Προβλήματα του Λαντάου

Έντμουντ Λαντάου, Γερμανός μαθηματικός

Στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών του 1912, ο Έντμουντ Λαντάου απαρίθμησε τέσσερα βασικά προβλήματα που σχετίζονται με τους πρώτους αριθμούς. Τα προβλήματα αυτά χαρακτηρίστηκαν στην ομιλία του ως «μη επιλήψιμα στην παρούσα κατάσταση των μαθηματικών» και είναι πλέον γνωστά ως προβλήματα του Λαντάου. Είναι τα εξής:

1. Η εικασία του Γκόλντμπαχ: Μπορεί κάθε ζυγός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών;
2. Η Εικασία των δίδυμων πρώτων: Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί p έτσι ώστε ο p + 2 να είναι πρώτος;
3. Η Εικασία του Λεζάντρ: Υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένας πρώτος μεταξύ διαδοχικών τέλειων τετραγώνων;
4. Υπάρχουν άπειροι πολλοί πρώτοι p τέτοιοι ώστε το p − 1 να είναι τέλειο τετράγωνο; Με άλλα λόγια: Υπάρχουν άπειροι πολλοί πρώτοι αριθμοί της μορφής n² + 1 ;

Το 2024, αυτά τα τέσσερα προβλήματα δεν έχουν επιλυθεί.

Πρόοδος προς τις λύσεις

Η εικασία του Γκόλντμπαχ

Κύριο άρθρο: Εικασία του Γκόλντμπαχ

Η αδύναμη εικασία του Γκόλντμπαχ, κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών πρώτων αριθμών, είναι συνέπεια της εικασίας του Γκόλντμπαχ. Ο Ιβάν Βινογκράντοφ το απέδειξε για αρκετά μεγάλο n (θεώρημα του Βινογκράντοφ) το 1937 και ο Χάραλντ Χέλφγκοτ το επέκτεινε σε πλήρη απόδειξη της αδύναμης εικασίας του Γκόλντμπαχ το 2013.

Το θεώρημα του Τσεν, μια άλλη αποδυνάμωση της εικασίας του Γκόλντμπαχ, αποδεικνύει ότι για όλα τα επαρκώς μεγάλα n, $2n=p+q$ όπου p είναι πρώτος και q είναι είτε πρώτος είτε ημιπρώτος. Μπορντινγιόν, Τζόνστον και Σταρίτσκοβα, διορθώνοντας και τελειοποιώντας τον Γιαμάντα, απέδειξαν μια ρητή εκδοχή του θεωρήματος του Τσεν: κάθε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος από $e^{e^{32,7}}\approx 1.4\cdot 10^{69057979807814}$ είναι το άθροισμα ενός πρώτου αριθμού και ενός γινομένου δύο το πολύ πρώτων αριθμών. Οι Μπορντινγιόν και Σταρίτσκοβα το ανάγουν σε $e^{e^{15.85}}\approx 3.6\cdot 10^{3321634}$ υποθέτοντας τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν (GRH) για τις συναρτήσεις Ντίρικλετ Λ. Οι Τζόνσον και Στάριτσκοβα δίνουν μια εκδοχή που λειτουργεί για όλα τα n ≥ 4 με το κόστος της χρήσης ενός αριθμού που είναι το γινόμενο το πολύ 369 πρώτων αριθμών αντί για έναν πρώτο ή ημιπρώτο- υπό την GRH βελτιώνουν το 369 σε 33.

Οι Μοντγκόμερι και Βόγκαν έδειξαν ότι το εξαιρετικό σύνολο των ζυγών αριθμών που δεν μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών έχει πυκνότητα μηδέν, αν και δεν έχει αποδειχθεί ότι το σύνολο είναι πεπερασμένο. Τα καλύτερα τρέχοντα όρια για το ξεχωριστό σύνολο είναι το $E(x)<x^{0.72}$ (για αρκετά μεγάλο x) που οφείλεται στον Πιντζ, και $E(x)\ll x^{0.5}\log ^{3}x$ υπό την υπόθεση Ρίμαν, που οφείλεται στον Ντάνιελ Γκόλντστον.

Ο Λίνικ απέδειξε ότι αρκετά μεγάλοι ζυγοί αριθμοί μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών και κάποιας (αναποτελεσματικής) σταθεράς Κ δυνάμεων του 2. Μετά από πολλές εξελίξεις (βλέπε Πιντζ για μια επισκόπηση), οι Πιντζ και Ρούζα το βελτίωσαν σε Κ = 8. Υποθέτοντας την (GRH ), το αποτέλεσμα μπορεί να βελτιωθεί σε Κ = 7.

Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί

Κύριο άρθρο: Εικασία των δίδυμων πρώτων

Το 2013 ο Γιτάνγκ Ζανγκ έδειξε ότι υπάρχουν άπειρα πολλά ζεύγη πρώτων αριθμών με κενό που περιορίζεται από 70 εκατομμύρια, και το αποτέλεσμα αυτό βελτιώθηκε σε κενά μήκους 246 από μια συνεργατική προσπάθεια του Polymath Project Σύμφωνα με τη γενικευμένη εικασία των Έλιοτ-Χάλμπερσταμ αυτό βελτιώθηκε σε 6, επεκτείνοντας προηγούμενες εργασίες του Μέιναρντ και των Γκόλντστον, Πιντζ και Γιλντιρίμ.

Το 1966 ο Τσεν απέδειξε ότι υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοί p (που αργότερα ονομάστηκαν πρώτοι αριθμοί Τσεν) έτσι ώστε ο p + 2 να είναι είτε πρώτος είτε ημιπρώτος.

Εικασία του Λεζάντρ

Κύριο άρθρο: Εικασία του Λεζάντρ

Αρκεί να ελέγξουμε ότι κάθε πρώτο κενό που ξεκινά από το p είναι μικρότερο από $2{\sqrt {p}}$. Ένας πίνακας μέγιστων πρώτων κενών δείχνει ότι η εικασία ισχύει για 2⁶⁴ ≈ 1.8×10 × 10¹⁹ . Ένα αντιπαράδειγμα κοντά σε αυτό το μέγεθος θα απαιτούσε ένα πρώτο κενό εκατό εκατομμύρια φορές μεγαλύτερο από το μέσο κενό.

Ο Τζερβινιέμι (Järviniemi), βελτιώνοντας την εργασία του Χιθ-Μπράουνκαι του Ματομάκι, δείχνει ότι υπάρχουν το πολύ $x^{7/100+\varepsilon }$ εξαιρετικοί πρώτοι αριθμοί που ακολουθούνται από κενά μεγαλύτερα από ${\sqrt {2p}}$ ειδικότερα,

$\sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>{\sqrt {p_{n}}}^{1/2}}{p_{n}\leq x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{0.57+\varepsilon }.$

Ένα αποτέλεσμα που οφείλεται στον Άλμπερτ Ίνγκαμ δείχνει ότι υπάρχει ένας πρώτος αριθμός μεταξύ $n^{3}$ και $(n+1)^{3}$ για κάθε αρκετά μεγάλο n.

Κοντινοί τετραγωνικοί πρώτοι

Το τέταρτο πρόβλημα του Λαντάου ρωτούσε αν υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί που έχουν τη μορφή $p=n^{2}+1$ για ακέραιο n. (Ο κατάλογος των γνωστών πρώτων αριθμών αυτής της μορφής είναι A002496.) Η ύπαρξη απείρως πολλών τέτοιων πρώτων αριθμών θα προέκυπτε ως συνέπεια άλλων αριθμοθεωρητικών εικασιών, όπως η εικασία Μπουνιακόφσκι και η εικασία Μπέιτμαν-Χορν. Από το 2024, το πρόβλημα αυτό είναι ανοικτό.

Ένα παράδειγμα πλησίον τετραγωνικών πρώτων αριθμών είναι οι πρώτοι αριθμοί του Φερμά. Ο Χένρικ Ιβάνιεκ έδειξε ότι υπάρχουν άπειροι αριθμοί της μορφής $n^{2}+1$ με το πολύ δύο πρώτους παράγοντες. Οι Άνκενι και Κουμπίλιους απέδειξαν ότι, υποθέτοντας την εκτεταμένη υπόθεση Ρίμαν για τις συναρτήσεις L στους χαρακτήρες Χέκε, υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοί της μορφής $p=x^{2}+y^{2}$ με $y=O(\log p)$. Η εικασία του Λαντάου είναι για την ισχυρότερη $y=1$. Το καλύτερο άνευ όρων αποτέλεσμα οφείλεται στους Χάρμαν και Λιούις. και δίνει $y=O(p^{0.119})$.

Ο Μερικόσκι, βελτιώνοντας προηγούμενες εργασίες, έδειξε ότι υπάρχουν άπειροι πολλοί αριθμοί της μορφής $n^{2}+1$ με μεγαλύτερο πρώτο παράγοντα τουλάχιστον $n^{1.279}$. Αν αντικαταστήσουμε τον εκθέτη με 2 θα προκύψει η εικασία του Λαντάου.

Το θεώρημα Φρίντλαντερ-Ίβανιτς αποδεικνύει ότι απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοί είναι της μορφής $x^{2}+y^{4}$.

Οι Μπάγερ και Ζάο απέδειξαν ότι υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοί της μορφής $p=an^{2}+1$ με $a<p^{5/9+\varepsilon }$, ο εκθέτης μπορεί να βελτιωθεί σε $1/2+\varepsilon$ σύμφωνα με τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για τις συναρτήσεις L και σε $\varepsilon$ σύμφωνα με μια ορισμένη υπόθεση τύπου Έλιοτ-Χάλμπερσταμ.

Το κόσκινο Μπρυν (Brun) δημιουργεί ένα ανώτερο όριο για την πυκνότητα των πρώτων αριθμών που έχουν τη μορφή $p=n^{2}+1$: υπάρχουν $O({\sqrt {x}}/\log x)$ τέτοιοι πρώτοι αριθμοί μέχρι $x$. Επομένως, σχεδόν όλοι οι αριθμοί της μορφής $n^{2}+1$ είναι σύνθετοι.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Πρώτος αριθμός Μερσέν
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Φυσικός αριθμός
• Εικασία του Λεζάντρ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Chvátal, Vašek (26 Αυγούστου 2021). The Discrete Mathematical Charms of Paul Erd?s: A Simple Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-83183-3. 
• Shifman, Misha· Shifman, Mikhail A. (2002). At the Frontier of Particle Physics: Handbook of QCD : Boris Ioffe Festschrift. World Scientific. ISBN 978-981-277-727-0. 
• Deza, Elena (6 Αυγούστου 2021). Mersenne Numbers And Fermat Numbers. World Scientific. ISBN 978-981-12-3033-2. 
• Stewart, Ian (2 Οκτωβρίου 2014). Professor Stewart's Casebook of Mathematical Mysteries. Profile. ISBN 978-1-84765-432-8. 
• Earl, Richard· Nicholson, James (29 Ιουλίου 2021). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics: Sixth Edition. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-258405-2. 
• Fundin, Johan (26 Νοεμβρίου 2019). Schizoid. Asioni Press. ISBN 978-1-9999817-3-0. 
• Chamberland, Marc (30 Μαΐου 2017). Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-17569-0. 
• Feliksiak, Jan (14 Μαρτίου 2013). THE SYMPHONY OF PRIMES, DISTRIBUTION OF PRIMES AND RIEMANN'S HYPOTHESIS. Xlibris Corporation. ISBN 978-1-4797-6560-7. 
• Elwes, Dr Richard· Elwes, Richard (6 Ιουλίου 2017). Maths 1001: Absolutely Everything That Matters in Mathematics. Quercus. ISBN 978-1-78648-695-0. 
• Aflitunov, Albert (26 Οκτωβρίου 2024). Arithmetic (number theory). Litres. ISBN 978-5-04-688265-0. 
• Albers, Donald· Alexanderson, Gerald L. (18 Σεπτεμβρίου 2008). Mathematical People: Profiles and Interviews. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6517-0. 

Παραπομπές

• Aneva, B. (1999), «Symmetry of the Riemann operator», Physics Letters B 450 (4): 388–396, doi:10.1016/s0370-2693(99)00172-0, http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/aneva.pdf .

Wolf, M. (2020), «Will a physicist prove the Riemann hypothesis?», Reports on Progress in Physics 83 (4): 036001, doi:10.1088/1361-6633/ab3de7, PMID 31437818, https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6633/ab3de7 .

• Elizalde, Emilio (1994), Zeta regularization techniques with applications, World Scientific, ISBN 978-981-02-1441-8 . Here the author explains in what sense the problem of Hilbert–Polya is related with the problem of the Gutzwiller trace formula and what would be the value of the sum $\exp(i\gamma )$ taken over the imaginary parts of the zeros.
• Pollack, Paul (2008). «An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field». Στο: De Koninck, Jean-Marie· Granville, Andrew· Luca, Florian, επιμ. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. σελίδες 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11046. 

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0