Ολοκληρώματα του Γουάλις

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στην ανάλυση, τα ολοκληρώματα του Γουάλις αποτελούν μια οικογένεια ολοκληρωμάτων που εισήγαγε ο Τζον Γουάλις.

Ορισμός, βασικές ιδιότητες

Ο Τζον Γουόλις, από τον Γκοντφρέι Κνέλερ.

Τα ολοκληρώματα του Γουάλις είναι οι όροι της ακολουθίας $(W_{n})_{n\geq 0}$ που ορίζεται από τη σχέση

$W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx,$

ή ισοδύναμα,

$W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx.$

Οι πρώτοι όροι αυτής της ακολουθίας είναι:

$W_{0}$	$W_{1}$	$W_{2}$	$W_{3}$	$W_{4}$	$W_{5}$	$W_{6}$	$W_{7}$	$W_{8}$	...	$W_{n}$
${\frac {\pi }{2}}$	$1$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {2}{3}}$	${\frac {3\pi }{16}}$	${\frac {8}{15}}$	${\frac {5\pi }{32}}$	${\frac {16}{35}}$	${\frac {35\pi }{256}}$	...	${\frac {n-1}{n}}W_{n-2}$

Η ακολουθία $(W_{n})$ είναι φθίνουσα και έχει θετικούς όρους. Στην πραγματικότητα, για όλα τα $n\geq 0:$

• $W_{n}>0,$ επειδή είναι ένα ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής συνεχούς συνάρτησης που δεν είναι πανομοιότυπα μηδέν,

• $W_{n}-W_{n+1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n+1}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin ^{n}x)(1-\sin x)\,dx>0,$ και πάλι επειδή το τελευταίο ολοκλήρωμα είναι μια μη αρνητική συνεχής συνάρτηση.

Δεδομένου ότι η ακολουθία $(W_{n})$ είναι φθίνουσα και περιορίζεται κάτω από το 0, συγκλίνει σε ένα μη αρνητικό όριο. Πράγματι, το όριο είναι μηδέν (βλέπε παρακάτω).

Σχέση επανάληψης

Μέσω της ολοκλήρωσης κατά μέρη, μπορεί να προκύψει ένας τύπος αναγωγής. Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα

$\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$, έχουμε για όλα τα $n\geq 2$,

${\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin ^{n-2}x)(1-\cos ^{2}x)\,dx\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x\,dx.\qquad {\text{Equation (1)}}\end{aligned}}$

Ολοκληρώνοντας το δεύτερο ολοκλήρωμα κατά μέρη, με:

• $v'(x)=\cos(x)\sin ^{n-2}(x)$, του οποίου η αντιπαράγωγος είνα $v(x)={\frac {1}{n-1}}\sin ^{n-1}(x)$

• $u(x)=\cos(x)$, του οποίου η παράγωγος είναι $u'(x)=-\sin(x),$

έχουμε

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x\,dx=\left[{\frac {\sin ^{n-1}x}{n-1}}\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{n-1}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-1}x\sin x\,dx=0+{\frac {1}{n-1}}W_{n}.$

Αντικαθιστώντας αυτό το αποτέλεσμα στην εξίσωση (1) προκύπτει

$W_{n}=W_{n-2}-{\frac {1}{n-1}}W_{n},$

και ως εκ τούτου

$W_{n}={\frac {n-1}{n}}W_{n-2},\qquad {\text{Equation (2)}}$

για όλα τα $n\geq 2.$

Πρόκειται για μια αναδρομική σχέση που δίνει το $W_{n}$ ως προς το $W_{n-2}$. Αυτό, μαζί με τις τιμές των $W_{0}$ και $W_{1},$ μας δίνουν δύο σύνολα τύπων για τους όρους της ακολουθίας $(W_{n})$, ανάλογα με το αν το $n$ είναι μονό ή ζυγό:

• $W_{2p}={\frac {2p-1}{2p}}\cdot {\frac {2p-3}{2p-2}}\cdots {\frac {1}{2}}W_{0}={\frac {(2p-1)!!}{(2p)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}},$

• $W_{2p+1}={\frac {2p}{2p+1}}\cdot {\frac {2p-2}{2p-1}}\cdots {\frac {2}{3}}W_{1}={\frac {(2p)!!}{(2p+1)!!}}={\frac {2^{2p}(p!)^{2}}{(2p+1)!}}.$

Μια άλλη σχέση για την αξιολόγηση των ολοκληρωμάτων του Γουόλις

Τα ολοκληρώματα του Γουάλις μπορούν να αξιολογηθούν με τη χρήση ολοκληρωμάτων Όιλερ:

1. Το ολοκλήρωμα Όιλερ πρώτου είδους: η συνάρτηση βήτα:

   $\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$ για Re(x), Re(y) > 0

2. Ολοκλήρωμα Όιλερ του δεύτερου είδους: η συνάρτηση Γάμμα:

   $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt$ για Re(z) > 0.

Αν κάνουμε την ακόλουθη αντικατάσταση μέσα στη συνάρτηση βήτα: $\quad \left\{{\begin{matrix}t=\sin ^{2}u\\1-t=\cos ^{2}u\\dt=2\sin u\cos udu\end{matrix}}\right.,$
παίρνουμε:

$\mathrm {B} (a,b)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}u\cos ^{2b-1}u\,du,$

έτσι αυτό μας δίνει την ακόλουθη σχέση για την αξιολόγηση των ολοκληρωμάτων Γουόλις:

$W_{n}={\frac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right)\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)}{2\,\Gamma \left({\tfrac {n}{2}}+1\right)}}.$

Έτσι, για περιττά $n$, γράφοντας $n=2p+1$, έχουμε:

$W_{2p+1}={\frac {\Gamma \left(p+1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{2\,\Gamma \left(p+1+{\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {p!\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{(2p+1)\,\Gamma \left(p+{\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {2^{p}\;p!}{(2p+1)!!}}={\frac {2^{2\,p}\;(p!)^{2}}{(2p+1)!}},$

ενώ για άρτιο $n$, γράφοντας $n=2p$ και γνωρίζοντας ότι $\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$, έχουμε :

$W_{2p}={\frac {\Gamma \left(p+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{2\,\Gamma \left(p+1\right)}}={\frac {(2p-1)!!\;\pi }{2^{p+1}\;p!}}={\frac {(2p)!}{2^{2\,p}\;(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}.$

Ισοδυναμία

• Από τον παραπάνω τύπο αναδρομής $\mathbf {(2)}$, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι

$\ W_{n+1}\sim W_{n}$ (ισοδυναμία δύο ακολουθιών).

Πράγματι, για όλα τα $n\in \,\mathbb {N}$ :

$\ W_{n+2}\leqslant W_{n+1}\leqslant W_{n}$ (αφού η ακολουθία είναι φθίνουσα)

${\frac {W_{n+2}}{W_{n}}}\leqslant {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\leqslant 1$ (από το $\ W_{n}>0$)

${\frac {n+1}{n+2}}\leqslant {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\leqslant 1$ (με την εξίσωση $\mathbf {(2)}$).

Από το Κριτήριο παρεμβολής, συμπεραίνουμε ότι ${\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\to 1$, και επομένως $\ W_{n+1}\sim W_{n}$.

• Εξετάζοντας το $W_{n}W_{n+1}$, προκύπτει η ακόλουθη ισοδυναμία:

$W_{n}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2\,n}}}\quad$ (και κατά συνέπεια $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt {n}}\,W_{n}={\sqrt {\pi /2}}$ ).

Απόδειξη

Για όλα τα $n\in \,\mathbb {N}$, έστω $u_{n}=(n+1)\,W_{n}\,W_{n+1}$.

Αποδεικνύεται ότι, $\forall n\in \mathbb {N} ,\,u_{n+1}=u_{n}$ λόγω της εξίσωσης $\mathbf {(2)}$. Με άλλα λόγια $\ (u_{n})$ είναι μια σταθερά.

Προκύπτει ότι για όλα τα $n\in \,\mathbb {N}$, $u_{n}=u_{0}=W_{0}\,W_{1}={\frac {\pi }{2}}$.

Τώρα, αφού $\ n+1\sim n$ and $\ W_{n+1}\sim W_{n}$, έχουμε, σύμφωνα με τους κανόνες του γινομένου των ισοδυνάμων, $\ u_{n}\sim n\,W_{n}^{2}$.

Κατά συνέπεια, $\ n\,W_{n}^{2}\sim {\frac {\pi }{2}}$, από το οποίο προκύπτει το επιθυμητό αποτέλεσμα (επισημαίνοντας ότι $\ W_{n}>0$).

Εξαγωγή του τύπου του Στίρλινγκ

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την ακόλουθη ισοδυναμία (γνωστή ως τύπος Στίρλινγκ):

$n!\sim C{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},$

για κάποια σταθερά $C$ που θέλουμε να προσδιορίσουμε. Από τα παραπάνω, έχουμε

$W_{2p}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{4p}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {p}}}}$ (equation (3))

Αναπτύσσοντας το $W_{2p}$ και χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο για τα παραγοντικά, έχουμε

${\begin{aligned}W_{2p}&={\frac {(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\\&\sim {\frac {C\left({\frac {2p}{e}}\right)^{2p}{\sqrt {2p}}}{2^{2p}C^{2}\left({\frac {p}{e}}\right)^{2p}\left({\sqrt {p}}\right)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\\&={\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}.{\text{ (equation (4))}}\end{aligned}}$

Από τα (3) και (4), προκύπτει από τη μεταβατικότητα:

${\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}\sim {\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {p}}}}.$

Λύνοντας για το $C$ προκύπτει $C={\sqrt {2\pi }}.$ Με άλλα λόγια,

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Αφαίρεση του διπλού παραγοντικού λόγου

Ομοίως, από τα παραπάνω, έχουμε:

Αντίστοιχα, από τα παραπάνω, έχουμε:

$W_{2p}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{4p}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{p}}}.$

Αναπτύσσοντας το $W_{2p}$ και χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο για τα διπλά παραγοντικά, παίρνουμε:

$W_{2p}={\frac {(2p-1)!!}{(2p)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\sim {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{p}}}.$

Απλοποιώντας, προκύπτει:

${\frac {(2p-1)!!}{(2p)!!}}\sim {\frac {1}{\sqrt {\pi \,p}}},$

ή

${\frac {(2p)!!}{(2p-1)!!}}\sim {\sqrt {\pi \,p}}.$

Εκτίμηση του ολοκληρώματος Γκάους

Το Γκαουσιανό ολοκλήρωμα μπορεί να εκτιμηθεί μέσω της χρήσης των ολοκληρωμάτων του Γουάλις.

Αποδεικνύουμε πρώτα τις ακόλουθες ανισότητες:

• $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall u\in \mathbb {R} _{+}\quad u\leqslant n\quad \Rightarrow \quad (1-u/n)^{n}\leqslant e^{-u}$
• $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall u\in \mathbb {R} _{+}\qquad e^{-u}\leqslant (1+u/n)^{-n}$

Στην πραγματικότητα, αφήνοντας $u/n=t$, η πρώτη ανισότητα (στην οποία $t\in [0,1]$) είναι ισοδύναμη με $1-t\leqslant e^{-t}$, ενώ η δεύτερη ανισότητα ανάγεται στη σχέση $e^{-t}\leqslant (1+t)^{-1}$,

η οποία γίνεται $e^{t}\geqslant 1+t$. Αυτές οι 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτουν από την κυρτότητα της εκθετικής συνάρτησης (ή από την ανάλυση της συνάρτησης $t\mapsto e^{t}-1-t$).

Αφήνοντας $u=x^{2}$ και κάνοντας χρήση των βασικών ιδιοτήτων των ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (η σύγκλιση των ολοκληρωμάτων είναι προφανής), λαμβάνουμε τις ανισότητες:

$\int _{0}^{\sqrt {n}}(1-x^{2}/n)^{n}dx\leqslant \int _{0}^{\sqrt {n}}e^{-x^{2}}dx\leqslant \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\leqslant \int _{0}^{+\infty }(1+x^{2}/n)^{-n}dx$ για χρήση με το κριτήριο παρεμβολής (ως $n\to \infty$).

Το πρώτο και το τελευταίο ολοκλήρωμα μπορούν να αξιολογηθούν εύκολα χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα του Γουάλις. Για το πρώτο, έστω $x={\sqrt {n}}\,\sin \,t$ (t που κυμαίνεται από 0 έως $\pi /2$). Τότε, το ολοκλήρωμα γίνεται ${\sqrt {n}}\,W_{2n+1}$. Για το τελευταίο ολοκλήρωμα, έστω $x={\sqrt {n}}\,\tan \,t$ (το t κυμαίνεται από $0$ to $\pi /2$). Τότε, γίνεται ${\sqrt {n}}\,W_{2n-2}$.

Όπως έχουμε δείξει προηγουμένως, $\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {n}}\;W_{n}={\sqrt {\pi /2}}$. Έτσι, προκύπτει ότι $\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}/2$

Παρατήρηση: Υπάρχουν και άλλες μέθοδοι για την αξιολόγηση του γκαουσιανού ολοκληρώματος. Ορισμένες από αυτές είναι πιο άμεσες.

Σημείωση

Οι ίδιες ιδιότητες οδηγούν στο γινόμενο Γουάλις, το οποίο εκφράζει ${\frac {\pi }{2}}\,$ (βλ. $\pi$) με τη μορφή ενός άπειρου γινομένου.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολυώνυμο
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Boros, George· Moll, Victor (21 Ιουνίου 2004). Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79636-1. 
• Nahin, Paul J. (27 Ιουνίου 2020). Inside Interesting Integrals: A Collection of Sneaky Tricks, Sly Substitutions, and Numerous Other Stupendously Clever, Awesomely Wicked, and Devilishly Seductive Maneuvers for Computing Hundreds of Perplexing Definite Integrals From Physics, Engineering, and Mathematics (Plus Numerous Challenge Problems with Complete, Detailed Solutions). Springer Nature. ISBN 978-3-030-43788-6. 
• Boyadzhiev, Khristo N. (10 Δεκεμβρίου 2021). Special Techniques For Solving Integrals: Examples And Problems. World Scientific. ISBN 978-981-12-3577-1. 
• Lerner, Nicolas (9 Ιουλίου 2014). A Course on Integration Theory: including more than 150 exercises with detailed answers. Springer. ISBN 978-3-0348-0694-7. 
• Moll, Victor H. (12 Νοεμβρίου 2014). Special Integrals of Gradshteyn and Ryzhik: the Proofs - Volume I. CRC Press. ISBN 978-1-4822-5652-9. 
• Makarov, Boris· Podkorytov, Anatolii (14 Ιουνίου 2013). Real Analysis: Measures, Integrals and Applications. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-5122-7. 
• Cochard, Gerard-Michel· Hifi, Mhand (16 Ιανουαρίου 2025). Mathematics for Digital Science, Volume 1: Fundamentals. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-394-35204-3. 
• Vălean, Cornel Ioan (10 Μαΐου 2019). (Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series. Springer. ISBN 978-3-030-02462-8. 
• Hamming, Richard W. (28 Ιουνίου 2012). Methods of Mathematics Applied to Calculus, Probability, and Statistics. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13887-9. 
• Capderou, Michel (23 Απριλίου 2014). Handbook of Satellite Orbits: From Kepler to GPS. Springer Science & Business. ISBN 978-3-319-03416-4. 

Παραπομπές

• Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2016), Calculus: Early Transcendentals (11th έκδοση), John Wiley & Sons, ISBN 978-1-118-88382-2 
• Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd έκδοση), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1, https://archive.org/details/calculus01apos 
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-41129-1 . In particular chapters III and IV.
• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics: An Introduction (7th έκδοση), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6 
• Cajori, Florian (1929), A History Of Mathematical Notations Volume II, Open Court Publishing, ISBN 978-0-486-67766-8, https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/247 
• Dahlquist, Germund; Björck, Åke (2008), «Chapter 5: Numerical Integration», Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I, Philadelphia: SIAM, http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html 
• Feller, William (1966), An introduction to probability theory and its applications, John Wiley & Sons, https://archive.org/details/introductiontopr02fell_0 
• Sharma, R. R.; Zohuri, Bahman (1977). «A general method for an accurate evaluation of exponential integrals E₁(x), x>0». J. Comput. Phys. 25 (2): 199–204. doi:10.1016/0021-9991(77)90022-5. Bibcode: 1977JCoPh..25..199S. 
• Kölbig, K. S. (1983). «On the integral exp(−μt)t^ν−1log^mt dt». Math. Comput. 41 (163): 171–182. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0701632-1. 
• Milgram, M. S. (1985). «The generalized integro-exponential function». Mathematics of Computation 44 (170): 443–458. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4. . 
• Misra, Rama Dhar; Born, M. (1940). «On the Stability of Crystal Lattices. II». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (2): 173. doi:10.1017/S030500410001714X. Bibcode: 1940PCPS...36..173M. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1988). «On the evaluation of generalized exponential integrals E_ν(x)». J. Comput. Phys. 78 (2): 278–287. doi:10.1016/0021-9991(88)90050-2. Bibcode: 1988JCoPh..78..278C. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1990). «Recent results for generalized exponential integrals». Computer Math. Applic. 19 (5): 21–29. doi:10.1016/0898-1221(90)90098-5. https://www.openaccessrepository.it/record/135675. 
• MacLeod, Allan J. (2002). «The efficient computation of some generalised exponential integrals». J. Comput. Appl. Math. 148 (2): 363–374. doi:10.1016/S0377-0427(02)00556-3. Bibcode: 2002JCoAM.148..363M. 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0