Πεδίο τιμών συνάρτησης

Μια συνάρτηση $f$ από το $X$ στο $Y$. Το μπλε οβάλ $Y$ είναι το πεδίο τιμών της $f$. Το κίτρινο οβάλ μέσα στο $Y$ είναι το σύνολο τιμών της $f$ και το κόκκινο οβάλ $X$ είναι το πεδίο ορισμού της $f$.

Η συνάρτηση $f:[-2,22]\to \mathbb {R}$ έχει πεδίο τιμών το $\mathbb {R}$ και σύνολο τιμών το διάστημα $[1,5]$.

Το πεδίο τιμών της συνάρτησης που αναπαριστά το παραπάνω διάγραμμα είναι $\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{\}}$ και το σύνολο τιμών της είναι $\{b_{1},b_{3},b_{4}\}$.

Στα μαθηματικά, το πεδίο τιμών (ή σύνολο αφίξεως ή ομοπεριοχή ή συμπεριοχή) μιας συνάρτησης είναι το σύνολο που περιέχει όλες τις δυνατές τιμές της συνάρτησης, ενδεχομένως και παραπάνω. Στην σύγχρονη ορολογία είναι το σύνολο $Y$ στον συμβολισμό $f:X\to Y$.

Το πεδίο τιμών είναι μέρος του ορισμού της συνάρτησης $f$, όταν ορίζεται ως η τριάδα $(X,Y,G)$ όπου το $X$ ονομάζεται πεδίο ορισμού, το $Y$ πεδίο τιμών και το $G\subseteq X\times Y$ γραφική παράσταση της $f$. Το σύνολο όλων των στοιχείων της μορφής $f(x)$, όπου το $x$ ανήκει στα στοιχεία του πεδίου ορισμού του $X$, ονομάζεται σύνολο τιμών της $f$. Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι ένα υποσύνολο του πεδίου τιμών της, επομένως μπορεί να μην συμπίπτει με αυτό. Δηλαδή, μια συνάρτηση που δεν είναι επί έχει στοιχεία $y$ που ανήκουν στο πεδίο τιμών, για τα οποία η εξίσωση $f(x)=y$ δεν έχει λύση. Γενικά, για κάθε $f=(X,Y,G)$ μπορούμε να ορίσουμε μία συνάρτηση $g=(X,Y',G)$ που παίρνει τις ίδιες τιμές, αλλά με πεδίο τιμών ένα υπερσύνολο $Y'\supseteq Y$.

Το πεδίο τιμών δεν είναι μέρος μιας συνάρτησης $f$, εάν η $f$ ορίζεται απλά ως μια γραφική παράσταση. Με έναν τέτοιο ορισμό, οι συναρτήσεις δεν έχουν πεδίο τιμών, αν και κάποιοι εξακολουθούν να τον χρησιμοποιούν ανεπίσημα όταν εισάγεται μια συνάρτηση της μορφής $f:X\to Y$.

Παραδείγματα

• Έστω η συνάρτηση $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ που ορίζεται ως

$f\colon \,x\mapsto x^{2},$ ή ισοδύναμα $f(x)=x^{2}$.

Το πεδίο τιμών της $f$ είναι το σύνολο όλων των πραγματικών $\textstyle \mathbb {R}$, αλλά η $f$ δεν αντιστοιχίζεται σε κανένα αρνητικό αριθμό. Έτσι, το σύνολο τιμών της $f$ είναι το σύνολο $\mathbb {R} _{0}^{+}$, δηλαδή το διάστημα $[0,\infty )$.

• Μία παρόμοια συνάρτηση $g$ που ορίζεται ως εξής $g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$

$g\colon \,x\mapsto x^{2}.$

Παρόλο που η $f$ και η $g$ έχουν τον ίδιο τύπο (δηλαδή την ίδια γραφική παράσταση) και το ίδιο πεδίο ορισμού, δεν είναι, σε αυτήν την περίπτωση, οι ίδιες συναρτήσεις επειδή έχουν διαφορετικά πεδία τιμών.

• Η συνάρτηση $f:[-2,22]\to [0,\infty )$ με $f(x)={\sqrt {x+3}}$ έχει σύνολο τιμών $[1,5]$ και πεδίο τιμών $[0,\infty )$.
• Η συνάρτηση $f:A\to B$ για $A=\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\}$ και $B=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\}$ με $f=\{(a_{1},b_{4}),(a_{2},b_{3}),(a_{3},b_{1}),(a_{4},b_{3})\}$ έχει σύνολο τιμών $\{b_{1},b_{3},b_{4}\}$ και πεδίο τιμών $B$.
• Η συνάρτηση που δίνει την πρωτεύουσα κάθε νομού με γραφική παράσταση

$G=\{($Αττική, Αθήνα$),($Θεσσαλονίκη, Θεσσαλονίκη$),\ldots \}$

μπορεί να έχει ως πεδίο τιμών όλες τις πόλεις της Ελλάδας $\{($Αθήνα, Ραφήνα, Ελευσίνα, Θεσσαλονίκη, $\ldots )\}$, μόνο τις πρωτεύουσες $\{($Αθήνα, Θεσσαλονίκη, Κόρινθος$,\ldots )\}$ (που είναι και το σύνολο τιμών της) ή ακόμα και όλες τις πόλεις του κόσμου.

Δείτε και άλλα παραδείγματα στο λήμμα για το σύνολο τιμών συνάρτησης.

Σύνθεση συναρτήσεων

Το πεδίο τιμών που διαλέγουμε για μία συνάρτηση έχει σημασία στην σύνθεση συναρτήσεων. Θεωρούμε τις συναρτήσεις που ορίσαμε παραπάνω

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $f(x)=x^{2}$, και

$g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+}$ με $g(x)=x^{2}$.

Ορίζουμε επιπλέον μια τρίτη συνάρτηση $h$ με

$h\colon \,x\mapsto {\sqrt {x}}$.

Το πεδίο ορισμού της $h$ δεν μπορεί να είναι το σύνολο των πραγματικών $\mathbb {R}$ (γιατί τότε θα περιλάμβανε και τους αρνητικούς), αλλά μπορεί να οριστεί ώστε να είναι $\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}$, δηλαδή $h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R}$.

Η σύνθεση $h\circ g$ ορίζεται και είναι ίση με την ταυτοτική συνάρτηση $\mathrm {id} _{\mathbb {R} _{>0}}$, ενώ η σύνθεση $h\circ f$ δεν ορίζεται επειδή το πεδίο τιμών της $f$ είναι διαφορετικό από πεδίο ορισμού της $h$.

Επομένως, για την σύνθεση συναρτήσεων έχει σημασία να ορίζεται η συνάρτηση με το είναι μια χρήσιμη έννοια μόνο όταν το πεδίο τιμών της συνάρτησης που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της σύνθεσης (όχι το σύνολο τιμών της, το οποίο μπορεί να είναι άγνωστο όταν γίνεται η σύνθεση) είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της σύνθεσης.

Επί συναρτήσεις

Το πεδίο τιμών καθορίζει αν μια συνάρτηση είναι επί, καθώς μια συνάρτηση είναι επί αν και μόνο αν το πεδίο τιμών της ισούται με το σύνολο τιμών της. Στο προηγούμενο παράδειγμα μας, η $g$ είναι επί ενώ η $f$ όχι. Το πεδίο τιμών δεν επηρεάζει το εάν μια συνάρτηση είναι ένα προς ένα.

Άλλο ένα παράδειγμα είναι η εξής συνάρτηση $f:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ με $f(n)=n+1$ είναι δεν είναι επί, ενώ η συνάρτηση $g:\mathbb {N} \to \mathbb {N} \setminus \{0\}$ με $g(n)=n+1$ είναι.

Δείτε επίσης

• Σύνολο τιμών συνάρτησης
• Πεδίο ορισμού συνάρτησης