Ομάδα Γκαλουά

Στα μαθηματικά, στον τομέα της αφηρημένης άλγεβρας που είναι γνωστός ως θεωρία Γκαλουά, η ομάδα Γκαλουά ενός συγκεκριμένου τύπου επέκτασης σώματος είναι μια ειδική ομάδα που σχετίζεται με την επέκταση του σώματος. Η μελέτη των επεκτάσεων σώματος και η σχέση τους με τα πολυώνυμα που τις δημιουργούν μέσω των ομάδων Γκαλουά ονομάζεται θεωρία Γκαλουά, η οποία ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του Εβαρίστ Γκαλουά που τις ανακάλυψε πρώτος.

Για μια πιο στοιχειώδη συζήτηση των ομάδων Γκαλουά με όρους ομάδων μετατροπής, δείτε το άρθρο για τη θεωρία Γκαλουά.

Ορισμός

Ας υποθέσουμε ότι το $E$ είναι μια επέκταση του σώματος $F$ (που γράφεται ως $E/F$ και διαβάζεται "E πάνω από F"). Ένας αυτομορφισμός του $E/F$ ορίζεται ως ένας αυτομορφισμός του $E$ που καθορίζει το $F$ σημειακά. Με άλλα λόγια, ένας αυτομορφισμός του $E/F$ είναι ένας ισομορφισμός $\alpha :E\to E$ τέτοιος ώστε $\alpha (x)=x$ για κάθε $x\in F$. Το σύνολο όλων των αυτομορφισμών του $E/F$ σχηματίζει μια ομάδα με την πράξη της σύνθεσης συναρτήσεων. Αυτή η ομάδα μερικές φορές συμβολίζεται με $\operatorname {Aut} (E/F).$.

Εάν η $E/F$ είναι μια επέκταση Γκαλουά, τότε η $\operatorname {Aut} (E/F)$ ονομάζεται ομάδα Γκαλουά της $E/F$ και συνήθως συμβολίζεται με $\operatorname {Gal} (E/F)$.

Εάν η $E/F$ δεν είναι επέκταση Γκαλουά, τότε η ομάδα Γκαλουά της $E/F$ ορίζεται μερικές φορές ως $\operatorname {Aut} (K/F)$, όπου $K$ είναι η ομάδα κλεισίματος Γκαλουά της $E$.

Ομάδα Γκαλουά ενός πολυωνύμου

Ένας άλλος ορισμός της ομάδας Γκαλουά προέρχεται από την ομάδα Γκαλουά ενός πολυωνύμου $f\in F[x]$. Αν υπάρχει ένα σώμα $K/F$ τέτοιο ώστε το $f$ να αναλύεται ως γινόμενο γραμμικών πολυωνύμων

$f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]$

πάνω στο σώμα $K$, τότε η ομάδα Γκαλουά του πολυωνύμου $f$ ορίζεται ως η ομάδα Γκαλουά του $K/F$ όπου το $K$ είναι ελάχιστο μεταξύ όλων αυτών των σωμάτων.

Δομή των ομάδων Γκαλουά

Θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Γκαλουά

Ένα από τα σημαντικά θεωρήματα δομής της θεωρίας Γκαλουά προέρχεται από το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Γκαλουά. Αυτό δηλώνει ότι δεδομένης μιας πεπερασμένης επέκτασης Γκαλουά $K/k$, υπάρχει μια διχοτόμηση μεταξύ του συνόλου των υποσωμάτων $k\subset E\subset K$ και των υποομάδων $H\subset G.$ Τότε, το $E$ δίνεται από το σύνολο των αναλλοίωτων του $K$ υπό τη δράση του $H$, οπότε

$E=K^{H}=\{a\in K:ga=a{\text{ όπου }}g\in H\}$

Επιπλέον, αν η $H$ είναι κανονική υποομάδα τότε $G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)$. Και αντίστροφα, αν $E/k$ είναι κανονική επέκταση σώματος, τότε η σχετική υποομάδα στο $\operatorname {Gal} (K/k)$ είναι κανονική ομάδα.

Δομή πλέγματος

Ας υποθέσουμε ότι οι $K_{1},K_{2}$ είναι επεκτάσεις Γκαλουά του $k$ με ομάδες Γκαλουά $G_{1},G_{2}.$ Το σώμα $K_{1}K_{2}$ με ομάδα Γκαλουά $G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)$ έχει μια έρριψη $G\to G_{1}\times G_{2}$ η οποία είναι ισομορφισμός όποτε $K_{1}\cap K_{2}=k$.

Επαγωγή

Ως επακόλουθο, αυτό μπορεί να επαχθεί πεπερασμένες φορές. Δεδομένων των επεκτάσεων Γκαλουά $K_{1},\ldots ,K_{n}/k$ όπου $K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,$ τότε υπάρχει ισομορφισμός των αντίστοιχων ομάδων Γκαλουά:

$\operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong \operatorname {Gal} (K_{1}/k)\times \cdots \times \operatorname {Gal} (K_{n}/k).$

Παραδείγματα

Στα ακόλουθα παραδείγματα $F$ είναι ένα σώμα, και $\mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q}$ είναι τα σώματα των μιγαδικών, πραγματικών και ρητών αριθμών, αντίστοιχα. Ο συμβολισμός F(a) υποδηλώνει την επέκταση του σώματος που προκύπτει από την πρόσθεση ενός στοιχείου a στο σώμα F.

Υπολογιστικά εργαλεία

πληθικότητα της ομάδας Γκαλουά και ο βαθμός της επέκτασης σώματος

Μια από τις βασικές προτάσεις που απαιτούνται για τον πλήρη προσδιορισμό της ομάδας Γκαλουά μιας επέκτασης πεπερασμένου σώματος είναι η ακόλουθη: Δεδομένου ενός πολυωνύμου $f(x)\in F[x]$, έστω $E/F$ η επέκταση σώματος διάσπασης του. Τότε η τάξη της ομάδας Γκαλουά είναι ίση με τον βαθμό της επέκτασης του σώματος - δηλαδή,

$\left|\operatorname {Gal} (E/F)\right|=[E:F]$

Κριτήριο Αϊζενστάιν

Ένα χρήσιμο εργαλείο για τον προσδιορισμό της ομάδας Γκαλουά ενός πολυωνύμου προέρχεται από το κριτήριο του Αϊζενστάιν. Αν ένα πολυώνυμο $f\in F[x]$ παραγοντοποιείται σε μη αναγώγιμα πολυώνυμα $f=f_{1}\cdots f_{k}$ η ομάδα Γκαλουά του $f$ μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τις ομάδες Γκαλουά κάθε $f_{i}$ αφού η ομάδα Γκαλουά του $f$ περιέχει κάθε μία από τις ομάδες Γκαλουά των $f_{i}.$

Τετριμμένη ομάδα

$\operatorname {Gal} (F/F)$ είναι η τετριμμένη ομάδα που έχει ένα μόνο στοιχείο, δηλαδή τον αυτομορφισμό ταυτότητας.

Ένα άλλο παράδειγμα μιας ομάδας Γκαλουά που είναι τετριμμένη είναι η $\operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).$ . Πράγματι, μπορεί να αποδειχθεί ότι οποιοσδήποτε αυτομορφισμός της $\mathbb {R}$ πρέπει να διατηρεί τη διάταξη των πραγματικών αριθμών και επομένως πρέπει να είναι η ταυτότητα.

Ας θεωρήσουμε το σώμα $K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ Η ομάδα $\operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )$ περιέχει μόνο τον αυτομορφισμό ταυτότητας. Αυτό συμβαίνει επειδή η $K$ δεν είναι κανονική επέκταση, αφού οι άλλες δύο κυβικές ρίζες του $2$,

$\exp \left({\tfrac {2\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}}$ and $\exp \left({\tfrac {4\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}},$

λείπουν από την επέκταση - με άλλα λόγια το K δεν είναι σώμα διασπάσεως.

Πεπερασμένες αβελιανές ομάδες

Η ομάδα Γκαλουά $\operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ έχει δύο στοιχεία, τον αυτομορφισμό ταυτότητας και τον αυτομορφισμό μιγαδικής συζυγίας.

Τετραγωνικές επεκτάσεις

Η επέκταση σώματος βαθμού δύο $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ έχει την ομάδα Γκαλουά $\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )$ με δύο στοιχεία, τον αυτομορφισμό ταυτότητας και τον αυτομορφισμό $\sigma$ που ανταλλάσσει τα ${\sqrt {2}}$ και $-{\sqrt {2}}$. Αυτό το παράδειγμα γενικεύεται για έναν πρώτο αριθμό $p\in \mathbb {N} .$

Γινόμενο τετραγωνικών επεκτάσεων

Χρησιμοποιώντας τη δομή πλέγματος των ομάδων Γκαλουά, για μη ίσους πρώτους αριθμούς $p_{1},\ldots ,p_{k}$ η ομάδα Γκαλουά του $\mathbb {Q} \left({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}}\right)/\mathbb {Q}$ είναι

$\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{k}$

Κυκλοτομικές επεκτάσεις

Μια άλλη χρήσιμη κατηγορία παραδειγμάτων προέρχεται από τα σώματα διασπάσεως κυκλωματικών πολυωνύμων. Αυτά είναι πολυώνυμα $\Phi _{n}$ που ορίζονται ως

$\Phi _{n}(x)=\prod _{\begin{matrix}1\leq k\leq n\\\gcd(k,n)=1\end{matrix}}\left(x-e^{\frac {2ik\pi }{n}}\right)$

του οποίου ο βαθμός είναι $\phi (n)$, η συνάρτηση του Όιλερ στο $n$. Τότε, το σώμα διασπάσεως πάνω από το $\mathbb {Q}$ είναι $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ και έχει αυτομορφισμούς $\sigma _{a}$ που στέλνουν $\zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{a}$ για $1\leq a<n$ σχετικά πρώτους ως προς $n$. Δεδομένου ότι ο βαθμός του σώματος είναι ίσος με τον βαθμό του πολυωνύμου, αυτοί οι αυτομορφισμοί δημιουργούν την ομάδα Γκαλουά. If $n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}},$ τότε

$\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong \prod _{a_{i}}\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)$

Αν $n$ είναι ένας πρώτος αριθμός $p$, τότε ένα επακόλουθο αυτού είναι

$\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z}$

Στην πραγματικότητα, κάθε πεπερασμένη αβελιανή ομάδα μπορεί να βρεθεί ως η ομάδα Γκαλουά κάποιου υποσώματος μιας επέκτασης κυκλοτομικού σώματος μέσω του θεωρήματος Κρόνεκερ-Βέμπερ.

Πεπερασμένα σώματα

Μια άλλη χρήσιμη κατηγορία παραδειγμάτων ομάδων Γκαλουά με πεπερασμένες αβελιανές ομάδες προέρχεται από πεπερασμένα σώματα. Αν q είναι μια πρώτη δύναμη, και αν $F=\mathbb {F} _{q}$ και $E=\mathbb {F} _{q^{n}}$ συμβολίζουν τα σώματα Γκαλουά τάξης $q$ και $q^{n}$ αντίστοιχα, τότε το $\operatorname {Gal} (E/F)$ είναι κυκλικό τάξης n και παράγεται από τον ομομορφισμό του Φρομπένιους.

Παραδείγματα βαθμού 4

Η επέκταση σώματος $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q}$ είναι ένα παράδειγμα επέκτασης σώματος βαθμού $4$. Αυτός έχει δύο αυτομορφισμούς $\sigma ,\tau$ όπου $\sigma ({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}}$ και $\tau ({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}}.$ Δεδομένου ότι αυτές οι δύο γεννήτριες ορίζουν μια ομάδα τάξης $4$, την τετραμερή ομάδα Κλάιν, καθορίζουν ολόκληρη την ομάδα Γκαλουά.

Ένα άλλο παράδειγμα δίνεται από το σώμα διασπάσεως $E/\mathbb {Q}$ του πολυωνύμου

$f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

Ας σημειωθεί ότι $(x-1)f(x)=x^{5}-1,$ οι ρίζες της $f(x)$ are $\exp \left({\tfrac {2k\pi i}{5}}\right).$ Υπάρχουν αυτομορφισμοί

${\begin{cases}\sigma _{l}:E\to E\\\sigma _{2}:\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\mapsto \left(\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\right)^{l}\end{cases}}$

δημιουργώντας μια ομάδα τάξης $4$. Εφόσον η $\sigma _{2}$ παράγει αυτή την ομάδα, η ομάδα Γκαλουά είναι ισόμορφη με την $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$.

Πεπερασμένες μη-αβελιανές ομάδες

Ας θεωρήσουµε τώρα $L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega ),$ όπου $\omega$ είναι µια πρωταρχική κυβική ρίζα της µονάδας. Η ομάδα $\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )$ είναι ισόμορφη με την S₃, τη διεδρική ομάδα τάξης 6, και η L είναι στην πραγματικότητα το σώμα διάσπασης του $x^{3}-2$ πάνω από το $\mathbb {Q} .$

ομάδα των τετράδων

Η ομάδα των τετράδων μπορεί να βρεθεί ως η ομάδα Γκαλουά μιας επέκτασης του σώματος $\mathbb {Q}$. Επί παραδείγματι, η επέκταση του σώματος

$\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})(3+{\sqrt {3}})}}\right)$

έχει την προδιαγεγραμμένη ομάδα Γκαλουά.

Συμμετρική ομάδα πρώτης τάξης

Αν $f$ είναι ένα μη αναγώγιμο πολυώνυμο πρώτου βαθμού $p$ με ρητούς συντελεστές και ακριβώς δύο μη πραγματικές ρίζες, τότε η ομάδα Γκαλουά του $f$ είναι η πλήρης συμμετρική ομάδα $S_{p}.$

Παραδείγματος χάριν, η $f(x)=x^{5}-4x+2\in \mathbb {Q} [x]$ είναι μη αναγώγιμη από το κριτήριο του Αϊζενστάιν. Η σχεδίαση της γραφικής παράστασης της $f$ με λογισμικό γραφικών παραστάσεων ή απεικόνιση δείχνει ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες, άρα δύο μιγαδικές ρίζες, δείχνοντας ότι η ομάδα Γκαλουά της είναι $S_{5}$.

Σύγκριση ομάδων Γκαλουά επεκτάσεων σωμάτων ολικών σωμάτων

Δεδομένου μιας επέκτασης ολικού σώματος $K/k$ (όπως $\mathbb {Q} ({\sqrt[{5}]{3}},\zeta _{5})/\mathbb {Q}$) και κλάσεις ισοδυναμίας των αποτιμήσεων $w$ στο $K$ (όπως η $p$-adic αποτίμηση) και $v$ στο $k$ τέτοιες ώστε οι συμπληρώσεις τους να δίνουν μια επέκταση του σώματος Γκαλουά

$K_{w}/k_{v}$

των τοπικών σωμάτων, υπάρχει μια επαγόμενη δράση της ομάδας Γκαλουά $G=\operatorname {Gal} (K/k)$ στο σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας των αποτιμήσεων, έτσι ώστε οι συμπληρώσεις των σωμάτων να είναι συμβατές. Αυτό σημαίνει ότι αν $s\in G$ τότε υπάρχει ένας επαγόμενος ισομορφισμός των τοπικών σωμάτων

$s_{w}:K_{w}\to K_{sw}$

Δεδομένου ότι έχουμε λάβει την υπόθεση ότι το $w$ βρίσκεται πάνω από το $v$ (δηλαδή υπάρχει μια επέκταση σώματος Γκαλουά $K_{w}/k_{v}$),ο μορφισμός σώματος $s_{w}$ είναι στην πραγματικότητα ένας ισομορφισμός των $k_{v}$- αλγεβρών. Αν πάρουμε την υποομάδα ισοτροπίας της $G$ για την κλάση αποτίμησης $w$

$G_{w}=\{s\in G:sw=w\}$

τότε υπάρχει μια υπερβολή της ολικής ομάδας Γκαλουά στην τοπική ομάδα Γκαλουά, έτσι ώστε να υπάρχει ισομορφισμός μεταξύ της τοπικής ομάδας Γκαλουά και της υποομάδας ισοτροπίας. Διαγραμματικά, αυτό σημαίνει

${\begin{matrix}\operatorname {Gal} (K/v)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Gal} (K_{w}/k_{v})\\\downarrow &&\downarrow \\G&\twoheadrightarrow &G_{w}\end{matrix}}$

όπου τα κάθετα βέλη είναι ισομορφισμοί. Αυτό δίνει μια τεχνική για την κατασκευή ομάδων Γκαλουά τοπικών σωμάτων χρησιμοποιώντας ολικές ομάδες Γκαλουά.

Άπειρες ομάδες

Ένα βασικό παράδειγμα επέκτασης σώματος με άπειρη ομάδα αυτομορφισμών είναι το $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )$, καθώς περιέχει κάθε επέκταση αλγεβρικού σώματος $E/\mathbb {Q}$. Επί παραδείγματι, οι επεκτάσεις σώματος $\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q}$ για ένα στοιχείο $a\in \mathbb {Q}$ χωρίς τετράγωνα έχουν κάθε μία από αυτές έναν μοναδικό αυτομορφισμό βαθμού $2$, που προκαλεί έναν αυτομορφισμό στο $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} ).$

Μια από τις πιο μελετημένες κατηγορίες άπειρων ομάδων Γκαλουά είναι η απόλυτη ομάδα Γκαλουά, η οποία είναι μια άπειρη, προπεπερασμένη ομάδα που ορίζεται ως το αντίστροφο όριο όλων των πεπερασμένων επεκτάσεων Γκαλουά $E/F$ για ένα σταθερό σώμα. Το αντίστροφο όριο συμβολίζεται

$\operatorname {Gal} ({\overline {F}}/F):=\varprojlim _{E/F{\text{ finite separable}}}{\operatorname {Gal} (E/F)}$,

όπου ${\overline {F}}$ είναι η διαχωρίσιμη κλειστότητα του σώματος $F$. Ας σημειωθεί ότι η ομάδα αυτή είναι μια τοπολογική ομάδα.. Μερικά βασικά παραδείγματα περιλαμβάνουν τις $\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )$ και

$\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {F} }}_{q}/\mathbb {F} _{q})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}$.

Ένα άλλο εύκολα υπολογίσιμο παράδειγμα προέρχεται από την επέκταση του σώματος $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q}$ που περιέχει την τετραγωνική ρίζα κάθε θετικού πρώτου αριθμού. Έχει ομάδα Γκαλουά

$\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} )\cong \prod _{p}\mathbb {Z} /2$,

το οποίο μπορεί να συναχθεί από το προπεπερασμένο όριο

$\cdots \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )$

και χρησιμοποιώντας τον υπολογισμό των ομάδων Γκαλουά.

Ιδιότητες

Η σημασία του ότι μια επέκταση είναι Γκαλουά είναι ότι υπακούει στο θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Γκαλουά: οι κλειστές (ως προς την τοπολογία Κρουλ) υποομάδες της ομάδας Γκαλουά αντιστοιχούν στα ενδιάμεσα σώματα της επέκτασης του σώματος.

Αν η $E/F$ είναι μια επέκταση Γκαλουά, τότε στην $\operatorname {Gal} (E/F)$ μπορεί να δοθεί μια τοπολογία, που ονομάζεται τοπολογία Κρουλ, η οποία την μετατρέπει σε μια προπεπερασμένη ομάδα.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Σώμα διασπάσεως
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Hazewinkel, Michiel (1 Δεκεμβρίου 2013). Encyclopaedia of Mathematics: Fibonacci Method — H. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-009-5997-2. 
• Roman, Steven (17 Νοεμβρίου 2005). Field Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-27677-9. 
• Spindler, Karlheinz (18 Οκτωβρίου 1993). Abstract Algebra with Applications: Volume 2: Rings and Fields. CRC Press. ISBN 978-0-8247-9159-9. 
• Papikian, Mihran (31 Μαρτίου 2023). Drinfeld Modules. Springer Nature. ISBN 978-3-031-19707-9. 
• Shum, K. P.· Wan, Zhexian (2003). Advances in Algebra: Proceedings of the ICM Satellite Conference in Algebra and Related Topics. World Scientific. ISBN 978-981-238-260-3. 
• Shum, K. P.· Wan, Zhexian (2003). Advances in Algebra: Proceedings of the ICM Satellite Conference in Algebra and Related Topics. World Scientific. ISBN 978-981-238-260-3. 
• Facchini, Alberto· Houston, Evan (10 Φεβρουαρίου 2020). Rings, Modules, Algebras, and Abelian Groups. CRC Press. ISBN 978-0-8247-5081-7. 
• Huynh, D. V.· Huynh, Dinh Van (2006). Algebra and Its Applications: International Conference, Algebra and Its Applications, March 22-26, 2005, Ohio University, Athens, Ohio. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3842-6. 
• Gouvêa, Fernando Q. (2012). A Guide to Groups, Rings, and Fields. MAA. ISBN 978-0-88385-355-9. 
• Buhler, Joe P. (5 Ιουνίου 1998). Algorithmic Number Theory: Third International Symposium, ANTS-III, Portland, Orgeon, USA, June 21-25, 1998, Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64657-0. 

Παραπομπές

• Artin, Emil; Whaples, George (1945), «Axiomatic characterization of fields by the product formula for valuations», Bull. Amer. Math. Soc. 51 (7): 469–492, doi:10.1090/S0002-9904-1945-08383-9 
• Artin, Emil; Whaples, George (1946), «A note on axiomatic characterization of fields», Bull. Amer. Math. Soc. 52 (4): 245–247, doi:10.1090/S0002-9904-1946-08549-3 
• J.W.S. Cassels, "Global fields", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich| (eds), Algebraic number theory, en:Academic Press, 1973. Chap.II, pp. 45–84.
• J.W.S. Cassels, "Local fields", Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-31525-5. P.56.
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Vol. 322. Translated by Schappacher, Norbert. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields, Graduate Texts in Mathematics, 67, New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90424-7,  
• Serre, Jean-Pierre (1967), «VI. Local class field theory», στο: Cassels, J.W.S.; Fröhlich, A., επιμ., Algebraic number theory. Proceedings of an instructional conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the support of the International Mathematical Union, London: Academic Press, σελ. 128–161,  
• Serre, Jean-Pierre (29 June 2013), Local Fields, Springer Science & Business Media, https://books.google.com/books?id=3LAJCAAAQBAJ ISBN 978-1-4757-5673-9

• Mazur, Barry; Wiles, Andrew (1984), «Class fields of abelian extensions of Q», Inventiones Mathematicae 76 (2): 179–330, doi:10.1007/BF01388599, ISSN 0020-9910,  
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Second έκδοση), Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4,  
• Rubin, Karl (1991), «The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields», Inventiones Mathematicae 103 (1): 25–68, doi:10.1007/BF01239508, ISSN 0020-9910,  
• Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), The Iwasawa main conjectures for GL₂, σελ. 219, http://www.math.columbia.edu/%7Eurban/eurp/MC.pdf 
• Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, https://books.google.com/books?isbn=0-387-94762-0 
• Wiles, Andrew (1990), «The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields», Annals of Mathematics 131 (3): 493–540, doi:10.2307/1971468,  
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory. Universitext (Second έκδοση). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. MR 1645586. 
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. MR 1405612. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (στα German). Berlin: Springer. . English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. 1949.  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
• Pop, Florian (2001). «(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic» (PDF). 

Πηγές

• Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.