Πείραμα του Κάβεντις

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Το πείραμα του Κάβεντις (Cavendish experiment), που διεξήγαγε για πρώτη φορά το 1797-1798 ο Βρετανός επιστήμονας Χένρι Κάβεντις, υπήρξε το πρώτο πείραμα που μέτρησε τη δύναμη της βαρύτητας ανάμεσα σε δύο μάζες στο εργαστήριο[1], και το πρώτο που έδωσε ακριβείς τιμές για την παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας.

Εξαιτίας των συμβάσεων που χρησιμοποιούσαν τότε, η βαρυτική σταθερά δεν εμφανίζεται άμεσα στο έργο του Κάβεντις: Το αποτέλεσμα του πειράματος εκφράσθηκε αρχικώς ως η «ειδική βαρύτητα» της Γης[2], ή ισοδύναμα ως η μάζα της Γης. Το πείραμα απέφερε πράγματι τις πρώτες κάπως ακριβείς τιμές και για τις ποσότητες αυτές. Η ιδέα του επινοήθηκε πριν το 1783[3] από τον φυσικό φιλόσοφο Τζων Μίτσελ[4], ο οποίος κατασκεύασε και έναν στροφικό ζυγό για τη διεξαγωγή του. Ωστόσο, ο Μίτσελ πέθανε το 1793 χωρίς να προλάβει να ολοκληρώσει το έργο του. Μετά τον θάνατό του η συσκευή πέρασε στον φυσικό φιλόσοφο Φράνσις Γουόλαστον (Francis John Hyde Wollaston, 1762-1823) και μετά στον Χένρι Κάβεντις, ο οποίος κατασκεύασε εκ νέου τη συσκευή, κρατώντας όμως το αρχικό σχέδιο του Μίτσελ. Στη συνέχεια, ο Κάβεντις διεξήγαγε μια σειρά μετρήσεων με αυτή και ανέφερε τα αποτελέσματά του στα πρακτικά της Βασιλικής Εταιρείας (Philosophical Transactions of the Royal Society) το 1798.[5]

Το πείραμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η συσκευή που κατασκεύασε ο Κάβεντις ήταν ένας στροφικός ζυγός φτιαγμένος από μία ξύλινη ράβδο μήκους 1,8 μέτρου, που κρεμόταν από ένα σύρμα και έφερε από μία μολυβένια σφαίρα σε κάθε άκρο. Η κάθε σφαίρα είχε διάμετρο 2 ίντσες (5,1 εκατοστά) και μάζα 730 γραμμάρια. Δύο άλλες, πολύ βαρύτερες, μολυβένιες σφαίρες, διαμέτρου 12 ιντσών και μάζας 158 χιλιογράμμων η καθεμιά, βρίσκονταν κοντά στις μικρότερες, τοποθετημένες πάνω σε ξεχωριστό στήριγμα.[6] Το πείραμα μετρούσε την ασθενή βαρυτική έλξη μεταξύ των μεγάλων και των μικρών σφαιρών.

Σχέδιο της πειραματικής διατάξεως του Κάβεντις μαζί με το κτίσμα στο οποίο στεγαζόταν. Οι μεγάλες σφαίρες κρέμονταν από ένα πλαίσιο, έτσι ώστε να είναι δυνατό να μετατοπισθούν σε θέσεις δίπλα στις μικρές σφαίρες με τη βοήθεια μιας τροχαλίας από το εξωτερικό του χώρου. Είναι το Σχ. 1 της δημοσιεύσεως του Κάβεντις.
Λεπτομέρεια που δείχνει τον βραχίονα του στροφικού ζυγού (m), τη μία μεγάλη σφαίρα (W), την αντίστοιχη μικρή σφαίρα (x) και το κουτί που την απομόνωνε (ABCDE).

Οι δύο μεγάλες σφαίρες ήταν τοποθετημένες στην κάθε πλευρά του οριζόντιου ξύλινου βραχίονα (ράβδου) του ζυγού. Η αμοιβαία τους έλξη με τις μικρές σφαίρες προκαλούσε την ελαφρότατη στρέψη του βραχίονα, κάτι που συνέστρεφε το σύρμα από το οποίο αυτός κρεμόταν. Ο βραχίονας σταματούσε να στρέφεται όταν έφθανε σε μία γωνία για την οποία η δύναμη από τη συστροφή του σύρματος εξισορροπούσε την ολική ελκτική βαρυτική δύναμη που ασκούσαν αμφότερες οι μεγαλύτερες στις μικρότερες μολυβένιες σφαίρες. Μετρώντας τη γωνία της ράβδου και γνωρίζοντας τη δύναμη από τη συστροφή (ροπή) του σύρματος για δοσμένη γωνία, ο Κάβεντις μπορούσε να υπολογίσει τη δύναμη ανάμεσα στα ζεύγη των μαζών. Επειδή η βαρυτική δύναμη που ασκούσε η Γη πάνω στη μικρή σφαίρα μπορούσε να μετρηθεί απευθείας ζυγίζοντάς την, ο λόγος των δύο δυνάμεων μαζί με τη γνωστή διάμετρο της Γης επέτρεπε τον υπολογισμό της μάζας και της πυκνότητας της Γης, με χρήση του νόμου της βαρύτητας του Νεύτωνα. Ο Κάβεντις αποκλήθηκε εξ αυτού «ο πρώτος άνθρωπος που ζύγισε τη Γη».

Συγκεκριμένα, βρήκε ότι η μέση πυκνότητα της Γης ήταν 5,448 ± 0,033 φορές η πυκνότητα του νερού (εξαιτίας ενός απλού αριθμητικού λάθους στον υπολογισμό του, που ανακαλύφθηκε το 1821 από τον Φράνσις Μπέιλυ, στο κείμενο της εργασίας του εμφανίζεται η τιμή 5,480 ± 0,038).[7]

Προκειμένου να προσδιορίσει τη στροφική σταθερά του σύρματος, δηλαδή τη ροπή που στρέφει το σύρμα κατά μία δεδομένη γωνία, π.χ. μιας μοίρας, ο Βρετανός φυσικός χρονομέτρησε τη φυσική περίοδο P ταλαντώσεως της ράβδου καθώς ταλαντωνόταν αργά δεξιόστροφα και αριστερόστροφα με σταθερά επαναφοράς τη στροφική σταθερά του σύρματος. Η περίοδος ήταν περίπου 20 λεπτά. Αυτή η σταθερά μπορούσε να υπολογισθεί από την P, τη μάζα και τις διαστάσεις του ζυγού. Στην πραγματικότητα, η ράβδος δεν βρισκόταν ποτέ σε ηρεμία και ο Κάβεντις έπρεπε να μετρήσει τη γωνία της ράβδου ενώ αυτή ταλαντωνόταν.[8]

Ο εξοπλισμός του Κάβεντις ήταν αξιοσημείωτα ευαίσθητος για την εποχή του.[7] Η δύναμη που συνέστρεφε το σύρμα ήταν πολύ μικρή, 1,74 × 10−7 N[9], περίπου 50.000.000 φορές μικρότερη από το βάρος των μικρών σφαιρών.[10] Για να αποφύγει τον επηρεασμό των μετρήσεων από ρεύματα αέρα και θερμοκρασιακές μεταβολές, ο Κάβεντις τοποθέτησε ολόκληρη τη συσκευή μέσα σε ένα ξύλινο κουτί με διαστάσεις περίπου 2×10×10 πόδια (0,61 × 3 × 3 μέτρα), το οποίο με τη σειρά του βρισκόταν σε κλειστό υπόστεγο στο κτήμα του. Μέσα από δύο οπές στα τοιχώματα του στεγάστρου ο Κάβεντις παρατηρούσε με μικρά τηλεσκόπια την κίνηση της οριζόντιας ράβδου του ζυγού. Η κίνηση αυτή είχε πλάτος μόλις 4,1 χιλιοστά του μέτρου.[11] Ο Βρετανός φυσικός μπόρεσε να μετρήσει αυτή τη μικρή κίνηση με ακρίβεια καλύτερη του 1/100 της ίντσας με τη χρήση βερνιέρων στα άκρα της ράβδου.[12] Η ακρίβεια αυτή δεν ξεπεράστηκε παρά μόλις με το πείραμα του Τσαρλς Βέρνον Μπόυζ το 1895. Ο στροφικός ζυγός του Μίτσελ έγινε η κυρίαρχη τεχνική για τη μέτρηση της βαρυτικής σταθεράς (G) και οι περισσότερες σύγχρονες μετρήσεις ακόμα χρησιμοποιούν παραλλαγές της μεθόδου. Με αυτό τον τρόπο το πείραμα έγινε «το» Πείραμα του Κάβεντις.[13]

Προσδιόρισε ο Κάβεντις την G;[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η έκφραση του νευτώνειου Νόμου της παγκόσμιας έλξεως με όρους μιας βαρυτικής σταθεράς δεν καθιερώθηκε παρά πολύ μετά την εποχή του Κάβεντις. Μία από τις πρώτες αναφορές στην G χρονολογείται από το 1873, 75 έτη μετά το πείραμά του.[14]

Ο Κάβεντις εξέφρασε το αποτέλεσμά του σε σχέση με την πυκνότητα της Γης: Αναφερόταν στην αλληλογραφία του για το πείραμά του ως «ζύγιση του κόσμου». Μεταγενέστεροι συγγραφείς μετέτρεψαν τα αποτελέσματά του με τους σύγχρονους όρους.[15][16][17]

Μετά τη μετατροπή στο Διεθνές Σύστημα μονάδων, η τιμή του Κάβεντις για την πυκνότητα της Γης, 5,448 gr cm−3, δίνει

G = 6,74 × 10−11m3 kgr–1 sec−2,

που διαφέρει μόλις κατά 1% από τη σύγχρονη τιμή των 6,67384 × 10−11m3 kgr–1 sec−2.

Για τον λόγο αυτό, κάποιοι ιστορικοί της επιστήμης έχουν υποστηρίξει ότι ο Κάβεντις δεν μέτρησε τη βαρυτική σταθερά.[18][19][20][21] Ωστόσο, οι φυσικοί υιοθετούν συχνά μονάδες στις οποίες η G έχει άλλη μορφή: π.χ. η γκαουσιανή βαρυτική σταθερά που χρησιμοποιείται στη διαστημική δυναμική είναι μια οριζόμενη σταθερά και το πείραμα του Κάβεντις μπορεί να θεωρηθεί ως μέτρησή της. Κατά την εποχή του Κάβεντις οι φυσικοί χρησιμοποιούσαν τις ίδιες μονάδες για τη μάζα και την ενέργεια, παίρνοντας το g ως μια πρότυπη επιτάχυνση. Επειδή λοιπόν η ακτίνα της Γης ήταν γνωστή, η πυκνότητά της είχε τον ρόλο μιας αντίστροφης βαρυτικής σταθεράς. Η πυκνότητα της Γης ήταν συνεπώς μια «περιζήτητη» ποσότητα, και είχαν γίνει παλαιότερες προσπάθειες για τη μέτρησή της, όπως το Πείραμα του Σιχάλιον το 1774.

Για τους λόγους αυτούς οι φυσικοί γενικώς πιστώνουν τον Καβεντις με την πρώτη μέτρηση της σταθεράς της παγκόσμιας έλξεως.[22][23]

Η εξαγωγή της G και η μάζα της Γης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για τους ορισμούς των όρων δείτε το σχήμα δεξιά και τον πίνακα στο τέλος της ενότητας.
Διάγραμμα του στροφικού ζυγού

Οι σύγχρονοι φυσικοί (αλλά όχι ο Κάβεντις) θα υπολόγιζαν με τον παρακάτω τρόπο τα αποτελέσματα από το πείραμα.[24][25] Από τον νόμο του Hooke, η ροπή που ασκείται στο σύρμα είναι ανάλογη της γωνίας θ κατά την οποία περιστρέφεται ο ζυγός: τ = κθ, όπου κ είναι ο στροφικός συντελεστής του σύρματος. Ωστόσο, η ροπή μπορεί να γραφεί και ως γινόμενο των ελκτικών δυνάμεων ανάμεσα στις δύο σφαίρες και της αποστάσεώς τους από το σύρμα αναρτήσεως. Επειδή υπάρχουν δύο ζεύγη σφαιρών, η καθεμιά εκ των οποίων δέχεται δύναμη F σε απόσταση L/2 από τον άξονα περιστροφής, η ροπή είναι ίση με LF. Εξισώνοντας τις δύο σχέσεις για τη ροπή εξάγεται ότι:

Για την F ο Νόμος της παγκόσμιας έλξεως του Νεύτωνα απαιτεί να είναι ίση με:

Αντικαθιστώντας την F στην πρώτη εξίσωση έχουμε:

Για να προσδιορίσει τον στροφικό συντελεστή (κ) του σύρματος, ο Κάβεντις μέτρησε τη φυσική περίοδο ταλαντώσεως T του ζυγού:

Με την παραδοχή ότι η μάζα της ράβδου είναι αμελητέα, η ροπή αδράνειας του ζυγού οφείλεται αποκλειστικά στις μικρές σφαίρες:

,

και έτσι:

Επιλύοντας αυτή την εξίσωση ως προς κ, αντικαθιστώντας στην (1) και αναδιατάσσοντας για τη G, παίρνουμε το αποτέλεσμα:

Με γνωστή τη σταθερά G, η έλξη ενός σώματος στη γήινη επιφάνεια από τη Γη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογισθεί η μάζα της Γης και η μέση της πυκνότητα:

Ορισμοί συμβόλων
Σύμβολο Μονάδα Ορισμός
θ ακτίνια Εκτροπή του στροφικού ζυγού από τη θέση ισορροπίας
F N Βαρυτική δύναμη ανάμεσα στις μάζες M και m
G m3 kg−1 s−2 Σταθερά της Παγκόσμιας έλξης
m kg Μάζα της μικρής μολυβένιας σφαίρας
M kg Μάζα της μεγάλης μολυβένιας σφαίρας
r m Απόσταση ανάμεσα στα κέντρα των μικρών και των μεγάλων σφαιρών όταν ο ζυγός αποκλίνει
L m Μήκος της ράβδου ανάμεσα στα κέντρα των μικρών σφαιρών
κ N m rad−1 Στροφικός συντελεστής του σύρματος
I kg m2 Ροπή αδρανείας της ράβδου με τις μικρές σφαίρες
T s Περίοδος ταλαντώσεων του στροφικού ζυγού
g m s−2 Επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης


Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Boys 1894 σελ. 355
  2. Clotfelter 1987, σελ. 210
  3. McCormmach & Jungnickel 1996, σελ. 336: Μία επιστολή του 1783 σταλμένη από τον Κάβεντις στον Μίτσελ περιέχει «την πρώτη μνεία της ζυγίσεως του Κόσμου». Δεν είναι ξεκάθαρο αν η «πρώτη μνεία» αναφέρεται στον Κάβεντις ή στον Μίτσελ.
  4. Cavendish 1798, σελ. 59: Ο Κάβεντις αναγνωρίζει πλήρως στον Μίτσελ την επινόηση του πειράματος
  5. Cavendish, H.: 'Experiments to determine the Density of the Earth', Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Μέρος II, τόμος 88, σσ. 469-526 (21 Ιουνίου 1798), ανάτυπο: Cavendish 1798
  6. Cavendish 1798, σελ. 59
  7. 7,0 7,1 Poynting 1894, σελ. 45
  8. Cavendish 1798, σελ. 64
  9. Boys 1894 σελ. 357
  10. Cavendish 1798 σελ. 60
  11. Cavendish 1798, σελ. 99, Πίνακας αποτελεσμάτων.
  12. Cavendish 1798, σελ. 63
  13. McCormmach & Jungnickel 1996, σελ. 341
  14. Cornu, A.; Baille, J.B. (1873). «Détermination nouvelle de la constante de l'attraction et de la densité moyenne de la Terre [New Determination of the Constant of Attraction and the Average Density of Earth]» (στα γαλλικά). C.R. Acad. Sci. (Παρίσι) 76: 954–958. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3033b/f954.image. 
  15. Boys 1894, σελ. 330. Στη διάλεξη αυτή ενώπιον της Βασιλικής Εταιρείας, ο Μπόυζ εισήγαγε την G και επιχειρηματολόγησε για την υιοθέτησή της
  16. Poynting 1894, σελ. 4
  17. MacKenzie 1900, σελ. vi
  18. Clotfelter 1987
  19. McCormmach & Jungnickel 1996, σελ. 337
  20. Hodges 1999
  21. Lally 1999
  22. Halliday, David. Resnick, Robert (1993). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons, σελ. 418. ISBN 978-0-471-14731-2. https://books.google.com/?id=-AjnmJHPiKMC&pg=PA418. Ανακτήθηκε στις 2013-12-30 
  23. Feynman, Richard P. (1967). The Character of Physical Law. MIT Press, σελ. 28. ISBN 0-262-56003-8. http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_07.html#Ch7-S6  «Ο Κάβεντις μπόρεσε να μετρήσει τη δύναμη, τις δύο μάζες και την απόσταση, και έτσι προσδιόρισε τη βαρυτική σταθερά G.'
  24. Poynting 1894, σελ. 41
  25. Για την αρχική μέθοδο υπολογισμού του Κάβεντις, βλ. Clotfelter 1987 (σελ. 212)

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Cavendish experiment της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).