Πρωτεύουσα τιμή Κωσύ

Διάγραμμα 1: Απεικόνιση  του καταχρηστικού ολοκληρώματος της συνάρτησης $x\mapsto x^{-3}$.

Στα μαθηματικά, η πρωτεύουσα τιμή Κωσύ, η οποία πήρε το όνομά της από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, είναι μια μέθοδος για την απόδοση τιμών σε ορισμένα καταχρηστικά ολοκληρώματα που διαφορετικά θα ήταν απροσδιόριστα. Στη μέθοδο αυτή, μια ιδιομορφία σε ένα ολοκληρωτικό διάστημα αποφεύγεται με τον περιορισμό του ολοκληρωτικού διαστήματος στη μη ιδιομορφική περιοχή.

Ορισμός

Ανάλογα με το είδος της ιδιομορφίας στο ολοκλήρωμα f, η πρωτεύουσα τιμή Κωσύ ορίζεται σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Για μια ιδιομορφία σε έναν πεπερασμένο αριθμό b

$\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\,\left[\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x~+~\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]$

με $a<b<c$ και όπου b είναι το δύσκολο σημείο, στο οποίο η συμπεριφορά της συνάρτησης f είναι τέτοια ώστε

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty \quad$

για κάθε $a<b$ και

$\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty \quad$

για κάθε $c>b$. (Βλ. συν ή πλην για την ακριβή χρήση των συμβολισμών ± και ∓.)

Για μια ιδιομορφία στο άπειρο ($\infty$)

$\lim _{a\to \infty }\,\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x$

όπου

$\int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty$

και

$\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty .$

Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι απαραίτητο να αντιμετωπιστούν ταυτόχρονα ιδιομορφίες τόσο σε πεπερασμένο αριθμό b όσο και στο άπειρο. Αυτό γίνεται συνήθως με ένα όριο της μορφής

$\lim _{\;\eta \to 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right].$

Στις περιπτώσεις όπου το ολοκλήρωμα μπορεί να χωριστεί σε δύο ανεξάρτητα, πεπερασμένα όρια,

$\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty$

και

$\lim _{\;\eta \to 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty ,$

τότε η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη με τη συνήθη έννοια.Το αποτέλεσμα της διαδικασίας για την κύρια τιμή είναι το ίδιο με το συνηθισμένο ολοκλήρωμα- εφόσον δεν ταιριάζει πλέον με τον ορισμό, τεχνικά δεν είναι «κύρια τιμή». Η πρωτεύουσα τιμή Κωσύ μπορεί επίσης να οριστεί ως Μέθοδος των ολοκληρωμάτων περιγράμματος μιας μιγαδικής αξίας συνάρτησης :$f(z):z=x+i\,y\;,$ με $x,y\in \mathbb {R} \;,$ με πόλο σε ένα περίγραμμα C. Ορίζουμε ως :$C(\varepsilon )$ το ίδιο περίγραμμα, όπου το τμήμα εντός του δίσκου ακτίνας ε γύρω από τον πόλο έχει αφαιρεθεί. Εφόσον η συνάρτηση $f(z)$ είναι ολοκληρώσιμη πάνω στο $C(\varepsilon )$ όσο μικρό κι αν γίνεται το ε, τότε η πρωτεύουσα τιμή Κωσύ είναι το όριο:

$\operatorname {p.\!v.} \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{C(\varepsilon )}f(z)\,\mathrm {d} z.$

Στην περίπτωση των συναρτήσεων που είναι ολοκληρώσιμες κατά Λεμπέσγκ, δηλαδή των συναρτήσεων που είναι ολοκληρώσιμες ως προς την απόλυτη τιμή, οι ορισμοί αυτοί συμπίπτουν με τον τυπικό ορισμό του ολοκληρώματος. Αν η συνάρτηση $f(z)$ είναι «μερομορφική», το θεώρημα Σοκότσκι-Πλέμελ συσχετίζει την κύρια τιμή του ολοκληρώματος πάνω στο C με τη μέση τιμή των ολοκληρωμάτων με το περίγραμμα μετατοπισμένο ελαφρώς πάνω και κάτω, έτσι ώστε το θεώρημα υπολοίπων να μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτά τα ολοκληρώματα.

Θεωρία κατανομής

Έστω ${C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )$ το σύνολο των συναρτήσεων εξομάλυνσης, δηλαδή ο χώρος των λείων συναρτήσεων με συμπαγή υποστήριξη στην πραγματική γραμμή $\mathbb {R}$. Τότε ο χάρτης

$\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C}$

που ορίζεται μέσω της πρωτεύουσας τιμής Κωσύ ως

$\left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )$

είναι μια κατανομή. Ο ίδιος ο χάρτης μπορεί μερικές φορές να ονομάζεται κύρια τιμή (εξ ου και ο συμβολισμός p.v.). Αυτή η κατανομή εμφανίζεται, για παράδειγμα, στο μετασχηματισμό Φουριέ της συνάρτησης προσήμου και της συνάρτησης βήματος Χεβιζίδη.

Καλά ορισμένη κατανομή

Για την απόδειξη της ύπαρξης του ορίου

$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x$

για μια συνάρτηση Σβαρτς $u(x)$, παρατηρήστε πρώτα ότι ${\frac {u(x)-u(-x)}{x}}$ είναι συνεχής στο $[0,\infty ),$ καθώς

$\lim _{\,x\searrow 0\,}\;{\Bigl [}u(x)-u(-x){\Bigr ]}~=~0~$

και ως εκ τούτου

$\lim _{x\searrow 0}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}~=~\lim _{\,x\searrow 0\,}\,{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}~=~2u'(0)~,$

αφού η $u'(x)$ είναι συνεχής και ισχύει ο κανόνας του L'Hopital.

Επομένως, $\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x$ υπάρχει και εφαρμόζοντας το θεώρημα της μέσης τιμής στο $u(x)-u(-x),$ έχουμε:

$\left|\,\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;\int _{0}^{1}{\frac {{\bigl |}u(x)-u(-x){\bigr |}}{x}}\,\mathrm {d} x\;\leq \;\int _{0}^{1}\,{\frac {\,2x\,}{x}}\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}\,\mathrm {d} x\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}~.$

Και επιπλέον:

$\left|\,\int _{1}^{\infty }{\frac {\;u(x)-u(-x)\;}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~\cdot \;\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\,x^{2}\,}}\;=\;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~,$

παρατηρούμε ότι ο χάρτης

$\operatorname {p.v.} \;\left({\frac {1}{\,x\,}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C}$

περιορίζεται από τις συνήθεις ημιμορφές για τις συναρτήσεις Σβαρτς $u$. Επομένως, αυτός ο χάρτης ορίζει, καθώς είναι προφανώς γραμμικός, μια συνεχή συνάρτηση στο χώρο Σβαρτς και επομένως μια μετριασμένη κατανομή.

Να σημειωθεί ότι η απόδειξη χρειάζεται απλώς το $u$ να είναι συνεχώς διαφορίσιμο σε μια γειτονιά του 0 και το $x\,u$ να είναι περιορισμένο προς το άπειρο. Η πρωτεύουσα τιμή επομένως ορίζεται με ακόμη πιο αδύναμες υποθέσεις όπως $u$ ολοκληρώσιμη με συμπαγή υποστήριξη και διαφορίσιμη στο 0.

Πιο γενικοί ορισμοί

Η πρωτεύουσα τιμή είναι η αντίστροφη κατανομή της συνάρτησης $x$ και είναι σχεδόν η μόνη κατανομή με αυτή την ιδιότητα:

$xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,$

όπου $K$ είναι μια σταθερά και $\delta$ η κατανομή Ντιράκ.

Με μια ευρύτερη έννοια, η πρωτεύουσα τιμή μπορεί να οριστεί για μια ευρεία κατηγορία μοναδιαίων ολοκληρωτικών πυρήνων στον ευκλείδειο χώρο $\mathbb {R} ^{n}$. Αν ο $K$ έχει μια απομονωμένη ιδιομορφία στην αρχή, αλλά είναι κατά τα άλλα μια «ωραία» συνάρτηση, τότε η κατανομή της κύριας τιμής ορίζεται σε συμπαγώς υποστηριζόμενες ομαλές συναρτήσεις ως εξής

$[\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon }(0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.$

Ένα τέτοιο όριο μπορεί να μην είναι καλά ορισμένο ή, αν είναι καλά ορισμένο, μπορεί να μην ορίζει απαραίτητα μια κατανομή. Είναι, ωστόσο, καλά ορισμένο αν $K$ είναι μια συνεχής ομογενής συνάρτηση βαθμού $-n$ της οποίας το ολοκλήρωμα πάνω σε οποιαδήποτε σφαίρα με κέντρο την αρχή εξαφανίζεται. Αυτό συμβαίνει, παραδείγματος χάριν, με τους μετασχηματισμούς του Ρις.

Παραδείγματα

Ας εξετάσουμε τις τιμές δύο ορίων:

$\lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,$

Αυτή είναι η πρωτεύουσα τιμή Κωσύ της κατά τα άλλα κακώς ορισμένης έκφρασης

$\int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.$

Επίσης:

$\lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.$

Ομοίως, έχουμε

$\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,$

Αυτή είναι η πρωτεύουσα τιμή της κατά τα άλλα κακώς ορισμένης έκφρασης

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.$

αλλά

$\lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.$

Σήμανση

Διαφορετικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν διαφορετικούς συμβολισμούς για την κύρια τιμή Cauchy μιας συνάρτησης $f$, μεταξύ άλλων:

$PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,$

$\mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,$

$\int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,$

$-\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,$

καθώς και $P,$ P.V., ${\mathcal {P}},$ $P_{v},$ $(CPV),$ ${\mathcal {C}},$ και V.P.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Συγκλίνουσα σειρά
• Κανονική κατανομή
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ένα προς ένα
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Προβολικός χώρος
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Τυχαία μεταβλητή
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Hackbusch, Wolfgang (6 Δεκεμβρίου 2012). Integral Equations: Theory and Numerical Treatment. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9215-5. 
• Bayin, Selcuk S. (19 Φεβρουαρίου 2018). Mathematical Methods in Science and Engineering. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-42541-0. 
• Tricomi, Francesco Giacomo (1 Μαρτίου 1985). Integral Equations. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-64828-6. 
• Kwok, Yue Kuen (24 Ιουνίου 2010). Applied Complex Variables for Scientists and Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-48883-9. 
• Krommer, Arnold R.· Ueberhuber, Christoph W. (1 Ιανουαρίου 1998). Computational Integration. SIAM. ISBN 978-0-89871-374-9. 
• Prosperetti, Andrea (6 Ιανουαρίου 2011). Advanced Mathematics for Applications. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-49268-3. 
• Kapoor, A. K. (2011). Complex Variables: Principles and Problem Sessions. World Scientific. ISBN 978-981-4313-52-0. 
• Kanwal, Ram P. (27 Νοεμβρίου 2013). Linear Integral Equations. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0765-8. 
• Brebbia, C. A.· Ingber, M. S. (6 Δεκεμβρίου 2012). Boundary Element Technology VII. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-2872-8. 
• Zwillinger, Daniel (2 Νοεμβρίου 1992). The Handbook of Integration. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6584-2. 
• Fourier and Laplace Transforms. Cambridge University Press. 7 Αυγούστου 2003. ISBN 978-0-521-53441-3. 
• Tiwari, Sandip (22 Σεπτεμβρίου 2020). Semiconductor Physics: Principles, Theory and Nanoscale. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-107803-3. 

Παραπομπές

• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd έκδοση), Addison Wesley, σελ. 204, ISBN 978-0-201-00288-1 .

• Bloch, Ethan D. (2011), The Real Numbers and Real Analysis, Springer, ISBN 9780387721767, https://books.google.com/books?id=r0qcU9U2_I4C&q=%22Cauchy+product%22 .

• Canuto, Claudio; Tabacco, Anita (2015), Mathematical Analysis II (2nd έκδοση), Springer .

• Friedman, Menahem; Kandel, Abraham (2011), Calculus Light, Springer, ISBN 9783642178481, https://books.google.com/books?id=xGg52Cv9RsgC&q=%22Cauchy+product%22 .

• Ghorpade, Sudhir R.; Limaye, Balmohan V. (2006), A Course in Calculus and Real Analysis, Springer .

• Hardy, G. H. (1949), Divergent Series, Oxford University Press, σελ. 227–229 .

• Hijab, Omar (2011), Introduction to Calculus and Classical Analysis (3rd έκδοση), Springer .

• Montesinos, Vicente; Zizler, Peter; Zizler, Václav (2015), An Introduction to Modern Analysis, Springer .

• Oberguggenberger, Michael; Ostermann, Alexander (2011), Analysis for Computer Scientists, Springer .

• Pedersen, Steen (2015), From Calculus to Analysis, Springer, doi:10.1007/978-3-319-13641-7, ISBN 978-3-319-13640-0 .

• Ponnusamy, S. (2012), Foundations of Mathematical Analysis, Birkhäuser, ISBN 9780817682927, https://books.google.com/books?id=flwN3psxt_kC&q=%22Cauchy+product%22 .

• Pugh, Charles C. (2015), Real Mathematical Analysis (2nd έκδοση), Springer .

• Sohrab, Houshang H. (2014), Basic Real Analysis (2nd έκδοση), Birkhäuser .
• Rozeboom, W. W. (1966). «Scaling theory and the nature of measurement». Synthese 16 (2): 170–233. doi:10.1007/bf00485356. 
• Stevens, S. S. (June 7, 1946). «On the Theory of Scales of Measurement». Science 103 (2684): 677–680. doi:10.1126/science.103.2684.677. PMID 17750512. Bibcode: 1946Sci...103..677S. http://www.academic.cmru.ac.th/phraisin/au/prasit/stevens/Stevens_Measurement.pdf. Ανακτήθηκε στις 16 September 2010. 
• Stevens, S. S. (1951). Mathematics, measurement and psychophysics. In S. S. Stevens (Ed.), Handbook of experimental psychology (pp. 1–49). New York: Wiley.
• Erdélyi, T. (2009). «The Remez inequality for linear combinations of shifted Gaussians». Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 146: 523–530. doi:10.1017/S0305004108001849. 
• Trefethen, L.N. (2020). Approximation theory and approximation practice. SIAM. ISBN 978-1-61197-594-9.  Ch. 1–6 of 2013 edition

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0