Ομομορφισμός Ομάδας

Απεικόνιση ενός ομομορφισμού ομάδας (h) από την G (αριστερά) στην H (δεξιά). Το οβάλ στο εσωτερικό του H είναι η εικόνα του h. Το N είναι ο πυρήνας του h και το aN είναι ένα σύμπλοκο του N.

Στα μαθηματικά, με δεδομένες δύο ομάδες, (G,∗) και (H, ·), ένας ομομορφισμός ομάδας από την (G,∗) στην (H, ·) είναι μια συνάρτηση h : G → H τέτοια ώστε για όλες τις u και v στην G να ισχύει ότι

$h(u*v)=h(u)\cdot h(v)$

όπου η πράξη της ομάδας στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι αυτή της G και στη δεξιά πλευρά αυτή της H.

Από αυτή την ιδιότητα, μπορεί κανείς να συμπεράνει ότι το h απεικονίζει το στοιχείο ταυτότητας e_G του Gστο στοιχείο ταυτότητας e_H του H,

$h(e_{G})=e_{H}$

και επίσης απεικονίζει αντιστρόφους σε αντιστρόφους με την έννοια ότι

$h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}.\,$

Ως εκ τούτου, μπορούμε να πούμε ότι το h "είναι συμβατό με τη δομή της ομάδας".

Σε τομείς των μαθηματικών όπου εξετάζονται ομάδες που διαθέτουν πρόσθετη δομή, ένας ομομορφισμός σημαίνει μερικές φορές μια απεικόνιση που σέβεται όχι μόνο τη δομή της ομάδας (όπως παραπάνω) αλλά και την πρόσθετη δομή. Παραδείγματος χάριν, ένας ομομορφισμός τοπολογικών ομάδων συχνά απαιτείται να είναι συνεχής.

Ιδιότητες

Έστω $e_{H}$ το στοιχείο ταυτότητας της ομάδας (H, ·) και $u\in G$, τότε

$h(u)\cdot e_{H}=h(u)=h(u*e_{G})=h(u)\cdot h(e_{G})$

Τώρα πολλαπλασιάζοντας για το αντίστροφο του $h(u)$ (ή εφαρμόζοντας τον κανόνα ακύρωσης) έχουμε

$e_{H}=h(e_{G})$

Ομοίως,

$e_{H}=h(e_{G})=h(u*u^{-1})=h(u)\cdot h(u^{-1})$

Επομένως, για τη μοναδικότητα της αντιστροφής: $h(u^{-1})=h(u)^{-1}$.

Είδη

Μονομορφισμός

Ένας ομομορφισμός ομάδας που είναι ερριπτικός (ή, ένα προς ένα), δηλαδή, διατηρεί τη διακριτότητα.

Επιμορφισμός

Ένας ομομορφισμός ομάδας που είναι επιρριπτικός (ή, επί), δηλαδή, φτάνει σε κάθε σημείο της συν-περιοχής.

Ισομορφισμός

Ένας ομομορφισμός ομάδας που είναι διμερής, δηλαδή, ερριπτικός και επιρριπτικός. Το αντίστροφό του είναι επίσης ομομορφισμός ομάδας. Σε αυτή την περίπτωση, οι ομάδες G και H ονομάζονται ισομορφικές- διαφέρουν μόνο στον συμβολισμό των στοιχείων τους (εκτός από το στοιχείο ταυτότητας) και είναι πανομοιότυπες για όλους τους πρακτικούς σκοπούς. Δηλαδή, επανασημασιοδοτούμε όλα τα στοιχεία εκτός από την ταυτότητα.

Ενδομορφισμός

Ένας ομομορφισμός ομάδων, h: G → G; ο τομέας και ο κωδικός τομέας είναι οι ίδιοι. Ονομάζεται επίσης ενδομορφισμός της G.

Αυτομορφισμός

Ένας ενδομορφισμός ομάδας που είναι διμερής και συνεπώς ισομορφισμός. Το σύνολο όλων των αυτομορφισμών μιας ομάδας G, με σύνθεση συνάρτησης ως πράξη , αποτελεί μια ομάδα, την ομάδα αυτομορφισμών της G. Συμβολίζεται με (G). Παραδείγματος χάριν, η ομάδα αυτομορφισμού της (Z, +) περιέχει μόνο δύο στοιχεία, τον μετασχηματισμό ταυτότητας και τον πολλαπλασιασμό με το −1; είναι ισομορφική με την (Z/2Z, +).

Εικόνα και πυρήνας

Ορίζουμε ως πυρήνα του h το σύνολο των στοιχείων του G που απεικονίζονται στην ταυτότητα του H.

$\operatorname {ker} (h):=\left\{u\in G\colon h(u)=e_{H}\right\}.$

και η εικόνα του h να είναι

$\operatorname {im} (h):=h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.$

Ο πυρήνας και η εικόνα ενός ομομορφισμού μπορούν να ερμηνευθούν ως μέτρο του πόσο κοντά είναι στο να είναι ισομορφισμός. Το πρώτο θεώρημα ισομορφισμού δηλώνει ότι η εικόνα ενός ομομορφισμού ομάδας h(G) είναι ισομορφική με το πηλίκο ομάδας G/ker h.

Ο πυρήνας της h είναι μια κανονική υποομάδα της G. Ας υποθέσουμε ότι $u\in \operatorname {ker} (h)$ και δείξτε $g^{-1}\circ u\circ g\in \operatorname {ker} (h)$ για αυθαίρετα $u,g$:

${\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H},\end{aligned}}$

Η εικόνα της h είναι μια υποομάδα της H.

Ο ομομορφισμός, h, είναι ένας μονομορφισμός ομάδας, δηλαδή, ο h είναι ερριπτικός (ένα προς ένα) εάν και μόνο εάν ker(h) = {e_G}.Η έρριψη δίνει άμεσα ότι υπάρχει ένα μοναδικό στοιχείο στον πυρήνα και, αντίστροφα, ένα μοναδικό στοιχείο στον πυρήνα δίνει έρριψη:

${\begin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}\end{aligned}}$

Παραδείγματα

• Ας θεωρήσουμε την κυκλική ομάδα Z₃ = (Z/3Z, +) = ({0, 1, 2}, +) και την ομάδα των ακεραίων (Z, +).

Η απεικόνιση h : Z → Z/3Z με h(u) = u mod 3 είναι ομομορφισμός ομάδας. Είναι επιρριπτικός και ο πυρήνας του αποτελείται από όλους τους ακέραιους αριθμούς που διαιρούνται με το 3.

• Το σύνολο

  $G\equiv \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}$

  σχηματίζει μια ομάδα υπό πολλαπλασιασμό πινάκων. Για κάθε μιγαδικό αριθμό u η συνάρτηση f_u : G → C^* που ορίζεται από

  ${\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}$

  είναι ένας ομομορφισμός ομάδας.
• Ας θεωρήσουμε μια πολλαπλασιαστική ομάδα θετικών πραγματικών αριθμών (R⁺, ⋅) για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό u. Τότε η συνάρτηση f_u : R⁺ → C που ορίζεται από τη σχέση

  $f_{u}(a)=a^{u}$

  είναι ομομορφισμός ομάδας.

• Η εκθετική απεικόνιση δίνει έναν ομομορφισμό ομάδας από την ομάδα των πραγματικών αριθμών R με πρόσθεση στην ομάδα των μη μηδενικών πραγματικών αριθμών R* με πολλαπλασιασμό. Ο πυρήνας είναι {0} και η εικόνα αποτελείται από τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς.
• Η εκθετική απεικόνιση δίνει επίσης έναν ομομορφισμό ομάδας από την ομάδα των μιγαδικών αριθμών C με πρόσθεση στην ομάδα των μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών C* με πολλαπλασιασμό. Αυτή η απεικόνιση είναι επιφανειακή και έχει πυρήνα {2πki : k ∈ Z}, όπως φαίνεται από τον τύπο του Όιλερ. Τα σώματα όπως το R και το C που έχουν ομομορφισμούς από την προσθετική τους ομάδα στην πολλαπλασιαστική τους ομάδα ονομάζονται έτσι εκθετικά σώματα.
• Η συνάρτηση ${\displaystyle \Phi$ :(\mathbb {Z} ,+)\rightarrow (\mathbb {R} ,+)} , που ορίζεται από τη σχέση $\Phi (x)={\sqrt[{}]{2}}x$ είναι ομομορφισμός.
• Ας θεωρήσουμε τις δύο ομάδες $(\mathbb {R} ^{+},*)$ και $(\mathbb {R} ,+)$, που παριστάνονται αντίστοιχα από τις $G$ και $H$, όπου $\mathbb {R} ^{+}$είναι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Τότε, η συνάρτηση $f:G\rightarrow H$ που ορίζεται από τη συνάρτηση του λογαρίθμου είναι ένας ομομορφισμός.

Κατηγορία ομάδων

Αν h : G → H και k : H → K είναι ομομορφισμοί ομάδων, τότε το ίδιο ισχύει και για k ∘ h : G → K. Αυτό δείχνει ότι η κλάση όλων των ομάδων, μαζί με τους ομομορφισμούς ομάδων ως μορφισμούς, σχηματίζει μια κατηγορία (συγκεκριμένα την κατηγορία των ομάδων).

Ομομορφισμοί αβελιανών ομάδων

Εάν οι G και H είναι αβελιανές (δηλ, αντιμεταθετικές) ομάδες, τότε το σύνολο Hom(G, H) όλων των ομομορφισμών ομάδων από την G στην H είναι η ίδια μια αβελιανή ομάδα: το άθροισμα h + k δύο ομομορφισμών ορίζεται από τη σχέση

(h + k)(u) = h(u) + k(u)    για όλα τα u στο G.

Η αντιμεταθετικότητα του H ίναι απαραίτητη για να αποδείξουμε ότι h + k είναι και πάλι ένας ομομορφισμός ομάδας.

Η πρόσθεση ομομορφισμών είναι συμβατή με τη σύνθεση ομομορφισμών με την ακόλουθη έννοια: αν f είναι στο Hom(K, G), h, k είναι στοιχεία του Hom(G, H), καιg είναι στο Hom(H, L), τότε

(h + k) ∘ f = (h ∘ f) + (k ∘ f)    and    g ∘ (h + k) = (g ∘ h) + (g ∘ k).

Εφόσον η σύνθεση είναι συσχετιστική, αυτό δείχνει ότι το σύνολο End(G) όλων των ενδομορφισμών μιας αβελιανής ομάδας σχηματίζει έναν δακτύλιο, τον δακτύλιο ενδομορφισμών της G. Παραδείγματος χάριν, ο δακτύλιος ενδομορφισμών της αβελιανής ομάδας που αποτελείται από το άμεσο άθροισμα m αντιγράφων της Z/nZ είναι ισομορφικός με τον δακτύλιο των m-προς-m πινάκων με καταχωρήσεις στην Z/nZ. Η παραπάνω συμβατότητα δείχνει επίσης ότι η κατηγορία όλων των αβελιανών ομάδων με ομομορφισμούς ομάδων αποτελεί μια προ-προσθετική κατηγορία- η ύπαρξη άμεσων αθροισμάτων και καλά συμπεριφερόμενων πυρήνων καθιστά την κατηγορία αυτή το πρωτότυπο παράδειγμα αβελιανής κατηγορίας.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών Αρχειοθετήθηκε 2025-06-01 στο Wayback Machine.
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Επιμορφισμός
• Σύνθεση συνάρτησης
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Ένα προς ένα
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Αβελιανή ομάδα

Βιβλιογραφία

• Childs, Lindsay N. (26 Νοεμβρίου 2008). A Concrete Introduction to Higher Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-74527-5. 
• Dubinsky, Ed· Leron, Uri (1994). Learning Abstract Algebra with ISETL. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94104-2. 
• Srinivasan, Parthiban (20 Φεβρουαρίου 2025). Group Theory: Foundations and Applications. Educohack Press. ISBN 978-93-6152-118-8. 
• Clark, Allan (1 Ιανουαρίου 1984). Elements of Abstract Algebra. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-64725-8. 
• Hall, Brian (11 Μαΐου 2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Springer. ISBN 978-3-319-13467-3. 
• Badawi, Ayman (2004). Abstract Algebra Manual: Problems and Solutions. Nova Publishers. ISBN 978-1-59033-924-4. 
• Burn, R. P. (3 Σεπτεμβρίου 1987). Groups: A Path to Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-34793-8. 
• Ibort, Alberto· Rodriguez, Miguel A. (28 Οκτωβρίου 2019). An Introduction to Groups, Groupoids and Their Representations. CRC Press. ISBN 978-1-351-86957-7. 
• Gathen, Joachim von zur· Gerhard, Jürgen (3 Ιουλίου 2003). Modern Computer Algebra. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82646-4. 
• Jantzen, Jens Carsten (1 Ιανουαρίου 2003). Representations of Algebraic Groups. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3527-2. 

Παραπομπές

• Fesenko, Ivan; Vostokov, Sergey (2002), Local Fields and their Extensions (2nd έκδοση), American Mathematical Society, ISBN 978-0-19-504030-2, https://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/ibf/book/book.html, ανακτήθηκε στις 2025-07-09 
• Fesenko, Ivan B.; Kurihara, Masato, επιμ.. (2000), Invitation to Higher Local Fields, Geometry & Topology Monographs, 3 (First έκδοση), University of Warwick: Mathematical Sciences Publishers, doi:10.2140/gtm.2000.3, ISSN 1464-8989,  
• Joshi, K. D. (1997). Applied Discrete Structures. New Age International. ISBN 978-81-224-0826-3. 
• Neukirch, Jürgen (1986), Class field theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 280, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-15251-4, https://books.google.com/books?id=5_vuAAAAMAAJ 
• Serre, Jean-Pierre (1967), «Local class field theory», στο: Cassels, John William Scott; Fröhlich, Albrecht, επιμ., Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Thompson, Washington, D.C., σελ. 128–161, ISBN 978-0-9502734-2-6, https://books.google.com/books?id=DQP_RAAACAAJ 
• Jacobson, Nathan (8 Ιουνίου 2012). Basic Algebra II: Second Edition. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13521-2. 
• Kantor, I.L.; Solodovnikov, A.S. (1989), «Normed algebras with an identity. Hurwitz's theorem.», Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras (2nd έκδοση), Springer-Verlag, σελ. 121, ISBN 978-0-387-96980-0, , https://archive.org/details/hypercomplexnumb0000kant/page/121 
• Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of Numbers by Heinz-Dieter Ebbinghau et al., Springer, (ISBN 0-387-97202-1)
• Springer, T. A.; F. D. Veldkamp (2000), Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66337-9 
• Manin, Ju. I. (1965). «The Hasse–Witt matrix of an algebraic curve». Transl., Ser. 2, Am. Math. Soc.. American Mathematical Society Translations: Series 2 45: 245–246. doi:10.1090/trans2/045/16. ISBN 978-0-8218-1745-2. ISSN 0065-9290. .  (English translation of a Russian original)
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. en:Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023. 
• Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf. 
• Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8. 
• Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001. 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 

Πηγές

• Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7. 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.