Παραλληλόγραμμο των δυνάμεων

Διάγραμμα 1: Κατασκευή παραλληλογράμμου για την πρόσθεση διανυσμάτων. Αυτή η κατασκευή έχει το ίδιο αποτέλεσμα με τη μετακίνηση του F₂ έτσι ώστε η ουρά του να συμπίπτει με την κεφαλή του F₁, και λαμβάνοντας την καθαρή δύναμη ως το διάνυσμα που ενώνει την ουρά του F₁ με την κεφαλή του F₂. Αυτή η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί για να προστεθεί το F₃ στην προκύπτουσα F₁ + F₂ και ούτω καθεξής.

Το παραλληλόγραμμο δυνάμεων είναι μια μέθοδος επίλυσης (ή οπτικοποίησης) των αποτελεσμάτων της εφαρμογής δύο δυνάμεων σε ένα αντικείμενο. Όταν εμπλέκονται περισσότερες από δύο δυνάμεις, η γεωμετρία δεν είναι πλέον παραλληλόγραμμο, αλλά οι ίδιες αρχές ισχύουν για ένα πολύγωνο δυνάμεων. Η προκύπτουσα δύναμη από την εφαρμογή ενός αριθμού δυνάμεων μπορεί να βρεθεί γεωμετρικά σχεδιάζοντας βέλη για κάθε δύναμη. Το παραλληλόγραμμο δυνάμεων είναι μια γραφική εκδήλωση της πρόσθεσης διανυσμάτων.

Η απόδειξη του Νεύτωνα

Διάγραμμα 2: Παραλληλόγραμμο της ταχύτητας

Προκαταρκτικά: το παραλληλόγραμμο της ταχύτητας

Ας υποθέσουμε ότι ένα σωματίδιο κινείται με ομοιόμορφο ρυθμό κατά μήκος μιας γραμμής από το Α στο Β (Σχήμα 2) σε δεδομένο χρόνο (π.χ. ένα δευτερόλεπτο), ενώ στον ίδιο χρόνο η γραμμή ΑΒ κινείται ομοιόμορφα από τη θέση της στο ΑΒ σε μια θέση στο DC, παραμένοντας καθ' όλη τη διάρκεια παράλληλη με τον αρχικό της προσανατολισμό. Λαμβάνοντας υπόψη και τις δύο κινήσεις, το σωματίδιο διαγράφει την ευθεία AC. Επειδή η μετατόπιση σε δεδομένο χρόνο είναι ένα μέτρο της ταχύτητας, το μήκος της ΑΒ είναι ένα μέτρο της ταχύτητας του σωματιδίου κατά μήκος της ΑΒ, το μήκος της ΑΔ είναι ένα μέτρο της ταχύτητας της γραμμής κατά μήκος της ΑΔ και το μήκος της ΑΓ είναι ένα μέτρο της ταχύτητας του σωματιδίου κατά μήκος της ΑΓ. Η κίνηση του σωματιδίου είναι η ίδια σαν να είχε κινηθεί με μία μόνο ταχύτητα κατά μήκος της AC.

Η απόδειξη του Νεύτωνα για το παραλληλόγραμμο της δύναμης

Ας υποθέσουμε ότι δύο δυνάμεις ασκούνται σε ένα σωματίδιο στην αρχή (οι "ουρές" των διανυσμάτων) του Σχήματος 1. Έστω ότι τα μήκη των διανυσμάτωνF₁ και F₂ αντιπροσωπεύουν τις ταχύτητες που θα μπορούσαν να παράγουν οι δύο δυνάμεις στο σωματίδιο δρώντας για δεδομένο χρόνο, και έστω ότι η κατεύθυνση του καθενός αντιπροσωπεύει την κατεύθυνση προς την οποία δρουν. Κάθε δύναμη ενεργεί ανεξάρτητα και θα παράγει τη συγκεκριμένη ταχύτητά της είτε ενεργεί η άλλη δύναμη είτε όχι. Στο τέλος του συγκεκριμένου χρόνου, το σωματίδιο έχει “'και τις δύο”' ταχύτητες. Σύμφωνα με την παραπάνω απόδειξη, είναι ισοδύναμες με μία μόνο ταχύτητα, F_net. Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, αυτό το διάνυσμα είναι επίσης ένα μέτρο της δύναμης που θα παρήγαγε αυτή την ταχύτητα, επομένως οι δύο δυνάμεις είναι ισοδύναμες με μία μόνο δύναμη.

Χρήση παραλληλογράμμου για την πρόσθεση των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σωματίδιο σε ομαλή κλίση. Διαπιστώνουμε, όπως θα περιμέναμε, ότι η προκύπτουσα δύναμη (διπλό βέλος) δρα προς τα κάτω στην κλίση, γεγονός που θα προκαλέσει την επιτάχυνση του σωματιδίου προς αυτή την κατεύθυνση.

Απόδειξη του Μπερνούλι για κάθετα διανύσματα

Διαμορφώνουμε τις δυνάμεις ως ευκλείδεια διανύσματα ή μέλη του $\mathbb {R} ^{2}$. Η πρώτη μας υπόθεση είναι ότι το αποτέλεσμα δύο δυνάμεων είναι στην πραγματικότητα μια άλλη δύναμη, έτσι ώστε για δύο οποιεσδήποτε δυνάμεις $\mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}$ υπάρχει μια άλλη δύναμη $\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}$. Η τελική μας υπόθεση είναι ότι το αποτέλεσμα δύο δυνάμεων δεν αλλάζει όταν περιστρέφεται. Αν $R:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ είναι οποιαδήποτε περιστροφή (οποιασδήποτε ορθογώνια απεικόνιση για τη συνήθη δομή του διανυσματικού χώρου του $\mathbb {R} ^{2}$ με $\det R=1$), τότε για όλες τις δυνάμεις $\mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}$

$R\left(\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \right)=R\left(\mathbf {F} \right)\oplus R\left(\mathbf {G} \right)$

Ας θεωρήσουμε δύο κάθετες δυνάμεις $\mathbf {F} _{1}$ μήκους $a$ και $\mathbf {F} _{2}$ μήκους $b$, με $x$ το μήκος της $\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}$. Έστω $\mathbf {G} _{1}:={\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)$ και $\mathbf {G} _{2}:={\tfrac {a}{x}}R(\mathbf {F} _{2})$, where $R$ σε περιστροφή μεταξύ $\mathbf {F} _{1}$ και $\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}$, so $\mathbf {G_{1}} ={\tfrac {a}{x}}R\left(\mathbf {F} _{1}\right)$. Σύμφωνα με το αναλλοίωτο της περιστροφής, έχουμε

$\mathbf {F} _{1}={\frac {x}{a}}R^{-1}\left(\mathbf {G} _{1}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}$

Ομοίως, ας θεωρήσουμε δύο ακόμη δυνάμεις $\mathbf {H} _{1}:=-\mathbf {G} _{2}$ και $\mathbf {H} _{2}:={\tfrac {b^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)$. Έστω $T$ η περιστροφή από την $\mathbf {F} _{1}$ προς $\mathbf {H} _{1}$: $\mathbf {H} _{1}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{1}\right)$, το οποίο με έλεγχο κάνει $\mathbf {H} _{2}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{2}\right)$.

$\mathbf {F} _{2}={\frac {x}{b}}T^{-1}\left(\mathbf {H} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}}$

Εφαρμόζοντας αυτές τις δύο εξισώσεις

$\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} \right)=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(-\mathbf {G} _{2}\oplus \mathbf {H} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}$

Δεδομένου ότι $\mathbf {G} _{1}$ και $\mathbf {H} _{2}$ και οι δύο βρίσκονται κατά μήκος του $\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}$, τα μήκη τους είναι ίσα $x=\left|\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right|=\left|\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}\right|={\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{x}}$

$x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

το οποίο συνεπάγεται ότι $\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}$ έχει μήκος ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ το οποίο είναι το μήκος του $a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}$. Έτσι, για την περίπτωση όπου τα $\mathbf {F} _{1}$ και $\mathbf {F} _{2}$ είναι κάθετα $\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}$. Ωστόσο, όταν συνδυάσαμε τα δύο σύνολα των βοηθητικών δυνάμεων χρησιμοποιήσαμε τη συνθετικότητα του $\oplus$. Χρησιμοποιώντας αυτή την πρόσθετη παραδοχή, θα σχηματίσουμε μια πρόσθετη απόδειξη παρακάτω.

Αλγεβρική απόδειξη του παραλληλογράμμου δυνάμεων

Διαμορφώνουμε τις δυνάμεις ως ευκλείδεια διανύσματα ή μέλη του $\mathbb {R} ^{2}$. Η πρώτη μας υπόθεση είναι ότι το αποτέλεσμα δύο δυνάμεων είναι στην πραγματικότητα μια άλλη δύναμη, έτσι ώστε για δύο οποιεσδήποτε δυνάμεις $\mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}$ υπάρχει μια άλλη δύναμη $\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}$. We assume commutativity, Υποθέτουμε αντιμεταθετικότητα, καθώς πρόκειται για δυνάμεις που εφαρμόζονται ταυτόχρονα, οπότε η σειρά δεν θα πρέπει να έχει σημασία $\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} =\mathbf {G} \oplus \mathbf {F}$.

Ας θεωρήσουμε την απεικόνιση

$(a,b)=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}\mapsto a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}$

Αν η $\oplus$ είναι προσεταιριστική, τότε αυτός ο χάρτης θα είναι γραμμικός. Αφού στέλνει επίσης το $\mathbf {e} _{1}$ στο $\mathbf {e} _{1}$ και $\mathbf {e} _{2}$ to $\mathbf {e} _{2}$, πρέπει επίσης να είναι η ταυτότητα της απεικόνισης. Συνεπώς $\oplus$ πρέπει να είναι ισοδύναμος με τον τελεστή πρόσθεσης κανονικών διανυσμάτων.

Ιστορία

Ο νόμος του παραλληλογράμμου των δυνάμεων (ή η χρήση του παραλληλογράμμου στην ανάλυση των φυσικών μεγεθών, καθώς η έννοια της δύναμης εμφανίστηκε μόνο με την πάροδο του χρόνου, κυρίως με τον Νεύτωνα) έχει μια περίπλοκη ιστορία που χρονολογείται από τον Ψευδο-Αριστοτέλη ("Ερωτήσεις μηχανικής"). Ωστόσο, η σημασία της δεν αναγνωρίστηκε πλήρως κατά την Αναγέννηση. Η μέθοδος διατυπώθηκε το 1586 από τον Σάιμον Στέβιν (1548-1620) (πείραμα σκέψης του Στέβιν) για την ανάλυση δυνάμεων στο κεκλιμένο επίπεδο και καθιερώθηκε στους ευρύτερους επιστημονικούς κύκλους μόλις τον 17ο αιώνα, μεταξύ άλλων μέσω μέσω συζητήσεων στον κύκλο του Μαρίν Μερσέν στο Παρίσι, ο οποίος στη δεκαετία του 1630 γνώρισε τα έργα του Στέβιν που δημοσιεύτηκαν στα λατινικά από το 1605 και τα συζήτησε με τους Ζιλ Περσέν ντε Ρομπέρβαλ, Πιερ ντε Φερμά και Πιερ Εριγκόν, μεταξύ άλλων, ως αντίδραση στην οπτική του Ρενέ Ντεκάρτ και του Τόμας Χομπς, καθώς και του Γαλιλαίου (π.χ. Διάλογος για τα δύο παγκόσμια συστήματα, 1630). Ο Τζον Γουάλις διατύπωσε τελικά τον νόμο ως αξίωμα στη Μηχανική του γύρω στο 1670. Ο Ισαάκ Νεύτων διατύπωσε τη μέθοδο στο έργο του Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687, βιβλίο 1, κεφάλαιο Αξιώματα ή νόμοι της κίνησης) ως συμπέρασμα 1 (προσθήκη) στις τρεις εξισώσεις της κίνησης: Ένα σώμα, στο οποίο επιδρούν ταυτόχρονα δύο δυνάμεις, θα περιγράψει τις διαγωνίους ενός παραλληλογράμμου στον ίδιο χρόνο που θα περιέγραφε τις πλευρές αυτών των δυνάμεων ξεχωριστά (στη γερμανική μετάφραση των Principia από τον Wolfer (1872, σ. 33): Ένα σώμα περιγράφει στον ίδιο χρόνο, με την ένωση δύο δυνάμεων, τη διαγώνιο ενός παραλληλογράμμου στην οποία θα περιέγραφε, δυνάμει των ξεχωριστών δυνάμεων, τις πλευρές). Ωστόσο, εφάρμοσε την ανάλυση με τη χρήση παραλληλογράμμων και σε άλλα διανυσματικά μεγέθη, όπως η επιτάχυνση και η ταχύτητα. Η ανακάλυψη του παραλληλογράμμου των δυνάμεων με τη σύγχρονη έννοια αποδίδεται επίσης ανεξάρτητα στον Πιερ ντε Βαρινιόν (Projet d'une novell mechanique, Παρίσι, 1687, Nouvelle mechanique ou statique, 1725).

Εφευρέθηκαν διάφορες συσκευές που απεικονίζουν την αποσύνθεση, όπως παραδείγματος χάριν από τον Κραχάι.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Διδιάστατος χώρος
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Διάσταση Κρουλ
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Robertson, J. McGregor (1884). The Elements of Physiological Physics: An Outline of the Elementary Facts, Principles, and Methods of Physics; and Their Applications in Physiology. Cassell & Company. 
• Gokaldas, B. B.· Somkuwar, Vandana (1 Νοεμβρίου 2021). Engineering Mechanics | AICTE Prescribed Textbook - English: with Lab Manual. Khanna Book Publishing Co. Pvt. Ltd. ISBN 978-93-91505-60-8. 
• Darrigol, Olivier (2014). Physics and Necessity: Rationalist Pursuits from the Cartesian Past to the Quantum Present. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-871288-6. 
• Bird, J. O. (20 Μαΐου 2014). Newnes Engineering Science Pocket Book. Elsevier. ISBN 978-1-4831-8308-4. 
• Ball, Robert Stawell (1871). Experimental Mechanics: A Course of Lectures Delivered at the Royal College of Science for Ireland. Macmillan and Company. 
• Bird, J. O.· Chivers, P. J. (20 Μαΐου 2014). Newnes Physical Science: Pocket Book for Engineers. Elsevier. ISBN 978-1-4831-8276-6. 
• Harman, Peter M.· Harman, Peter Michael (7 Νοεμβρίου 2002). The Investigation of Difficult Things: Essays on Newton and the History of the Exact Sciences in Honour of D. T. Whiteside. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89266-7. 
• Bird, J. O.· Chivers, P. J. (28 Ιουνίου 2014). Newnes Engineering and Physical Science Pocket Book. Newnes. ISBN 978-1-4831-9387-8. 
• Haswell, Charles Haynes (1890). Mechanics' and Engineers' Pocketbook of Tables: Rules, and Formulas Pertaining to Mechanics, Mathematics, and Physics. Harper & brothers. 
• Caneva, Kenneth L. (8 Μαρτίου 2015). Robert Mayer and the Conservation of Energy. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-7281-7. 

Παραπομπές

• Hubbard, J. H.· Hubbard, B. B. (1999). Vector calculus, linear algebra, and differential forms. A unified approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-657446-7. 
• Warner, Frank (1983) [1971]. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. New York-Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3. 
• Boothby, William (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics, volume 120 (second έκδοση). Orlando, FL: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X. 
• Watson, G. N. (1966). A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press. MR 1349110. 
• Fewell, M. P. (2006). «Area of common overlap of three circles». Defence Science and Technology Organisation. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Μαρτίου 2022. 
• Librion, Federico; Levorato, Marco; Zorzi, Michele (2012). «An algorithmic solution for computing circle intersection areas and its application to wireless communications». Wirel. Commun. Mobile Comput. 14 (18): 1672–1690. doi:10.1002/wcm.2305. 
• Schwarz, Michael; Stamminger, Marc (2006), «Pixel-shader-based curved triangles», SIGGRAPH '06: ACM SIGGRAPH 2006 Research posters, ACM Press, doi:10.1145/1179622.1179680, http://www.mpi-inf.mpg.de/~mschwarz/papers/pscurvedtris-sig06.pdf, ανακτήθηκε στις 2025-04-17 
• Barrera, Tony; Hast, Anders; Bengtsson, Ewert, «Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes», στο: Ollila, Mark, επιμ., SIGRAD 2002, σελ. 43–48, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:968852/FULLTEXT01.pdf#page=49 
• Martin, Ralph R. (6 Αυγούστου 2009). Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7-9, 2009 Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-03595-1. 
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0