Οσόεδρο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Σύνολο κανονικών n-γωνικών οσοέδρων
Hexagonal Hosohedron.svg
Παράδειγμα εξαγωνικού οσοέδρου πάνω σε σφαίρα
Τύπος Κανονικό πολύεδρο ή
Σφαιρική πλακόστρωση
Χαρακτηριστική Όιλερ 2
Έδρες n δίγωνα
Ακμές n
Κορυφές 2
Διαμόρφωση κορυφής 2n
Σύμβολο Schläfli {2,n}
Σύμβολο Wythoff n | 2 2
Διάγραμμα Coxeter CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel n.pngCDel node.png
Ομάδα συμμετρίας Dnh, [2,n], (*22n), τάξης 4n
Ομάδα περιστροφής Dn, [2,n]+, (22n), τάξης 2n
Δυϊκό δίεδρο
Το τόπι αυτό μοιάζει με οσόεδρο έξι εδρών, αν αφαιρεθούν οι λευκοί κύκλοι από τους πόλους του.

Στη γεωμετρία, το n-γωνο οσόεδρο είναι μια ψηφιδοθέτηση μηνίσκων πάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια, έτσι ώστε να μοιράζονται όλοι τις ίδιες δύο πολικά αντίθετες κορυφές.[1]

Το κανονικό n-γωνικό οσόεδρο έχει σύμβολο Schläfli {2, n}, με κάθε σφαιρικό μηνίσκο του να έχει εσωτερική γωνία 2π/n ακτίνια (360°/n).[2][3]

Ετυμολογία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο όρος «οσόεδρο» επινοήθηκε από τον Χάρολντ Σκοτ ΜακΝτόναλντ Κόξετερ (Harold Scott MacDonald Coxeter) και πιθανότατα προέρχεται από την ελληνική λέξη «όσο» (αρχαία ελληνικά: ὅσον), η ιδέα είναι ότι το πολύεδρο αυτό μπορεί να έχει «όσες έδρες επιθυμούμε».[4]

Οσόεδρα ως κανονικά πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για ένα κανονικό πολύεδρο που έχει σύμβολο Schläfli {mn}, το πλήθος των πολυγωνικών εδρών του μπορεί να βρεθεί από τον τύπο:

Τα γνωστά από τους αρχαίους χρόνους Πλατωνικά στερεά είναι οι μόνες ακέραιες λύσεις για m ≥ 3 και n ≥ 3. Ο περιορισμός m ≥ 3 συνεπάγεται ότι οι πολυγωνικές έδρες πρέπει να έχουν τουλάχιστον τρεις πλευρές.

Όταν εξετάζονται τα πολύεδρα ως σφαιρική πλακόστρωση, ο περιορισμός αυτός μπορεί να είναι χαλαρός, δεδομένου ότι τα δίγωνα μπορούν να παρασταθούν ως σφαιρικοί μηνίσκοι, που έχουν μη μηδενικό εμβαδόν. Επιτρέποντας το m = 2 ορίζεται μια νέα τάξη άπειρων κανονικών πολυέδρων, τα οποία είναι τα οσόεδρα. Σε μια σφαιρική επιφάνεια, το πολύεδρο {2, n} αναπαρίσταται ως n εφαπτόμενοι σφαιρικοί μηνίσκοι, με εσωτερικές γωνίες 2π/n, όπου όλοι αυτοί οι μηνίσκοι μοιράζονται δύο κοινές κορυφές.

Trigonal hosohedron.png
Το κανονικό τριγωνικό οσόεδρο , {2,3}, αναπαρίσταται ως ψηφιδοθέτηση τριών σφαιρικών μηνίσκων πάνω σε μια σφαίρα.
4hosohedron.svg
Το κανονικό τετραγωνικό οσόεδρο, αναπαρίσταται ως ψηφιδοθέτηση τεσσάρων σφαιρικών μηνίσκων πάνω σε μια σφαίρα.
Κανονικά οσόεδρα (με 2 κορυφές)
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  ... 
Εικόνα Spherical digonal hosohedron.png Spherical trigonal hosohedron.png Spherical square hosohedron.png Spherical pentagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical heptagonal hosohedron.png Spherical octagonal hosohedron.png Spherical enneagonal hosohedron.png Spherical decagonal hosohedron.png Spherical hendecagonal hosohedron.png Spherical dodecagonal hosohedron.png
{2,n} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8} {2,9} {2,10} {2,11} {2,12}
Coxeter CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png

Καλειδοσκοπική συμμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι διγωνικές έδρες (σφαιρικοί μηνίσκοι) ενός 2n-οσοέδρου, {2,2n}, αναπαριστούν το θεμελιώδες πεδίο ορισμού της διεδρικής συμμετρίας σε τρεις διαστάσεις· Cnv, [n], (*nn), τάξης 2n. Τα συμμετρικά πεδία εμφανίζονται με εναλλαγή χρωμάτων στους μηνίσκους. Η διχοτόμηση των σφαιρικών μηνίσκων σε δύο σφαιρικά τρίγωνα δημιουργεί διπυραμίδες και ορίζει διεδρική συμμετρία Dnh, τάξης 4n.

Συμμετρία C1v, [ ] C2v, [2] C3v, [3] C4v, [4] C5v, [5] C6v, [6]  ... 
Οσόεδρο {2,2} {2,4} {2,6} {2,8} {2,10} {2,12}
Θεμελιώδη πεδία Spherical digonal hosohedron2.png Spherical square hosohedron2.png Spherical hexagonal hosohedron2.png Spherical octagonal hosohedron2.png Spherical decagonal hosohedron2.png Spherical dodecagonal hosohedron2.png

Σχέση με το στερεό του Στάινμετζ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το τετραγωνικό οσόεδρο είναι τοπολογικά ισοδύναμο με το στερεό του Στάινμετζ, που ονομάζει δικύλινδρο και είναι η τομή δύο κυλίνδρων σε ορθή γωνία.[5]

Παράγωγα πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το δυϊκό ενός n-γωνικού οσοέδρου {2, n} είναι το n-γωνικό δίεδρο, {n, 2}. Το πολύεδρο {2,2} είναι αυτοδυϊκό, δηλαδή οσόεδρο και δίεδρο ταυτοχρόνως.

Ένα οσόεδρο μπορεί να τροποποιηθεί τοιουτοτρόπως με τα άλλα πολύεδρα για να παραχθεί μια κόλουρη παραλλαγή του. Το κόλουρο n-γωνικό οσόεδρο είναι το n-γωνικό πρίσμα.

Απειρογωνικό οσόεδρο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οριακά το οσόεδρο γίνεται απειρογωνικό οσόεδρο ως ψηφιδοθέτηση δύο διαστάσεων:

Apeirogonal hosohedron.png

Οσότοπο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κατ' αναλογία ένα πολυδιάστατο οσόεδρο ονομάζονται γενικά οσότοπο. Τα κανονικά οσότοπα με Schläfli συμβολισμό {2,p,...,q} έχουν δύο κορυφές, που η καθεμία έχει σχήμα κορυφής {p,...,q}.

Το οσότοπο δύο διαστάσεων είναι το δίγωνο και συμβολίζεται με {2}.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Weisstein, Eric W., "Hosohedron" από το MathWorld.
  2. Coxeter, Regular polytopes, σελ. 12.
  3. Abstract Regular polytopes, σελ. 161.
  4. Schwartzman (1994), σσ. 108–109.
  5. Weisstein, Eric W., "Steinmetz Solid" από το MathWorld.

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Hosohedron της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).