Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Στην στερεομετρία, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι το παραλληλεπίπεδο του οποίου οι έδρες είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα.

Εμβαδόν

Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$.

Το εμβαδόν της επιφάνειας ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι ίσο με

${\rm {E}}=2\cdot (\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )$

όπου $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι τα μήκη των ακμών του.

Απόδειξη  

Οι έξι έδρες είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα που είναι ανά δύο ίσα. Οι διαστάσεις τους είναι $\alpha \cdot \beta$, $\beta \cdot \gamma$ και $\gamma \cdot \alpha$. Αθροίζοντας τα εμβαδά αυτών λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση.

Όγκος

Ο όγκος ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι ίσος με

${\rm {V}}=\alpha \beta \gamma$,

όπου $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι τα μήκη των ακμών του.

Ιδιότητες

• Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι ίσες.
• Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται. Το σημείο τομής τους λέγεται το κέντρο του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου.
• Το κέντρο του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι και κέντρο συμμετρίας του.
• Το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει έχει τρία επίπεδα συμμετρίας.

Μετρικές σχέσεις

Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσες με

$\delta ={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}$,

όπου $\alpha ,\beta \gamma$ είναι τα μήκη των ακμών του.

Απόδειξη  

Ο τύπος προκύπτει από διπλή εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος. Αρχικά, το Πυθαγόρειο θεώρημα δίνει ότι η διαγώνιος στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο της βάσης του είναι ίσο με

$\delta _{1}={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}$.

Έπειτα το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που περιέχει την διαγώνιο $\delta _{1}$ και τις δύο ακμές μήκους $\gamma$ έχει ως διαγώνιο μία αρχική του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και είναι ίση με

$\delta ={\sqrt {\delta _{1}^{2}+\gamma ^{2}}}={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}$.

Ειδικές περιπτώσεις

Στην περίπτωση που όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα είναι τετράγωνα το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι κύβος.

Δείτε επίσης

• Παραλληλεπίπεδο