Ολοκλήρωμα του Ντουχάμελ

Στη θεωρία της ταλάντωσης, το ολοκλήρωμα του Ντουχάμελ είναι ένας τρόπος υπολογισμού της απόκρισης γραμμικών συστημάτων και δομών σε αυθαίρετες χρονικά μεταβαλλόμενες εξωτερικές διαταραχές.

Εισαγωγή

Ιστορικό

Η απόκριση ενός γραμμικού, ιξωδώς αποσβεσμένου συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας (SDOF) σε μια χρονικά μεταβαλλόμενη μηχανική διέγερση p(t) δίνεται από την ακόλουθη συνήθη διαφορική εξίσωση δεύτερης βαθμού

$m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+c{\frac {dx(t)}{dt}}+kx(t)=p(t)$

όπου m είναι η (ισοδύναμη) μάζα, x συμβολίζει το πλάτος της ταλάντωσης, t τον χρόνο, c τον συντελεστή ιξώδους απόσβεσης και k τη δυσκαμψία του συστήματος ή της δομής.

Αν ένα σύστημα αρχικά βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του, από όπου ασκείται πάνω του μια μοναδιαία ώθηση τη στιγμή t=0, δηλαδή p(t) στην παραπάνω εξίσωση είναι μια συνάρτηση δέλτα Ντιράκ δ(t), ${\textstyle x(0)=\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0}$, τότε επιλύοντας τη διαφορική εξίσωση μπορούμε να πάρουμε μια θεμελιώδη λύση (γνωστή ως συνάρτηση μοναδιαίας παλμικής απόκρισης)

$h(t)={\begin{cases}{\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}t}\sin \omega _{d}t,&t>0\\0,&t<0\end{cases}}$

όπου ${\textstyle \varsigma ={\frac {c}{2{\sqrt {km}}}}}$ ονομάζεται λόγος απόσβεσης του συστήματος, ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ είναι η φυσική γωνιακή συχνότητα του συστήματος χωρίς απόσβεση (όταν c=0) και ${\textstyle \omega _{d}=\omega _{n}{\sqrt {1-\varsigma ^{2}}}}$ είναι η γωνιακή συχνότητα όταν λαμβάνεται υπόψη το φαινόμενο της απόσβεσης (όταν $c\neq 0$). Εάν ο παλμός συμβαίνει στο t=τ αντί για t=0, δηλαδή$p(t)=\delta (t-\tau )$, η κρουστική απόκριση είναι

$h(t-\tau )={\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]$，$t\geq \tau$

Συμπεράσματα

Θεωρώντας την αυθαίρετα μεταβαλλόμενη διέγερση p(t) ως υπέρθεση μιας σειράς παλμών:

$p(t)\approx \sum _{\tau <t}{p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot \delta }(t-\tau )$

τότε είναι γνωστό από τη γραμμικότητα του συστήματος ότι η συνολική απόκριση μπορεί επίσης να αναλυθεί στην υπέρθεση μιας σειράς παλμικών αποκρίσεων:

$x(t)\approx \sum _{\tau <t}{p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot h}(t-\tau )$

Αφήνοντας $\Delta \tau \to 0$, και αντικαθιστώντας την άθροιση με ολοκλήρωμα, η παραπάνω εξίσωση είναι αυστηρά έγκυρη

$x(t)=\int _{0}^{t}{p(\tau )h(t-\tau )d\tau }$

Η αντικατάσταση της έκφρασης του h(t-τ) στην παραπάνω εξίσωση οδηγεί στη γενική έκφραση του ολοκληρώματος του Ντουχάμελ

$x(t)={\frac {1}{m\omega _{d}}}\int _{0}^{t}{p(\tau )e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]d\tau }$

Μαθηματική απόδειξη

Η παραπάνω δυναμική εξίσωση ισορροπίας SDOF στην περίπτωση p(t)=0 είναι η ομογενής εξίσωση:

${\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)=0$, όπου ${\bar {c}}={\frac {c}{m}},{\bar {k}}={\frac {k}{m}}$

Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι:

$x_{h}(t)=C_{1}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}\left({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}}\right)t}+C_{2}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\left(-{\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}}\right)t}$

Η αντικατάσταση: $A={\frac {1}{2}}\left({\bar {c}}-{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}\right),\;B={\frac {1}{2}}\left({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}\right),\;P={\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}},\;P=B-A$ οδηγεί στο:

$x_{h}(t)=C_{1}e^{-B\cdot t}\;+\;C_{2}e^{-A\cdot t}$

Μία μερική λύση της μη ομοιογενούς εξίσωσης: ${\textstyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)={\bar {p}}(t)}$, όπου ${\textstyle {\bar {p}}(t)={\frac {p(t)}{m}}}$ θα μπορούσε να προκύψει με τη μέθοδο Λαγκράντζιαν για την εξαγωγή μερικής λύσης μη ομοιογενών συνήθων διαφορικών εξισώσεων.

Η λύση αυτή έχει τη μορφή:

$x_{p}(t)={\frac {\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}\cdot e^{-At}-\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}\cdot e^{-Bt}}{P}}$

Τώρα αντικαθιστώντας:${\textstyle \left.\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}\right|_{t=z}=Q_{z},\left.\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}\right|_{t=z}=R_{z}}$,όπου ${\textstyle \left.\int x(t)dt\right|_{t=z}}$ είναι η παράγουσα του x(t) που υπολογίζεται στο t=z, στην περίπτωση z=t αυτό το ολοκλήρωμα είναι η ίδια η παράγουσα, δίνει :

$x_{p}(t)={\frac {Q_{t}\cdot e^{-At}-R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}$

Τέλος, η γενική λύση της παραπάνω μη ομοιογενούς εξίσωσης παριστάνεται ως εξής:

$x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=C_{1}\cdot e^{-Bt}+C_{2}\cdot e^{-At}+{\frac {Q_{t}\cdot e^{-At}-R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}$

με χρονική παράγωγο:

${\frac {dx}{dt}}=-Ae^{-At}\cdot C_{2}-Be^{-Bt}\cdot C_{1}+{\frac {1}{P}}\left[{\dot {Q_{t}}}\cdot e^{-At}-AQ_{t}\cdot e^{-At}-{\dot {R_{t}}}\cdot e^{-Bt}+BR_{t}\cdot e^{-Bt}\right]$, where ${\dot {Q_{t}}}=p(t)\cdot e^{At},{\dot {R_{t}}}=p(t)\cdot e^{Bt}$

Για να βρεθούν οι άγνωστες σταθερές $C_{1},C_{2}$, θα εφαρμοστούν μηδενικές αρχικές συνθήκες:

$x(t)|_{t=0}=0:C_{1}+C_{2}+{\frac {Q_{0}\cdot 1-R_{0}\cdot 1}{P}}=0$ ⇒ $C_{1}+C_{2}={\frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}$

$\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0:-A\cdot C_{2}-B\cdot C_{1}+{\frac {1}{P}}\cdot [-A\cdot Q_{0}+B\cdot R_{0}]=0$ ⇒ $A\cdot C_{2}+B\cdot C_{1}={\frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]$

Τώρα συνδυάζοντας και τις δύο αρχικές συνθήκες μαζί, παρατηρείται το επόμενο σύστημα εξισώσεων:

$\left.{\begin{alignedat}{5}C_{1}&&\;+&&\;C_{2}&&\;=&&\;{\frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}&\\B\cdot C_{1}&&\;+&&\;A\cdot C_{2}&&\;=&&\;{\frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]\end{alignedat}}\right|{\begin{alignedat}{5}C_{1}&&\;=&&\;{\frac {R_{0}}{P}}&\\C_{2}&&\;=&&\;-{\frac {Q_{0}}{P}}\end{alignedat}}$

Η αντίστροφη αντικατάσταση των σταθερών $C_{1}$ και $C_{2}$ στην παραπάνω έκφραση για x(t) δίνει:

$x(t)={\frac {Q_{t}-Q_{0}}{P}}\cdot e^{-A\cdot t}-{\frac {R_{t}-R_{0}}{P}}\cdot e^{-B\cdot t}$

Αντικαθιστώντας τα $Q_{t}-Q_{0}$ και $R_{t}-R_{0}$ (η διαφορά μεταξύ των αρχικών τιμών σε t=t και t=0) με ορισμένα ολοκληρώματα (με μια άλλη μεταβλητή τ) θα αποκαλύψουμε τη γενική λύση με μηδενικές αρχικές συνθήκες, δηλαδή:

$x(t)={\frac {1}{P}}\cdot \left[\int _{0}^{t}{{\bar {p}}(\tau )\cdot e^{A\tau }d\tau }\cdot e^{-At}-\int _{0}^{t}{{\bar {p}}(\tau )\cdot e^{B\tau }d\tau }\cdot e^{-Bt}\right]$

Τέλος, αντικαθιστώντας $c=2\xi \omega m,\;k=\omega ^{2}m$, Κατά συνέπεια ${\bar {c}}=2\xi \omega ,{\bar {k}}=\omega ^{2}$, όπου ξ<1 αποδίδει:

$P=2\omega _{D}i,\;A=\xi \omega -\omega _{D}i,\;B=\xi \omega +\omega _{D}i$, όπου $\omega _{D}=\omega \cdot {\sqrt {1-\xi ^{2}}}$ και i είναι η φανταστική μονάδα.

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην παραπάνω γενική λύση με μηδενικές αρχικές συνθήκες και χρησιμοποιώντας τον εκθετικό τύπο του Όιλερ, θα ακυρώσουμε τους φανταστικούς όρους και θα αποκαλύψουμε τη λύση του Ντουχάμελ:

$x(t)={\frac {1}{\omega _{D}}}\int _{0}^{t}{{\bar {p}}(\tau )e^{-\xi \omega (t-\tau )}\sin(\omega _{D}(t-\tau ))d\tau }$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Humar, J. (1 Ιανουαρίου 2002). Dynamics of Structures: Second Edition. CRC Press. ISBN 978-90-5809-245-8. 
• Genta, Giancarlo (17 Δεκεμβρίου 2008). Vibration Dynamics and Control. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-79579-9. 
• Humar, J. (2 Μαρτίου 2012). Dynamics of Structures, Third Edition. CRC Press. ISBN 978-0-415-62086-4. 
• Wang, Chien Ming· Liu, Gui-rong (5 Δεκεμβρίου 2002). Structural Stability And Dynamics, Volume 1 (With Cd-rom) - Proceedings Of The Second International Conference. World Scientific. ISBN 978-981-4486-82-8. 
• Lalanne, Christi (29 Μαρτίου 2002). Sinusoidal Vibration. CRC Press. ISBN 978-1-56032-985-5. 
• Jiji, Latif M. (9 Ιουλίου 2009). Heat Conduction. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-01267-9. 
• McCormick, Barnes W. (28 Σεπτεμβρίου 1994). Aerodynamics, Aeronautics, and Flight Mechanics. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-57506-1. 
• Kabe, Alvar M.· Sako, Brian H. (28 Ιουνίου 2020). Structural Dynamics Fundamentals and Advanced Applications, Volume I: Volume I. Academic Press. ISBN 978-0-12-821620-0. 
• Prasad, Bharat Bhushan (2011). Advanced Soil Dynamics and Earthquake Engineering. PHI Learning Pvt. Ltd. ISBN 978-81-203-4039-8. 
• Irvine, H. M. (8 Οκτωβρίου 2018). Structural Dynamics for the Practising Engineer. CRC Press. ISBN 978-1-4822-6720-4. 

Παραπομπές

• Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2016), Calculus: Early Transcendentals (11th έκδοση), John Wiley & Sons, ISBN 978-1-118-88382-2 
• Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd έκδοση), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1, https://archive.org/details/calculus01apos 
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-41129-1 . In particular chapters III and IV.
• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics: An Introduction (7th έκδοση), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6 
• Cajori, Florian (1929), A History Of Mathematical Notations Volume II, Open Court Publishing, ISBN 978-0-486-67766-8, https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/247 
• Dahlquist, Germund; Björck, Åke (2008), «Chapter 5: Numerical Integration», Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I, Philadelphia: SIAM, http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html 
• Feller, William (1966), An introduction to probability theory and its applications, John Wiley & Sons, https://archive.org/details/introductiontopr02fell_0 
• Sharma, R. R.; Zohuri, Bahman (1977). «A general method for an accurate evaluation of exponential integrals E₁(x), x>0». J. Comput. Phys. 25 (2): 199–204. doi:10.1016/0021-9991(77)90022-5. Bibcode: 1977JCoPh..25..199S. 
• Kölbig, K. S. (1983). «On the integral exp(−μt)t^ν−1log^mt dt». Math. Comput. 41 (163): 171–182. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0701632-1. https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1983-07_41_163/page/n178. 
• Milgram, M. S. (1985). «The generalized integro-exponential function». Mathematics of Computation 44 (170): 443–458. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4. . https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1985-04_44_170/page/n164. 
• Misra, Rama Dhar; Born, M. (1940). «On the Stability of Crystal Lattices. II». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (2): 173. doi:10.1017/S030500410001714X. Bibcode: 1940PCPS...36..173M. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1988). «On the evaluation of generalized exponential integrals E_ν(x)». J. Comput. Phys. 78 (2): 278–287. doi:10.1016/0021-9991(88)90050-2. Bibcode: 1988JCoPh..78..278C. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1990). «Recent results for generalized exponential integrals». Computer Math. Applic. 19 (5): 21–29. doi:10.1016/0898-1221(90)90098-5. https://www.openaccessrepository.it/record/135675. 
• MacLeod, Allan J. (2002). «The efficient computation of some generalised exponential integrals». J. Comput. Appl. Math. 148 (2): 363–374. doi:10.1016/S0377-0427(02)00556-3. Bibcode: 2002JCoAM.148..363M. 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0