Πολυμεταβλητός λογισμός

Βαθμωτό πεδίο με δύο μεταβλητές.

Ο πολυμεταβλητός λογισμός (επίσης γνωστός ως λογισμός πολλών μεταβλητών) είναι η επέκταση του λογισμού σε μία μεταβλητή στον λογισμό με συναρτήσεις πολλών μεταβλητών: η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση συναρτήσεων που περιλαμβάνουν πολλές μεταβλητές (πολυμεταβλητές), αντί για μία μόνο.

Ο πολυμεταβλητός λογισμός θεωρείται ως ένα στοιχειώδες μέρος του λογισμού στον Ευκλείδειο χώρο. Η ειδική περίπτωση του λογισμού στον τρισδιάστατο χώρο ονομάζεται συχνά διανυσματικός λογισμός.

Εισαγωγή

Στον λογισμό μίας μεταβλητής, πράξεις όπως η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση γίνονται σε συναρτήσεις μίας μεταβλητής. Στον πολυμεταβλητό λογισμό, απαιτείται η γενίκευσή τους σε πολλαπλές μεταβλητές, και επομένως το πεδίο είναι πολυδιάστατο. Επομένως, απαιτείται προσοχή σε αυτές τις γενικεύσεις, λόγω δύο βασικών διαφορών μεταξύ των χώρων 1D και των χώρων υψηλότερων διαστάσεων:

1. Υπάρχουν άπειροι τρόποι για να προσεγγίσουμε ένα σημείο στις υψηλότερες διαστάσεις, σε αντίθεση με τους δύο (από τη θετική και την αρνητική κατεύθυνση) στις 1D,
2. Υπάρχουν πολλαπλά εκτεταμένα αντικείμενα που σχετίζονται με τη διάσταση- για παράδειγμα, για μια συνάρτηση 1D, πρέπει να αναπαρίσταται ως καμπύλη στο καρτεσιανό επίπεδο 2D, αλλά μια συνάρτηση με δύο μεταβλητές είναι μια επιφάνεια στο 3D, ενώ οι καμπύλες μπορούν επίσης να υπάρχουν στον 3D χώρο.

Η συνέπεια της πρώτης διαφοράς είναι η διαφορά στον ορισμό του ορίου και της διαφοροποίησης. Τα όρια και οι παράγωγοι κατεύθυνσης ορίζουν το όριο και τη διαφορική κατά μήκος μιας παραμετρικής καμπύλης 1D, μειώνοντας το πρόβλημα στην περίπτωση 1D. Περαιτέρω αντικείμενα υψηλότερης διάστασης μπορούν να κατασκευαστούν από αυτούς τους τελεστές.

Συνέπεια της δεύτερης διαφοράς είναι η ύπαρξη πολλαπλών τύπων ολοκλήρωσης, συμπεριλαμβανομένων των ολοκληρωμάτων γραμμής, των ολοκληρωμάτων επιφάνειας και των ολοκληρωμάτων όγκου. Λόγω της μη μοναδικότητας αυτών των ολοκληρωμάτων, δεν μπορεί να οριστεί σωστά ένα αντιπαράγωγο ή ένα αόριστο ολοκλήρωμα.

Όρια

Η μελέτη των ορίων και της συνέχειας στον πολυμεταβλητό λογισμό δίνει πολλά αντιφατικά αποτελέσματα που δεν αποδεικνύονται από συναρτήσεις μίας μεταβλητής.

Ένα όριο κατά μήκος μιας διαδρομής μπορεί να οριστεί θεωρώντας μια παραμετροποιημένη διαδρομή $s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ στον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο. Οποιαδήποτε συνάρτηση $f({\overrightarrow {x}}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ μπορεί στη συνέχεια να προβάλλεται στο μονοπάτι ως 1D συνάρτηση $f(s(t))$. Το όριο της $f$ στο σημείο $s(t_{0})$ κατά μήκος της διαδρομής $s(t)$ μπορεί επομένως να οριστεί ως εξής

$\lim _{{\overrightarrow {x}}\to s(t_{0})}f({\overrightarrow {x}})=\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))$

(1)

Ας σημειωθεί ότι η τιμή αυτού του ορίου μπορεί να εξαρτάται από τη μορφή του $s(t)$, δηλαδή από τη διαδρομή που επιλέγεται, όχι μόνο από το σημείο στο οποίο προσεγγίζει το όριο. Παραδείγματος χάριν, ας πάρουμε τη συνάρτηση

$f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.$

Αν το σημείο $(0,0)$ προσεγγίζεται μέσω της ευθείας $y=kx$, ή σε παραμετρική μορφή:

Γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x, y) = (x²y)/(x⁴ + y²)

$x(t)=t,\,y(t)=kt$

(2)

Τότε το όριο κατά μήκος της διαδρομής θα είναι:

$\lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {kt^{3}}{t^{4}+k^{2}t^{2}}}=0$

(3)

Από την άλλη πλευρά, αν επιλεγεί η διαδρομή $y=\pm x^{2}$ (ή παραμετρικά, $x(t)=t,\,y(t)=\pm t^{2}$), τότε το όριο γίνεται:

$\lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {\pm t^{4}}{t^{4}+t^{4}}}=\pm {\frac {1}{2}}$

(4)

Δεδομένου ότι η λήψη διαφορετικών διαδρομών προς το ίδιο σημείο δίνει διαφορετικές τιμές, δεν μπορεί να οριστεί ένα γενικό όριο στο σημείο $(0,0)$ για τη συνάρτηση.

Ένα γενικό όριο μπορεί να οριστεί αν τα όρια σε ένα σημείο κατά μήκος όλων των πιθανών διαδρομών συγκλίνουν στην ίδια τιμή, δηλαδή λέμε για μια συνάρτηση $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ότι το όριο της $f$ σε κάποιο σημείο $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ είναι L, αν και μόνο αν

$\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=L$

(5)

για όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ τέτοιες ώστε $s(t_{0})=x_{0}$.

Συνέχεια

Από την έννοια του ορίου κατά μήκος μιας διαδρομής, μπορούμε στη συνέχεια να εξάγουμε τον ορισμό για την πολυμεταβλητή συνέχεια με τον ίδιο τρόπο, δηλαδή: λέμε για μια συνάρτηση $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ότι η $f$ είναι συνεχής στο σημείο $x_{0}$, αν και μόνο αν

$\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=f(x_{0})$

(5)

για όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ such that $s(t_{0})=x_{0}$.

Όπως συμβαίνει και με τα όρια, η συνέχεια κατά μήκος μιας διαδρομής $s(t)$ δεν συνεπάγεται πολυμεταβλητή συνέχεια.

Το ότι η συνέχεια σε κάθε επιχείρημα δεν αρκεί για την πολυμεταβλητή συνέχεια μπορεί επίσης να φανεί από το ακόλουθο παράδειγμα. . Επί παραδείγματι, για μια συνάρτηση πραγματικών τιμών $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ με δύο παραμέτρους πραγματικής τιμής, $f(x,y)$, η συνέχεια της $f$ στο $x$ για σταθερό $y$ και η συνέχεια της $f$ στο $y$ για σταθερό $x$ δεν συνεπάγεται συνέχεια της $f$.

Ας θεωρήσουμε το

$f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}$

Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι μηδέν εξ ορισμού συνοριακή και εκτός του τετραγώνου $(0,1)\times (0,1)$. Επιπλέον, οι συναρτήσεις που ορίζονται για σταθερές $x$ και $y$ και $0\leq a\leq 1$ από

$g_{a}(x)=f(x,a)\quad$ και $\quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad$

είναι συνεχείς. Συγκεκριμένα,

$g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0$ για όλα τα x και y. Επομένως, $f(0,0)=0$ και επιπλέον, κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων, $\lim _{x\to 0}f(x,0)=0$ και $\lim _{y\to 0}f(0,y)=0$. Επομένως, η συνάρτηση είναι συνεχής κατά μήκος και των δύο επιμέρους ορίσματων.

Ωστόσο, ας εξετάσουμε την παραμετρική διαδρομή $x(t)=t,\,y(t)=t$. Η παραμετρική συνάρτηση γίνεται

$f(x(t),y(t))={\begin{cases}1-t&{\text{if}}\quad t>0\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}$

(6)

Ως εκ τούτου,

$\lim _{t\to 0^{+}}f(x(t),y(t))=1\neq f(0,0)=0$

(7)

Είναι επομένως σαφές ότι η συνάρτηση δεν είναι πολυμεταβλητή συνεχής, παρά το γεγονός ότι είναι συνεχής και στις δύο συντεταγμένες.

Θεωρήματα σχετικά με πολυμεταβλητά όρια και συνέχεια

• Όλες οι ιδιότητες της γραμμικότητας και της υπέρθεσης από τον λογισμό μιας μεταβλητής μεταφέρονται στον πολυμεταβλητό λογισμό.
• Σύνθεση': Αν $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ και $g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}$ είναι και οι δύο πολυμεταβλητές συνεχείς συναρτήσεις στα σημεία $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ και $f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}$ αντίστοιχα, τότε $g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}$ είναι επίσης μια πολυμεταβλητή συνεχής συνάρτηση στο σημείο $x_{0}$.
• Πολλαπλασιασμός: Αν $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ και $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ είναι και οι δύο συνεχείς συναρτήσεις στο σημείο $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, τότε $fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ είναι συνεχής στο $x_{0}$, και $f/g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ είναι επίσης συνεχής στο $x_{0}$ υπό την προϋπόθεση ότι $g(x_{0})\neq 0$.
• Αν $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ είναι συνεχής συνάρτηση στο σημείο $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, τότε $|f|$ είναι επίσης συνεχής στο ίδιο σημείο.
• Αν $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ είναι συνεχής κατά Λίπσιτς (με τους κατάλληλους κανονικοποιημένους χώρους όπως απαιτείται) στη γειτονιά του σημείου $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, τότε η $f$ είναι πολυμεταβλητή συνεχής στο $x_{0}$.

Διαφοροποίηση

Κατευθυντική παράγωγος

Η παράγωγος μιας μεταβλητής συνάρτησης ορίζεται ως

${\frac {df}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

(9)

Χρησιμοποιώντας την επέκταση των ορίων που συζητήθηκε παραπάνω, μπορεί κανείς να επεκτείνει τον ορισμό της παραγώγου σε μια συνάρτηση με βαθμωτή τιμή $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ κατά μήκος κάποιας διαδρομής $s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$:

$\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0}+h))-f(s(t_{0}))}{|s(t_{0}+h)-s(t_{0})|}}$

(10)

Σε αντίθεση με τα όρια, για τα οποία η τιμή εξαρτάται από την ακριβή μορφή της διαδρομής $s(t)$, μπορεί να δειχθεί ότι η παράγωγος κατά μήκος της διαδρομής εξαρτάται μόνο από το εφαπτόμενο διάνυσμα της διαδρομής στο $s(t_{0})$, δηλαδή. δηλαδή $s'(t_{0})$, υπό την προϋπόθεση ότι η $f$ είναι συνεχής κατά Λίπσιτς στο $s(t_{0})$ και ότι το όριο εξέρχεται για τουλάχιστον ένα τέτοιο μονοπάτι.

Επομένως, είναι δυνατόν να παραχθεί ο ορισμός της κατευθυντικής παραγώγου ως εξής: Η κατευθυντική παράγωγος μιας συνάρτησης με βαθμωτή τιμή $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ κατά μήκος του μοναδιαίου διανύσματος ${\hat {\mathbf {u}}}$ σε κάποιο σημείο $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ είναι

$\nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)-f(x_{0})}{t}}$

(14)

ή, όταν εκφράζεται με όρους συνήθους διαφοροποίησης,

$\nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\left.{\frac {df(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}{dt}}\right|_{t=0}$

(15)

η οποία είναι μια καλά ορισμένη έκφραση επειδή $f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)$ είναι μια βαθμωτή συνάρτηση με μια μεταβλητή στο $t$.

Δεν είναι δυνατόν να οριστεί μια μοναδική κλιμακωτή παράγωγος χωρίς κατεύθυνση- είναι σαφές, επί παραδείγματι, ότι $\nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})$. Είναι επίσης δυνατόν να υπάρχουν κατευθυντικές παράγωγοι για ορισμένες κατευθύνσεις αλλά όχι για άλλες.

Μερική παράγωγος

Η μερική παράγωγος γενικεύει την έννοια της παραγώγου σε υψηλότερες διαστάσεις. Η μερική παράγωγος μιας πολυμεταβλητής συνάρτησης είναι η παράγωγος ως προς μία μεταβλητή με όλες τις άλλες μεταβλητές να παραμένουν σταθερές.

Μια μερική παράγωγος μπορεί να θεωρηθεί ως η κατευθυντική παράγωγος της συνάρτησης κατά μήκος ενός άξονα συντεταγμένων.

Οι μερικές παράγωγοι μπορούν να συνδυαστούν με ενδιαφέροντες τρόπους για τη δημιουργία πιο περίπλοκων εκφράσεων της παραγώγου. Στο διανυσματικό λογισμό, ο τελεστής del ($\nabla$) χρησιμοποιείται για να ορίσει τις έννοιες της κλίσης, της απόκλισης και της κύρτωσης με όρους μερικών παραγώγων. Ένας πίνακας μερικών παραγώγων, ο Ιακωβιανός πίνακας, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης μεταξύ δύο χώρων αυθαίρετης διάστασης. Η παράγωγος μπορεί έτσι να κατανοηθεί ως ένας γραμμικός μετασχηματισμός που μεταβάλλεται άμεσα από σημείο σε σημείο στο πεδίο της συνάρτησης.

Οι διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν μερικές παραγώγους ονομάζονται μερικές διαφορικές εξισώσεις ή PDE. Οι εξισώσεις αυτές είναι γενικά πιο δύσκολο να επιλυθούν από τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες περιέχουν παραγώγους ως προς μία μόνο μεταβλητή.

Πολλαπλή ενσωμάτωση

Το πολλαπλό ολοκλήρωμα επεκτείνει την έννοια του ολοκληρώματος σε συναρτήσεις οποιουδήποτε αριθμού μεταβλητών. Τα διπλά και τριπλά ολοκληρώματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό εμβαδών και όγκων περιοχών στο επίπεδο και στο χώρο. Το θεώρημα του Φουμπίνι εγγυάται ότι ένα πολλαπλό ολοκλήρωμα μπορεί να εκτιμηθεί ως επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα ή επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα εφόσον το ολοκλήρωμα είναι συνεχές σε όλη την περιοχή ολοκλήρωσης

Το επιφανειακό ολοκλήρωμα και το ευθύγραμμο ολοκλήρωμα χρησιμοποιούνται για την ολοκλήρωση πάνω σε καμπύλες πολλαπλότητας όπως οι επιφάνειες και οι καμπύλες.

Βασικό θεώρημα του λογισμού σε πολλαπλές διαστάσεις

Στον λογισμό μίας μεταβλητής, το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού εγκαθιδρύει μια σύνδεση μεταξύ της παραγώγου και του ολοκληρώματος. Η σύνδεση μεταξύ της παραγώγου και του ολοκληρώματος στον λογισμό πολλαπλών μεταβλητών ενσωματώνεται από τα ολοκληρωτικά θεωρήματα του διανυσματικού λογισμού:

• Θεώρημα κλίσης
• Θεώρημα Στόουκ
• Θεώρημα απόκλισης
• Θεώρημα του Γκριν (Green).

Σε μια πιο προχωρημένη μελέτη του πολυμεταβλητού λογισμού, γίνεται αντιληπτό ότι αυτά τα τέσσερα θεωρήματα είναι ειδικές ενσαρκώσεις ενός γενικότερου θεωρήματος, του γενικευμένου θεωρήματος του Στόουκς, το οποίο εφαρμόζεται στην ολοκλήρωση διαφορικών μορφών πάνω σε πολλαπλές.

Εφαρμογές και χρήσεις

Οι τεχνικές του πολυμεταβλητού λογισμού χρησιμοποιούνται για τη μελέτη πολλών αντικειμένων που παρουσιάζουν ενδιαφέρον στον υλικό κόσμο.

		Τύπος των λειτουργιών	Εφαρμόσιμες τεχνικές
Καμπύλη		$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ for $n>1$	Μήκη καμπυλών, γραμμικά ολοκληρώματα και καμπυλότητα.
Επιφάνεια		$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}$ for $n>2$	Περιοχές επιφανειών, επιφανειακά ολοκληρώματα, ροή μέσω επιφανειών και καμπυλότητα.
Βαθμωτό πεδίο		$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$	Μέγιστα και ελάχιστα, πολλαπλασιαστές Λαγκράνζ, κατευθυντικές παράγωγοι, σύνολα επιπέδων.
Διανυσματικό πεδίο		$f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$	Οποιαδήποτε από τις πράξεις του διανυσματικού λογισμού, συμπεριλαμβανομένης της κλίσης, της απόκλισης και της περιστροφής.

Ο πολυμεταβλητός λογισμός μπορεί να εφαρμοστεί για την ανάλυση ντετερμινιστικών συστημάτων που έχουν πολλούς βαθμούς ελευθερίας. Συχνά χρησιμοποιούνται συναρτήσεις με ανεξάρτητες μεταβλητές που αντιστοιχούν σε καθέναν από τους βαθμούς ελευθερίας για τη μοντελοποίηση αυτών των συστημάτων και ο πολυμεταβλητός λογισμός παρέχει εργαλεία για τον χαρακτηρισμό της δυναμικής του συστήματος.

Ο πολυμεταβλητός λογισμός χρησιμοποιείται στον βέλτιστο έλεγχο δυναμικών συστημάτων συνεχούς χρόνου. Χρησιμοποιείται στην ανάλυση παλινδρόμησης για την εξαγωγή τύπων για την εκτίμηση των σχέσεων μεταξύ διαφόρων συνόλων εμπειρικών δεδομένων.

Ο πολυμεταβλητός λογισμός χρησιμοποιείται σε πολλά πεδία των φυσικών και κοινωνικών επιστημών και της μηχανικής για τη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων υψηλής διάστασης που παρουσιάζουν ντετερμινιστική συμπεριφορά. Στα οικονομικά, λόγου χάριν, η επιλογή του καταναλωτή για μια ποικιλία αγαθών και η επιλογή του παραγωγού για διάφορες εισροές που θα χρησιμοποιήσει και εκροές που θα παράγει, μοντελοποιούνται με τον πολυμεταβλητό λογισμό.

Τα μη ντετερμινιστικά ή στοχαστικά συστήματα μπορούν να μελετηθούν χρησιμοποιώντας ένα διαφορετικό είδος μαθηματικών, όπως ο στοχαστικός λογισμός.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Αντίστροφη συνάρτηση
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Γεωμετρική τοπολογία
• Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ευκλείδειος χώρος
• Ντάνιελ Γκόρενσταϊν
• Θεωρία ομάδων
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας
• Τοπολογικός χώρος
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Δισδιάστατος χώρος

Βιβλιογραφία

• «Multivariable calculus - Αναζήτηση Google». www.google.com. Ανακτήθηκε στις 12 Φεβρουαρίου 2025. 
• Trench, William F.· Kolman, Bernard (10 Μαΐου 2014). Multivariable Calculus with Linear Algebra and Series. Academic Press. ISBN 978-1-4832-5920-8. 
• Gilbert, Robert P.· Shoushani, Michael (24 Νοεμβρίου 2020). Multivariable Calculus with Mathematica. CRC Press. ISBN 978-1-351-66545-2. 
• Zill, Dennis G.· Wright, Warren S. (11 Δεκεμβρίου 2009). Multivariable Calculus. Jones & Bartlett Publishers. ISBN 978-1-4496-4947-0. 
• Lax, Peter D.· Terrell, Maria Shea (12 Μαρτίου 2018). Multivariable Calculus with Applications. Springer. ISBN 978-3-319-74073-7. 
• Dineen, Sean (30 Μαρτίου 2001). Multivariate Calculus and Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-472-7. 
• Mathai, A. M.· Haubold, H. J. (25 Ιουλίου 2017). Fractional and Multivariable Calculus: Model Building and Optimization Problems. Springer. ISBN 978-3-319-59993-9. 
• Lipsman, Ronald L.· Rosenberg, Jonathan M. (6 Δεκεμβρίου 2017). Multivariable Calculus with MATLAB®: With Applications to Geometry and Physics. Springer. ISBN 978-3-319-65070-8. 
• Coombes, Kevin R.· Lipsman, Ronald (15 Μαΐου 1998). Multivariable Calculus and Mathematica®: With Applications to Geometry and Physics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98360-8. 

Παραπομπές

• Hirsch, Morris (1994), Differential Topology (2nd έκδοση), Springer-Verlag 
• O'Neill, Barrett (2006), Elementary Differential Geometry (revised 2nd έκδοση), Amsterdam: Elsevier/Academic Press, ISBN 0-12-088735-5 
• Rudin, :en:Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (3rd έκδοση), New York: McGraw Hill, σελ. 204–299, ISBN 978-0-07-054235-8, https://archive.org/details/1979RudinW 
• Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. San Francisco: Benjamin Cummings. ISBN 0-8053-9021-9. 
• Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System (reprint έκδοση). Dover Publications. ISBN 978-0-486-67910-5. 
• Schey, H. M. (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6. 
• Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
• Adams, Robert A. (2003). Calculus: A Complete Course (5th έκδοση). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-79131-0. 
• Jain, R. K.· Iyengar, S. R. K. (2009). Advanced Engineering Mathematics (3rd έκδοση). Narosa Publishing House. ISBN 978-81-7319-730-7. 
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd έκδοση), Menlo Park: Addison-Wesley 
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2 έκδοση), Addison–Wesley, ISBN 0-201-00288-4 
• Hardy, G.H. (1921), A course in pure mathematics, Cambridge University Press 
• Page, Warren; Hersh, Reuben; Selden, Annie και άλλοι., επιμ.. (2002), «Media Highlights», The College Mathematics 33 (2): 147–154 .
• Sherbert, Robert (2000), Introduction to real analysis, Wiley 
• Whittaker; Watson (1904), A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press 
• Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An introduction (Third έκδοση), New York: McGraw–Hill, σελ. 558–559, ISBN 978-0-07-009465-9 
• Weisstein, Eric W. «Epsilon-Delta Definition». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 18 Αυγούστου 2020. 
• Weisstein, Eric W. «Limit». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 18 Αυγούστου 2020. 

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0