχεια ότι είχε ήδη δημοσιεύσει αυτές τις εξισώσεις σε ένα ιταλικό περιοδικό το 1857. Σήμερα, οι εξισώσεις αυτές είναι γνωστές ως εξισώσεις Μαϊνάρντι-Κοντάτσι^[3]. Αργότερα μαθεύτηκε ότι είχαν ήδη δημοσιευτεί το 1825 σε ένα ημιτελές χειρόγραφο της κληρονομιάς του Γκάους. Επιπλέον, οι εξισώσεις αυτές είχαν επίσης ήδη δημοσιευτεί από το 1853 από τον Καρλ Πέτερσον στη διδακτορική του διατριβή στο Ντόρπατ^[4].

Ορισμός

Έστω $X (u, v)$ μια παραμετρική επιφάνεια. Τότε το εσωτερικό γινόμενο δύο εφαπτόμενων διανυσμάτων είναι^[5]

${\begin{aligned}&\mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\[5pt]={}&ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\[5pt]={}&Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}$

όπου $E$ , $F$ , και $G$ είναι οι συντελεστές της πρώτης θεμελιώδους μορφής.

Η πρώτη θεμελιώδης μορφή μπορεί να αναπαρασταθεί ως συμμετρικός πίνακας.

$\mathrm {I} (x,y)=x^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}y$

Περαιτέρω συμβολισμοί

Όταν η πρώτη θεμελιώδης μορφή γράφεται με ένα μόνο όρισμα, δηλώνει το εσωτερικό γινόμενο αυτού του διανύσματος με τον εαυτό του.^[6]

$\mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}$

Η πρώτη θεμελιώδης μορφή γράφεται συχνά με τον σύγχρονο συμβολισμό του μετρικού τανυστή. Οι συντελεστές μπορούν τότε να γραφούν ως εξής $g ij$ :

$\left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}$

Οι συνιστώσες αυτού του τανυστή υπολογίζονται ως το κλιμακωτό γινόμενο των εφαπτόμενων διανυσμάτων $X 1$ και $X 2$ :

$g_{ij}=\langle X_{i},X_{j}\rangle$

για $i, j = 1, 2$ . Βλ. παράδειγμα παρακάτω.

Γενίκευση σε αυθαίρετη συνδιάσταση

Η πρώτη θεμελιώδης μορφή περιγράφει πλήρως τις μετρικές ιδιότητες μιας επιφάνειας. Έτσι, επιτρέπει τον υπολογισμό των μηκών των καμπυλών της επιφάνειας και των εμβαδών των περιοχών της επιφάνειας. Το στοιχείο της γραμμής $ds$ μπορεί να εκφραστεί ως προς τους συντελεστές της πρώτης θεμελιώδους μορφής ως εξής^[7]

$ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,.$

Το κλασικό στοιχείο εμβαδού που δίνεται από τη σχέση $dA = | X u \times X v | du dv$ μπορεί να εκφραστεί σε όρους της πρώτης θεμελιώδους μορφής με τη βοήθεια της ταυτότητας Λαγκράνζ,

$dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.$

Παράδειγμα: καμπύλη σε σφαίρα

Μια σφαιρική καμπύλη στη μοναδιαία σφαίρα στο $R 3$ μπορεί να παραμετροποιηθεί ως εξής

$X(u,v)={\begin{bmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{bmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ].$

Η διαφοροποίηση $X (u, v)$ ως προς $u$ και $v$ δίνει

${\begin{aligned}X_{u}&={\begin{bmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{bmatrix}},\\[5pt]X_{v}&={\begin{bmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Οι συντελεστές της πρώτης θεμελιώδους μορφής μπορούν να βρεθούν με τη λήψη του τετραγωνικού γινομένου των μερικών παραγώγων.

${\begin{aligned}E&=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v\\F&=X_{u}\cdot X_{v}=0\\G&=X_{v}\cdot X_{v}=1\end{aligned}}$

έτσι:

${\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin ^{2}v&0\\0&1\end{bmatrix}}.$

Μήκος μιας καμπύλης στη σφαίρα

Ο ισημερινός της μοναδιαίας σφαίρας είναι μια παραμετροποιημένη καμπύλη που δίνεται από τη σχέση

$(u(t),v(t))=(t,{\tfrac {\pi }{2}})$

με $t$ να κυμαίνεται από 0 έως 2 $π$ . Το στοιχείο γραμμής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του μήκους αυτής της καμπύλης.

$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|\sin v\right|\,dt=2\pi \sin {\tfrac {\pi }{2}}=2\pi$

Εμβαδόν μιας περιοχής στη σφαίρα

Το στοιχείο area μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του εμβαδού της μοναδιαίας σφαίρας.

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi {\Big [}{-\cos v}{\Big ]}_{0}^{\pi }=4\pi$

Καμπυλότητα Γκάους

Η καμπυλότητα Γκάους μιας επιφάνειας δίνεται από τη σχέση

$K={\frac {\det \mathrm {I\!I} _{p}}{\det \mathrm {I} _{p}}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},$

όπου $L$ , $M$ και $N$ είναι οι συντελεστές της δεύτερης θεμελιώδους μορφής.

Το Θαυμαστό θεώρημα του Καρλ Φρίντριχ Γκάους αναφέρει ότι η καμπυλότητα Γκάους μιας επιφάνειας μπορεί να εκφραστεί αποκλειστικά με όρους της πρώτης θεμελιώδους μορφής και των παραγώγων της, έτσι ώστε $K$ να είναι στην πραγματικότητα ένα εγγενές αναλλοίωτο της επιφάνειας. Μια ρητή έκφραση για την καμπυλότητα Γκάους ως προς την πρώτη θεμελιώδη μορφή παρέχεται από τον τύπο του Μπριόσι.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές^{[νεκρός σύνδεσμος]}
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών Αρχειοθετήθηκε 2025-06-01 στο Wayback Machine.
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
Wolfram Mathematica Online Integrator
A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Hazewinkel, Michiel (31 Αυγούστου 1989). Encyclopaedia of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-55608-003-6.
Stoker, J. J. (9 Σεπτεμβρίου 2011). Differential Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-16547-8.
Sochi, Taha (14 Σεπτεμβρίου 2022). Introduction to Differential Geometry of Space Curves and Surfaces. Taha Sochi.
Tu, Loring W. (1 Ιουνίου 2017). Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes. Springer. ISBN 978-3-319-55084-8.
Banchoff, Thomas F.· Lovett, Stephen (5 Αυγούστου 2022). Differential Geometry of Curves and Surfaces. CRC Press. ISBN 978-1-000-59775-2.
Weisstein, Eric W. (12 Δεκεμβρίου 2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3522-3.
Radzevich, Stephen P. (30 Δεκεμβρίου 2024). Gear Cutting Tools: Science and Engineering. CRC Press. ISBN 978-1-040-18525-4.
Guo, Hongyu (1 Απριλίου 2014). Modern Mathematics And Applications In Computer Graphics And Vision. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4449-35-9.
Su, Buchin (1 Ιανουαρίου 1981). Lectures On Differential Geometry. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-310-410-5.
Carmo, Manfredo P. do (14 Δεκεμβρίου 2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and Updated Second Edition. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-80699-0.

Παραπομπές

↑ Weisstein, Eric W. «First Fundamental Form». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 8 Απριλίου 2025.
↑ «Fundamental forms of a surface - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 8 Απριλίου 2025.
↑ Weisstein, Eric W. «Peterson-Mainardi-Codazzi Equations». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 8 Απριλίου 2025.
↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 416.
↑ Stoker, J. J. (9 Σεπτεμβρίου 2011). Differential Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-16547-8.
↑ Breaz, Daniel· Rassias, Michael Th (12 Μαΐου 2020). Advancements in Complex Analysis: From Theory to Practice. Springer Nature. ISBN 978-3-030-40120-7.
↑ Cosgrove, John W.· Engelder, Terry (2004). The Initiation, Propagation, and Arrest of Joints and Other Fractures. Geological Society of London. ISBN 978-1-86239-165-9.

Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1976, ISBN 0-13-212589-7
Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0-387-98322-8.
Albrecht, Gudrun (2002). «The Veronese surface revisited». Journal of Geometry. Vol. 73 (Num. 1-2): 22-38. ISSN 0047-2468. doi:10.1007/s00022-002-8583-7.
Yang, Xunnian; Zheng, Jianmin (April 2012), «Shape aware normal interpolation for curved surface shading from polyhedral approximation», The Visual Computer 29 (3): 189–201, doi:10.1007/s00371-012-0715-y
Schwarz, Michael; Stamminger, Marc (2006), «Pixel-shader-based curved triangles», SIGGRAPH '06: ACM SIGGRAPH 2006 Research posters, ACM Press, doi:10.1145/1179622.1179680, http://www.mpi-inf.mpg.de/~mschwarz/papers/pscurvedtris-sig06.pdf, ανακτήθηκε στις 2025-04-09
Barrera, Tony; Hast, Anders; Bengtsson, Ewert, «Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes», στο: Ollila, Mark, επιμ., SIGRAD 2002, σελ. 43–48, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:968852/FULLTEXT01.pdf#page=49
Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd έκδοση), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 .
Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790
Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
doi:10.1080/17513470903332913
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09
Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

[1] Weisstein, Eric W. «First Fundamental Form». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 8 Απριλίου 2025.

[2] «Fundamental forms of a surface - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 8 Απριλίου 2025.

[3] Weisstein, Eric W. «Peterson-Mainardi-Codazzi Equations». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 8 Απριλίου 2025.

[4] Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 416.

[5] Stoker, J. J. (9 Σεπτεμβρίου 2011). Differential Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-16547-8.

[6] Breaz, Daniel· Rassias, Michael Th (12 Μαΐου 2020). Advancements in Complex Analysis: From Theory to Practice. Springer Nature. ISBN 978-3-030-40120-7.

[7] Cosgrove, John W.· Engelder, Terry (2004). The Initiation, Propagation, and Arrest of Joints and Other Fractures. Geological Society of London. ISBN 978-1-86239-165-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]