Ολοκλήρωμα Φρέσνελ

Διαγράμματα των S(x) και C(x). Το μέγιστο του C(x) είναι περίπου 0.977451424. Εάν τα ολοκληρώματα των S και C ορίζονταν χρησιμοποιώντας π/2t² αντί για t², τότε η εικόνα θα κλιμακωνόταν κάθετα και οριζόντια (βλέπε παρακάτω).

Τα ολοκληρώματα Φρέσνελ S(x) και C(x) είναι δύο υπερβατικές συναρτήσεις που πήραν το όνομά τους από τον Αουγκουστέν-Ζαν Φρέσνελ και χρησιμοποιούνται στην οπτική ενώ σχετίζονται στενά με τη συνάρτηση σφάλματος (erf). Προκύπτουν κατά την περιγραφή των φαινομένων περίθλασης Φρέσνελ κοντινού πεδίου και ορίζονται μέσω των ακόλουθων ολοκληρωτικών παραστάσεων:

$S(x)=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt.$

Η παραμετρική καμπύλη ${\bigl (}S(t),C(t){\bigr )}$ είναι η σπείρα του Όιλερ ή το κλωθοειδές, μια καμπύλη της οποίας η καμπυλότητα μεταβάλλεται γραμμικά με το μήκος του τόξου.

Ο όρος ολοκλήρωμα Φρέσνελ μπορεί επίσης να αναφέρεται στο μιγαδικό ορισμένο ολοκλήρωμα

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{\pm iax^{2}}dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\pm i\pi /4}$

όπου a είναι πραγματικό και θετικό- αυτό μπορεί να εκτιμηθεί κλείνοντας ένα περίγραμμα στο μιγαδικό επίπεδο και εφαρμόζοντας το θεώρημα ολοκληρωμάτων του Κωσύ.

Ορισμός

Τα ολοκληρώματα Φρέσνελ με επιχειρήματα π/2t² αντί για t² συγκλίνουν στο 1/2 αντί για 1/2·√^π⁄₂.

Τα ολοκληρώματα Φρέσνελ δέχονται τα ακόλουθα αναπτύγματα δυναμοσειρών που συγκλίνουν για όλα τα x:

${\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.\end{aligned}}$

Ορισμένοι ευρέως χρησιμοποιούμενοι πίνακες χρησιμοποιούν π/2t² αντί για t² για το επιχείρημα των ολοκληρωμάτων που ορίζουν τα S(x) και C(x). Αυτό αλλάζει τα όριά τους στο άπειρο από 1/2-√π/2 σε 1/2·√π/21/2 και το μήκος τόξου για την πρώτη σπειροειδή στροφή από √2π σε 2 (at t = 2). Αυτές οι εναλλακτικές συναρτήσεις είναι συνήθως γνωστές ως κανονικοποιημένα ολοκληρώματα Φρέσνελ.

Σπείρα Όιλερ

Κύριο άρθρο: σπείρα Όιλερ

Σπείρα Όιλερ (x, y) = (C(t), S(t)). Η σπείρα συγκλίνει στο κέντρο των οπών της εικόνας καθώς t τείνει στο θετικό ή αρνητικό άπειρο.

Η σπείρα Όιλερ, επίσης γνωστή ως σπείρα Κορνού ή κλωθοειδής, είναι η καμπύλη που δημιουργείται από την παραμετρική γραφική παράσταση του S(t) έναντι του C(t). Η σπείρα Όιλερ μελετήθηκε για πρώτη φορά στα μέσα του 18ου αιώνα από τον Λέοναρντ Όιλερ στο πλαίσιο της θεωρίας δοκού Όιλερ-Μπερνούλι. Έναν αιώνα αργότερα, η Μαρί Άλφρεντ Κορνού κατασκεύασε την ίδια σπείρα ως νομόγραμμα για υπολογισμούς περίθλασης.

Από τους ορισμούς των ολοκληρωμάτων Φρέσνελ, τα απειροστά dx και dy είναι έτσι:

${\begin{aligned}dx&=C'(t)\,dt=\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\\dy&=S'(t)\,dt=\sin \left(t^{2}\right)\,dt.\end{aligned}}$

Έτσι, το μήκος της σπείρας που μετράται από την αρχή μπορεί να εκφραστεί ως εξής

$L=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t_{0}}dt=t_{0}.$

Δηλαδή, η παράμετρος t είναι το μήκος της καμπύλης μετρούμενο από την αρχή (0, 0) και η σπείρα Όιλερ έχει άπειρο μήκος. Το διάνυσμα (cos(t²), sin(t²)) όπου θ = t² εκφράζει επίσης το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα κατά μήκος της σπείρας. Εφόσον το t είναι το μήκος της καμπύλης, η καμπυλότητα κ μπορεί να εκφραστεί ως εξής

$\kappa ={\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dt}}=2t.$

Έτσι, ο ρυθμός μεταβολής της καμπυλότητας σε σχέση με το μήκος της καμπύλης είναι

${\frac {d\kappa }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=2.$

Μια σπείρα Όιλερ έχει την ιδιότητα ότι η καμπυλότητά της σε οποιοδήποτε σημείο είναι ανάλογη της απόστασης κατά μήκος της σπείρας, που μετριέται από την αρχή. Αυτή η ιδιότητα την καθιστά χρήσιμη ως καμπύλη μετάβασης στη μηχανική αυτοκινητοδρόμων και σιδηροδρόμων: αν ένα όχημα ακολουθεί τη σπείρα με μοναδιαία ταχύτητα, η παράμετρος t στις παραπάνω παραγώγους αντιπροσωπεύει επίσης τον χρόνο. Κατά συνέπεια, ένα όχημα που ακολουθεί τη σπείρα με σταθερή ταχύτητα θα έχει σταθερό ρυθμό γωνιακής επιτάχυνσης.

Τα τμήματα από τις σπείρες του Όιλερ ενσωματώνονται συνήθως στο σχήμα των βρόχων του οδοστρωτήρα για να δημιουργηθούν οι λεγόμενοι βρόχοι κλωθοειδούς μορφής.

Ιδιότητες

C(x) και S(x) είναι περιττές συναρτήσεις της x,

$C(-x)=-C(x),\quad S(-x)=-S(x).$

γεγονός που γίνεται εύκολα αντιληπτό από το ότι τα αναπτύγματα των δυναμοσειρών τους έχουν μόνο όρους περιττού βαθμού, ή εναλλακτικά επειδή είναι αντιπαράγωγα ζυγών συναρτήσεων που είναι επίσης μηδενικές στην αρχή.

Η ασυμπτωτική των ολοκληρωμάτων Φρέσνελ ως x → ∞ δίνεται από τους τύπους:

${\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x-\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{2x}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right),\\[6px]C(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x+\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{2x}}-{\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right).\end{aligned}}$

Μιγαδικό ολοκλήρωμα ΦρέσνελS(z)

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω αναπτύγματα δυναμοσειρών, τα ολοκληρώματα Φρέσνελ μπορούν να επεκταθούν στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών, όπου γίνονται πλήρεις συναρτήσεις της μιγαδικής μεταβλητής z.

Τα ολοκληρώματα Φρέσνελ μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση σφάλματος ως εξής:

Μιγαδικό ολοκλήρωμα Φρέσνελ C(z)

${\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}$

ή

${\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}$

Όρια καθώς το x πλησιάζει στο άπειρο

Τα ολοκληρώματα που ορίζουν τα C(x) και S(x) δεν μπορούν να αξιολογηθούν σε κλειστή μορφή ως προς τις στοιχειώδεις συναρτήσεις, εκτός από ειδικές περιπτώσεις. Τα όρια αυτών των συναρτήσεων καθώς η x πηγαίνει στο άπειρο είναι γνωστά:

$\int _{0}^{\infty }\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\approx 0.6267.$

Γενίκευση

Το ολοκλήρωμα

$\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=\int \sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}x^{m+nl}}{l!}}\,dx=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}}{(m+nl+1)}}{\frac {x^{m+nl+1}}{l!}}$

είναι μια συγκλίνουσα υπεργεωμετρική συνάρτηση και επίσης μια ατελής συνάρτηση γάμμα

${\begin{aligned}\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\\[6px]&={\frac {1}{n}}i^{\frac {m+1}{n}}\gamma \left({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}$

το οποίο ανάγεται σε ολοκληρώματα Φρέσνελ αν ληφθούν πραγματικά ή φανταστικά μέρη:

$\int x^{m}\sin(x^{n})\,dx={\frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}}\,_{1}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2}}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\right).$

Ο πρώτος όρος στο ασυμπτωτικό ανάπτυγμα είναι

$_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}x^{-m-1},$

και ως εκ τούτου

$\int _{0}^{\infty }x^{m}e^{ix^{n}}\,dx={\frac {1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}.$

Για m = 0, το φανταστικό μέρος αυτής της εξίσωσης ειδικότερα είναι

$\int _{0}^{\infty }\sin \left(x^{a}\right)\,dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{a}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2a}}\right),$

με την αριστερή πλευρά να συγκλίνει για a > 1 και τη δεξιά πλευρά να είναι η αναλυτική της επέκταση σε όλο το επίπεδο λιγότερο όπου βρίσκονται οι πόλοι της Γ(a^-1).

Ο μετασχηματισμός Κούμερ της συγκλίνουσας υπεργεωμετρικής συνάρτησης είναι

$\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n}},$

με

$V_{n,m}:={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}1\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid -ix^{n}\right).$

Αριθμητική προσέγγιση

Για υπολογισμό με αυθαίρετη ακρίβεια, η δυναμοσειρά είναι κατάλληλη για μικρό επιχείρημα. Για μεγάλο επιχείρημα, τα ασυμπτωτικά αναπτύγματα συγκλίνουν γρηγορότερα. Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι συνεχιζόμενων κλασμάτων.

Για τον υπολογισμό με συγκεκριμένη ακρίβεια στόχου, έχουν αναπτυχθεί άλλες προσεγγίσεις. Ο Cody ανέπτυξε ένα σύνολο αποτελεσματικών προσεγγίσεων που βασίζονται σε ορθολογικές συναρτήσεις και δίνουν σχετικά σφάλματα μέχρι 2×10⁻¹⁹. Μια FORTRAN υλοποίηση της προσέγγισης Cody που περιλαμβάνει τις τιμές των συντελεστών που απαιτούνται για την υλοποίηση σε άλλες γλώσσες δημοσιεύθηκε από τον van Snyder. Ο Μπόερσμα ανέπτυξε μια προσέγγιση με σφάλμα μικρότερο από 1.6×10⁻⁹.

Εφαρμογές

Τα ολοκληρώματα Φρέσνελ χρησιμοποιήθηκαν αρχικά για τον υπολογισμό της έντασης του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου σε ένα περιβάλλον όπου το φως κάμπτεται γύρω από αδιαφανή αντικείμενα. Πιο πρόσφατα, έχουν χρησιμοποιηθεί στο σχεδιασμό αυτοκινητοδρόμων και σιδηροδρόμων, συγκεκριμένα στις ζώνες μετάβασης της καμπυλότητας τους, βλ. καμπύλη μετάβασης τροχιάς. Άλλες εφαρμογές είναι το τρενάκι του λούνα παρκ ή ο υπολογισμός των μεταβάσεων σε μια πίστα ποδηλατοδρομίου ώστε να επιτρέπεται η γρήγορη είσοδος στις στροφές και η σταδιακή έξοδος.

Φωτοθήκη

• 
  Διάγραμμα της ολοκληρωτικής συνάρτησης Φρέσνελ S(z) στο μιγαδικό επίπεδο από -2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκε με τη συνάρτηση ComplexPlot3D του Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
• 
  Διάγραμμα της ολοκληρωτικής συνάρτησης C(z) του Φρέσνελ στο μιγαδικό επίπεδο από -2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκε με τη συνάρτηση ComplexPlot3D του Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
• 
  Διάγραμμα της βοηθητικής συνάρτησης Φρέσνελ G(z) στο μιγαδικό επίπεδο από -2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκε με τη συνάρτηση ComplexPlot3D του Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
• 
  Διάγραμμα της βοηθητικής συνάρτησης Φρέσνελ F(z) στο μιγαδικό επίπεδο από -2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκε με τη συνάρτηση ComplexPlot3D του Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολυώνυμο
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Albeverio, Sergio· Høegh-Krohn, Rafael (30 Μαΐου 2008). Mathematical Theory of Feynman Path Integrals: An Introduction. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-76954-5. 
• Albeverio, Sergio A.· Høegh-Krohn, Raphael J. (14 Νοεμβρίου 2006). Mathematical Theory of Feynman Path Integrals. Springer. ISBN 978-3-540-38250-8. 
• Siegman, A. E. (1986). Lasers. University Science Books. ISBN 978-0-935702-11-8. 
• Lebedev, Nikola? Nikolaevich· Silverman, Richard A. (1 Ιανουαρίου 1972). Special Functions and Their Applications. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-60624-8. 
• Temme, Nico M. (31 Οκτωβρίου 2014). Asymptotic Methods For Integrals. World Scientific. ISBN 978-981-4612-17-3. 
• Mazzucchi, Sonia (16 Νοεμβρίου 2021). Mathematical Feynman Path Integrals And Their Applications (Second Edition). World Scientific. ISBN 978-981-12-1480-6. 
• Moeller, Karl Dieter (8 Αυγούστου 2007). Optics: Learning by Computing, with Examples Using Maple, MathCad®, Matlab®, Mathematica®, and Maple®. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-26168-3. 
• Nahin, Paul J. (27 Ιουνίου 2020). Inside Interesting Integrals: A Collection of Sneaky Tricks, Sly Substitutions, and Numerous Other Stupendously Clever, Awesomely Wicked, and Devilishly Seductive Maneuvers for Computing Hundreds of Perplexing Definite Integrals From Physics, Engineering, and Mathematics (Plus Numerous Challenge Problems with Complete, Detailed Solutions). Springer Nature. ISBN 978-3-030-43788-6. 
• Fai, Lukong Cornelius (15 Απριλίου 2021). Feynman Path Integrals in Quantum Mechanics and Statistical Physics. CRC Press. ISBN 978-1-000-34904-7. 
• Mnev, Pavel (20 Αυγούστου 2019). Quantum Field Theory: Batalin–Vilkovisky Formalism and Its Applications. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5271-1. 

Παραπομπές

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 7". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Alazah, Mohammad (2012). «Computing Fresnel integrals via modified trapezium rules». Numerische Mathematik 128 (4): 635–661. doi:10.1007/s00211-014-0627-z. Bibcode: 2012arXiv1209.3451A. 
• Beatty, Thomas (2013). "How to evaluate Fresnel Integrals" (PDF). FGCU Math - Summer 2013. Retrieved 27 July 2013.
• Cody, William J. (1968). «Chebyshev approximations for the Fresnel integrals». Math. Comp. 22 (102): 450–453. doi:10.1090/S0025-5718-68-99871-2. https://www.ams.org/journals/mcom/1968-22-102/S0025-5718-68-99871-2/S0025-5718-68-99871-2.pdf. 
• Hangelbroek, R. J. (1967). «Numerical approximation of Fresnel integrals by means of Chebyshev polynomials». J. Eng. Math. 1 (1): 37–50. doi:10.1007/BF01793638. Bibcode: 1967JEnMa...1...37H. 
• Mathar, R. J. (2012). "Series Expansion of Generalized Fresnel Integrals". arXiv:1211.3963 [math.CA].
• Nave, R. (2002). «The Cornu spiral».  (Uses π/2t² instead of t².)
• Press, W. H.· Teukolsky, S. A.· Vetterling, W. T.· Flannery, B. P. (2007). «Section 6.8.1. Fresnel Integrals». Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 11 Αυγούστου 2011. Ανακτήθηκε στις 9 Αυγούστου 2011. 
• van Snyder, W. (1993). «Algorithm 723: Fresnel integrals». ACM Trans. Math. Softw. 19 (4): 452–456. doi:10.1145/168173.168193. 
• Stewart, James (2008). Calculus Early Transcendentals. Cengage Learning EMEA. ISBN 978-0-495-38273-7. 
• Temme, N. M. (2010), "Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
• Zajta, Aurel J.; Goel, Sudhir K. (1989). «Parametric Integration Techniques». Mathematics Magazine 62 (5): 318–322. doi:10.1080/0025570X.1989.11977462. 

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0