Πλήρες τετράπλευρο

Οι φορείς των BE, ΓΕ, ΔΖ ορίζουν ένα πλήρες τετράπλευρο.

Στην γεωμετρία, το πλήρες τετράπλευρο είναι το σύνολο των σημείων τεσσάρων ευθειών, οι οποίες τέμνονται ανά δύο και ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Στο διπλανό σχήμα τα έξι σημεία τομής ${\rm {A,B,\Gamma ,\Delta ,E,Z}}$ των τεσσάρων ευθειών ονομάζονται κορυφές του πλήρους τετράπλευρου και οι φορείς των ${\rm {BE,\Gamma Z,\Delta Z,\Gamma E}}$ είναι οι πλευρές του. Τα ζεύγη των κορυφών ${\rm {(A,\Gamma ),(B,\Delta ),(E,Z)}}$ λέγονται απένταντι κορυφές και τα ευθύγραμμα τμήματα μεταξύ απέναντι κορυφών ${\rm {A\Gamma ,B\Delta ,EZ}}$ είναι οι διαγώνιοί του.

Το σχήμα δεν είναι τετράπλευρο. Αλλά οι τέσσερις κορυφές ενός τετράπλευρου (που δεν είναι τραπέζιο) μαζί με τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών του, ορίζουν ένα πλήρες τετράπλευρο.

Ιδιότητες

Η ευθεία Νεύτων-Γκάους (με κόκκινο) ενός πλήρους τετράπλευρου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων του.

• (Ευθεία Νεύτωνα-Γκάους) Τα μέσα των τριών διαγωνίων ενός πλήρους τετράπλευρου ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Το σημείο Miquel ${\rm {M}}$ του πλήρους τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta EZ}}$.

Ο κύκλος Miquel του πλήρους τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta EZ}}$.

• (Θεώρημα Miquel) Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ${\rm {EA\Delta }}$, ${\rm {EB\Gamma }}$, ${\rm {ZAB}}$, ${\rm {Z\Gamma \Delta }}$ τέμνονται στο σημείο Miquel ${\rm {M}}$. Επιπλέον, τα κέντρα ${\rm {O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}}$ αυτών των κύκλων και το ${\rm {M}}$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο, που λέγεται κύκλος Miquel του πλήρους τετράπλευρου.

Οι προβολές ${\rm {M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}}$ του σημείου Miquel ${\rm {M}}$ του πλήρους τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta EZ}}$ στις τέσσερις ευθείες του ορίζουν την ευθεία Σίμσον του τετραπλεύρου.

• (Ευθεία Σίμσον) Οι προβολές του σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου στις τέσσερις ευθείες του είναι συνευθειακά σημεία.

Η ευθεία Aubert του πλήρους τετραπλεύρου διέρχεται από τα ορθόκεντρα των τεσσάρων τριγώνων του.

• (Ευθεία Aubert) Τα ορθόκεντρα των τεσσάρων τριγώνων του πλήρους τετραπλεύρου είναι σημεία συνευθειακά.

Δείτε επίσης

• Ευθεία Νεύτωνα-Γκάους