Ολοκλήρωμα του Μπόργουεν

Στα μαθηματικά, ένα ολοκλήρωμα του Μπόργουεν είναι ένα ολοκλήρωμα του οποίου οι ασυνήθιστες ιδιότητες παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά από τους μαθηματικούς Ντέιβιντ Μπόργουεν και Τζόναθαν Μπόργουεν το 2001. Τα ολοκληρώματα του Μπόργουεν περιλαμβάνουν τα γινόμενα της $\operatorname {sinc} (ax)$, όπου η συνάρτηση sinc δίνεται από τη σχέση $\operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x$ για $\operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x$ για $x$ που δεν είναι ίσο με 0, και $\operatorname {sinc} (0)=1$.

Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτά τα ολοκληρώματα παρουσιάζουν φαινομενικά μοτίβα που τελικά καταρρέουν. Το ακόλουθο παράδειγμα είναι το εξής.

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

Αυτό το μοτίβο συνεχίζεται μέχρι

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

Στο επόμενο βήμα το μοτίβο αποτυγχάνει,

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}$

Γενικά, παρόμοια ολοκληρώματα έχουν τιμή π/2 όποτε οι αριθμοί 3, 5, 7... αντικαθίστανται από θετικούς πραγματικούς αριθμούς, έτσι ώστε το άθροισμα των αντίστροφων τους να είναι μικρότερο από 1.

Στο παραπάνω παράδειγμα, 1/3 + 1/5 + ... + 1/13 < 1, αλλά 1/3 + 1/5 + ... + 1/15 > 1.

Με τη συμπερίληψη του πρόσθετου παράγοντα $2\cos(x)$, το μοτίβο διατηρείται για μια μεγαλύτερη σειρά,

$\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},$

αλλά

$\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx\approx {\frac {\pi }{2}}-2.3324\times 10^{-138}.$

Σε αυτή την περίπτωση, 1/3 + 1/5 + ... + 1/111 < 2, αλλά 1/3 + 1/5 + ... + 1/113 > 2. Η ακριβής απάντηση μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο που παρέχεται στην επόμενη ενότητα και μια αναπαράστασή του φαίνεται παρακάτω. Πλήρως αναπτυγμένη, η τιμή αυτή μετατρέπεται σε κλάσμα που περιλαμβάνει δύο ακέραιους αριθμούς με 2736 ψηφία.

${\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {3\cdot 5\cdots 113\cdot (1/3+1/5+\dots +1/113-2)^{56}}{2^{55}\cdot 56!}}\right)$

Ο λόγος για τον οποίο η αρχική και η εκτεταμένη σειρά καταρρέουν έχει αποδειχθεί με μια διαισθητική μαθηματική εξήγηση. Ειδικότερα, μια αναδιατύπωση του τυχαίου περιπάτου με ένα επιχείρημα αιτιότητας ρίχνει φως στο σπάσιμο του προτύπου και ανοίγει το δρόμο για μια σειρά γενικεύσεων.

Γενικός τύπος

Δίνεται μια ακολουθία μη μηδενικών πραγματικών αριθμών, $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$, ένας γενικός τύπος για το ολοκλήρωμα

$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx$

μπορεί να δοθεί. Για να διατυπώσουμε τον τύπο, θα πρέπει να εξετάσουμε αθροίσματα που περιλαμβάνουν το $a_{k}$. Συγκεκριμένα, αν $\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}$ είναι ένα $n$-σύνολο όπου κάθε εγγραφή είναι $\pm 1$, τότε γράφουμε $b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}$, το οποίο είναι ένα είδος εναλλασσόμενου αθροίσματος των πρώτων $a_{k}$, και θέτουμε $\varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}$, το οποίο είναι είτε $\pm 1$. Με αυτόν τον συμβολισμό, η τιμή για το παραπάνω ολοκλήρωμα είναι

$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}$

όπου

$C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })$

Στην περίπτωση που $a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$, έχουμε $C_{n}=1$.

Επιπλέον, αν υπάρχει ένα $n$ τέτοιο ώστε για κάθε $k=0,\ldots ,n-1$ έχουμε $0<a_{n}<2a_{k}$ και $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$, που σημαίνει ότι $n$ είναι η πρώτη τιμή όταν το μερικό άθροισμα των πρώτων $n$ στοιχείων της ακολουθίας υπερβαίνει το $a_{0}$, τότε $C_{k}=1$ για κάθε $k=0,\ldots ,n-1$ αλλά

$C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}$

Ας σημειωθεί ότι αν $n=7$ τότε $a_{7}={\frac {1}{15}}$ and ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955$ αλλά ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02$, οπότε επειδή $a_{0}=1$, έχουμε ότι

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

το οποίο παραμένει αληθινό αν αφαιρέσουμε οποιοδήποτε από τα προϊόντα, αλλά ότι

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right),\end{aligned}}$

η οποία είναι ίση με την τιμή που δόθηκε προηγουμένως.

/* Αυτό είναι ένα δείγμα προγράμματος για επίδειξη στο σύστημα άλγεβρας υπολογιστών "maxima". */
f(n) := if n=1 then sin(x)/x else f(n-2) * (sin(x/n)/(x/n));
for n from 1 thru 15 step 2 do (
  print("f(", n, ")=", f(n) ),
  print("integral of f for n=", n, " is ", integrate(f(n), x, 0, inf)) );

/* Αυτό είναι επίσης δείγμα προγράμματος ενός άλλου προβλήματος. */
f(n) := if n=1 then sin(x)/x else f(n-2) * (sin(x/n)/(x/n)); g(n) := 2*cos(x) * f(n);
for n from 1 thru 19 step 2 do (
  print("g(", n, ")=", g(n) ),
  print("integral of g for n=", n, " is ", integrate(g(n), x, 0, inf)) );

Μέθοδος επίλυσης ολοκληρωμάτων Μπόργουεν

Μια ακριβής μέθοδος ολοκλήρωσης που είναι αποτελεσματική για την αξιολόγηση ολοκληρωμάτων τύπου Μπόργουεν συζητείται εδώ. Αυτή η μέθοδος ολοκλήρωσης λειτουργεί με την αναδιατύπωση της ολοκλήρωσης ως προς μια σειρά διαφοροποιήσεων και δίνει μια διαίσθηση για την ασυνήθιστη συμπεριφορά των ολοκληρωμάτων Μπόργουεν. Η μέθοδος ολοκλήρωσης μέσω διαφοροποίησης εφαρμόζεται σε γενικά ολοκληρώματα, συμπεριλαμβανομένων των μετασχηματισμών Φουριέ και Λαπλάς. Χρησιμοποιείται στη μηχανή ολοκλήρωσης του Μαπλ από το 2019. Η μέθοδος Ολοκλήρωσης με Διαφοροποίηση είναι ανεξάρτητη από τη μέθοδο Φάινμαν, η οποία επίσης χρησιμοποιεί τη διαφοροποίηση για την ολοκλήρωση.

Άπειρα γινόμενα

Ενώ το ολοκλήρωμα

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\end{aligned}}$

γίνεται μικρότερη από ${\frac {\pi }{2}}$ όταν το $n$ ξεπερνά το 6, ποτέ δεν γίνεται πολύ μικρότερη, και στην πραγματικότητα οι Μπόργουεν και Μπέιλι έχουν δείξει

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }\lim _{n\to \infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\\[5pt]&=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}}-0.0000352\end{aligned}}$

όπου μπορούμε να βγάλουμε το όριο από το ολοκλήρωμα χάρη στο θεώρημα της επικρατούσας σύγκλισης. Ομοίως, ενώ

$\int _{0}^{\infty }2\cos x\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx$

γίνεται μικρότερη από ${\frac {\pi }{2}}$ όταν το $n$ υπερβαίνει το 55, έχουμε

$\int _{0}^{\infty }2\cos x\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{2}}-2.9629\cdot 10^{-42}$

Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τις παραγοντοποιήσεις Βάιερστρας

${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\qquad \cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2}}}\right)$

μπορεί να δείξει κανείς

$\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(2x/(2n+1))}{2x/(2n+1)}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)$

και με αλλαγή των μεταβλητών προκύπτει

$\int _{0}^{\infty }\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2n+1))}{x/(2n+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{4}}-0.0000176$

και

$\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\cos(x)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2n+1))}{x/(2n+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{8}}-7.4073\cdot 10^{-43}$

Πιθανολογική διατύπωση

Ο Σμούλαντ έδωσε ελκυστικές πιθανολογικές διατυπώσεις των ολοκληρωμάτων Μπόργουεν με άπειρο γινόμενο. Παραδείγματος χάριν, ας θεωρήσουμε την τυχαία αρμονική σειρά

$\pm 1\pm {\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{3}}\pm {\frac {1}{4}}\pm {\frac {1}{5}}\pm \cdots$

όπου κάποιος ρίχνει ανεξάρτητα δίκαια νομίσματα για να επιλέξει τα σύμβολα. Αυτή η σειρά συγκλίνει σχεδόν σίγουρα, δηλαδή με πιθανότητα 1. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του αποτελέσματος είναι μια καλά ορισμένη συνάρτηση και η τιμή αυτής της συνάρτησης στο 2 είναι κοντά στο 1/8. Ωστόσο, είναι πιο κοντά στην

$0.124999999999999999999999999999999999999999764\ldots$

Η εξήγηση του Σμούλαντ είναι ότι η ποσότητα αυτή είναι $1/\pi$ επί

$\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx\approx {\frac {\pi }{8}}-7.4073\cdot 10^{-43}$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών Αρχειοθετήθηκε 2025-06-01 στο Wayback Machine.
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Rathgeber, Carsten (7 Αυγούστου 2024). Mathematik: (Grundlagen) für die (moderne) Welt. BoD – Books on Demand. ISBN 978-3-7597-3161-6. 
• Monaghan, John· Trouche, Luc (18 Απριλίου 2016). Tools and Mathematics. Springer. ISBN 978-3-319-02396-0. 
• Pearcy, Daniel (8 Μαΐου 2020). Mathematical Beauty: What Is Mathematical Beauty And Can Anyone Experience It?. Hachette Learning. ISBN 978-1-915361-92-9. 
• Hanna, Gila· Villiers, Michael de (14 Ιουνίου 2012). Proof and Proving in Mathematics Education: The 19th ICMI Study. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-007-2129-6. 
• Moll, Victor H. (12 Νοεμβρίου 2014). Special Integrals of Gradshteyn and Ryzhik: the Proofs - Volume I. CRC Press. ISBN 978-1-4822-5652-9. 
• Abikoff, William· Birman, Joan S. (1994). The Mathematical Legacy of Wilhelm Magnus: Groups, Geometry and Special Functions: Groups, Geometry, and Special Functions : Conference on the Legacy of Wilhelm Magnus, May 1-3, 1992, Polytechnic University, Brooklyn, New York. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-5156-2. 
• Schneider, Carsten· Blümlein, Johannes (5 Οκτωβρίου 2013). Computer Algebra in Quantum Field Theory: Integration, Summation and Special Functions. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7091-1616-6. 
• Kabe, Alvar M.· Sako, Brian H. (28 Ιουνίου 2020). Structural Dynamics Fundamentals and Advanced Applications, Volume I: Volume I. Academic Press. ISBN 978-0-12-821620-0. 
• Goodman, Jacob E.· Pach, János (2 Μαρτίου 2009). Twentieth Anniversary Volume: Discrete & Computational Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-87363-3. 
• Prasad, Bharat Bhushan (2011). Advanced Soil Dynamics and Earthquake Engineering. PHI Learning Pvt. Ltd. ISBN 978-81-203-4039-8. 

Παραπομπές

• Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2016), Calculus: Early Transcendentals (11th έκδοση), John Wiley & Sons, ISBN 978-1-118-88382-2 
• Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd έκδοση), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1, https://archive.org/details/calculus01apos 
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-41129-1 . In particular chapters III and IV.
• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics: An Introduction (7th έκδοση), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6 
• Cajori, Florian (1929), A History Of Mathematical Notations Volume II, Open Court Publishing, ISBN 978-0-486-67766-8, https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/247 
• Dahlquist, Germund; Björck, Åke (2008), «Chapter 5: Numerical Integration», Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I, Philadelphia: SIAM, http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html 
• Feller, William (1966), An introduction to probability theory and its applications, John Wiley & Sons, https://archive.org/details/introductiontopr02fell_0 
• Sharma, R. R.; Zohuri, Bahman (1977). «A general method for an accurate evaluation of exponential integrals E₁(x), x>0». J. Comput. Phys. 25 (2): 199–204. doi:10.1016/0021-9991(77)90022-5. Bibcode: 1977JCoPh..25..199S. https://archive.org/details/journal-of-computational-physics_1977-10_25_2/page/199. 
• Kölbig, K. S. (1983). «On the integral exp(−μt)t^ν−1log^mt dt». Math. Comput. 41 (163): 171–182. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0701632-1. https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1983-07_41_163/page/170. 
• Milgram, M. S. (1985). «The generalized integro-exponential function». Mathematics of Computation 44 (170): 443–458. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4. . https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1985-04_44_170/page/442. 
• Misra, Rama Dhar; Born, M. (1940). «On the Stability of Crystal Lattices. II». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (2): 173. doi:10.1017/S030500410001714X. Bibcode: 1940PCPS...36..173M. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1988). «On the evaluation of generalized exponential integrals E_ν(x)». J. Comput. Phys. 78 (2): 278–287. doi:10.1016/0021-9991(88)90050-2. Bibcode: 1988JCoPh..78..278C. https://archive.org/details/journal-of-computational-physics_1988-10_78_2/page/278. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1990). «Recent results for generalized exponential integrals». Computer Math. Applic. 19 (5): 21–29. doi:10.1016/0898-1221(90)90098-5. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2024-12-11. https://web.archive.org/web/20241211053950/https://www.openaccessrepository.it/record/135675. Ανακτήθηκε στις 2025-03-21. 
• MacLeod, Allan J. (2002). «The efficient computation of some generalised exponential integrals». J. Comput. Appl. Math. 148 (2): 363–374. doi:10.1016/S0377-0427(02)00556-3. Bibcode: 2002JCoAM.148..363M. https://archive.org/details/sim_journal-of-computational-and-applied-mathematics_2002-11-15_148_2/page/362. 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0