Νόρμα (θεωρία σωμάτων)

Στα μαθηματικά, η νόρμα (σώμα) είναι μια συγκεκριμένη απεικόνιση που ορίζεται στη θεωρία σωμάτων, η οποία απεικονίζει στοιχεία ενός μεγαλύτερου σώματος σε ένα υποσώμα.

Τυπικός ορισμός

Έστω K ένα σώμα και L μια πεπερασμένη επέκταση (και επομένως μια αλγεβρική επέκταση) του K.

Το σώμα L είναι τότε ένας πεπερασμένης διάστασης διανυσματικός χώρος πάνω στο K.

Πολλαπλασιασμός με α, ένα στοιχείο του L,

$m_{\alpha }\colon L\to L$

$m_{\alpha }(x)=\alpha x$,

είναι ένας K-γραμμικός μετασχηματισμός αυτού του διανυσματικού χώρου στον εαυτό του.

Η νόρμα, N_L/K(α), ορίζεται ως η ορίζουσα αυτού του γραμμικού μετασχηματισμού.

Εάν το L/K είναι μια επέκταση Γκαλουά, μπορεί κανείς να υπολογίσει τη νόρμα του α ∈ L ως το γινόμενο από όλους τους συζυγείς Γκαλουά του α:

$\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),$

όπου Gal(L/K) δηλώνει την ομάδα Γκαλουά του L/K. (Να σημειωθεί ότι ενδέχεται να υπάρχει επανάληψη στους όρους του γινόμενου).

Για μια γενική επέκταση σώματος L/K, και μη μηδενικό α στο L, έστω σ₁(α), ..., σ_n(α) οι ρίζες του ελάχιστου πολυωνύμου του α πάνω από το K (ρίζες που παρατίθενται με πολλαπλότητα και βρίσκονται σε κάποιο σώμα επέκτασης του L)- τότε

$\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\left(\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha )\right)^{[L:K(\alpha )]}$.

Εάν το L/K είναι διαχωρίσιμο, τότε κάθε ρίζα εμφανίζεται μόνο μία φορά στο γινόμενο (αν και ο εκθέτης, ο βαθμός [L:K(α')], μπορεί να είναι ακόμα μεγαλύτερος από 1).

Παραδείγματα

Επεκτάσεις τετραγωνικών σωμάτων

Ένα από τα βασικά παραδείγματα νόρμων προέρχεται από τις επεκτάσεις τετραγωνικών σωμάτων $\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q}$ όπου $a$ είναι ένας ακέραιος χωρίς τετράγωνα.

Τότε, ο χάρτης πολλαπλασιασμού με ${\sqrt {a}}$ σε ένα στοιχείο $x+y\cdot {\sqrt {a}}$ είναι

${\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.$

Το στοιχείο $x+y\cdot {\sqrt {a}}$ μπορεί να αναπαρασταθεί από το διάνυσμα

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$

αφού υπάρχει μια άμεση αποσύνθεση αθροίσματος $\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}$ ως $\mathbb {Q}$-διανυσματικός χώρος

Ο πίνακας του $m_{\sqrt {a}}$ είναι τότε

$m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}$

και η νόρμα είναι $N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a$, αφού είναι η ορίζουσα δύναμη αυτού του πίνακα.

Νόρμα του Q(√2)

Ας δούμε το αριθμητικό σώμα $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$.

Η ομάδα Γκαλουά του $K$ πάνω από το $\mathbb {Q}$ έχει τάξη $d=2$ και παράγεται από το στοιχείο που στέλνει το ${\sqrt {2}}$ στο $-{\sqrt {2}}$. Έτσι, η νόρμα του $1+{\sqrt {2}}$ είναι:

$(1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=-1.$

Η νόρμα του σώματος μπορεί επίσης να ληφθεί χωρίς την ομάδα Γκαλουά.

Ορίζουμε μια $\mathbb {Q}$-βάση του $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, ας πούμε:

$\{1,{\sqrt {2}}\}$.

Τότε ο πολλαπλασιασμός με τον αριθμό $1+{\sqrt {2}}$ στέλνει

1 προς $1+{\sqrt {2}}$ και

${\sqrt {2}}$ σε $2+{\sqrt {2}}$.

Έτσι, η ορίζουσα του "πολλαπλασιασμού με $1+{\sqrt {2}}$" είναι η ορίζουσα του πίνακα που στέλνει το διάνυσμα

${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ (που αντιστοιχεί στο πρώτο στοιχείο βάσης, δηλαδή το 1) σε ${\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$,

${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ (που αντιστοιχεί στο δεύτερο στοιχείο βάσης, δηλ, ${\sqrt {2}}$) σε ${\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}$,

δηλαδή..:

${\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}.$

Η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι -1.

p-th επεκτάσεις ριζικών σωμάτων

Μια άλλη εύκολη κατηγορία παραδειγμάτων προέρχεται από επεκτάσεις σώματος της μορφής $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q}$ όπου ο πρώτος παραγοντισμός του $a\in \mathbb {Q}$ δεν περιέχει καμία $p$-th δύναμη, για $p$ έναν σταθερό μονό αριθμό πρώτων.

Η απεικόνιση του πολλαπλασιασμού με ένα ${\sqrt[{p}]{a}}$ ενός στοιχείου είναι

${\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}$

που δίνει τον πίνακα

${\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}$

Η ορίζουσα δίνει τη νόρμα

$N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.$

Μιγαδικοί αριθμοί πάνω από τους πραγματικούς

Η νόρμα σώματος από τους μιγαδικούς αριθμούς στους πραγματικούς αριθμούς στέλνει

x + iy

στο

x² + y²,

επειδή η ομάδα Γκαλουά του $\mathbb {C}$ πάνω από το $\mathbb {R}$ έχει δύο στοιχεία,

• το στοιχείο ταυτότητας και
• την μιγαδική σύζευξη,

και λαμβάνοντας το γινόμενο προκύπτει (x + iy)(x − iy) = x² + y².

Πεπερασμένα σώματα

Έστω L = GF(qⁿ) μια πεπερασμένη επέκταση ενός πεπερασμένου σώματος K = GF(q).

Εφόσον το L/K είναι επέκταση Γκαλουά, αν το α βρίσκεται στο L, τότε η νόρμα του α είναι το γινόμενο από όλους τους συζυγείς Γκαλουά του α, δηλαδή.

$\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.$

Σε αυτό το πλαίσιο έχουμε τις πρόσθετες ιδιότητες,

• $\forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )$
• $\forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.$

Ιδιότητες της νόρμας

Αρκετές ιδιότητες της συνάρτησης νόρμας ισχύουν για κάθε πεπερασμένη επέκταση.

Ομομορφισμός ομάδας

Η νόρμα N_L/K} : L* → K* είναι ένας ομομορφισμός ομάδας από την πολλαπλασιαστική ομάδα της L στην πολλαπλασιαστική ομάδα της K, δηλαδή

$\operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.$

Επιπλέον, εάν a in K:

$\operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L.$

Εάν a ∈ K τότε $\operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.$

Σύνθεση με επεκτάσεις σώματος

Επιπλέον, η νόρμα συμπεριφέρεται καλά σε πύργους σωμάτων:

τότε η νόρμα από το M στο K είναι απλώς η σύνθεση της νόρμας από το M στο L με την νόρμα από το L στο K, δηλ.

$\operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.$

Μείωση του κανόνα

Η νόρμα ενός στοιχείου σε μια αυθαίρετη επέκταση σώματος μπορεί να μειωθεί σε έναν ευκολότερο υπολογισμό αν ο βαθμός της επέκτασης του σώματος είναι ήδη γνωστός. Αυτό είναι

$N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}$

Επί παραδείγματι, για $\alpha ={\sqrt {2}}$ στην επέκταση του σώματος $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q}$, η νόρμα της $\alpha$ είναι

${\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}$

δεδομένου ότι ο βαθμός της επέκτασης σώματος $L/K(\alpha )$ είναι $2$.

Ανίχνευση μονάδων

Για ${\mathcal {O}}_{K}$ το δακτύλιο των ακεραίων ενός αλγεβρικού αριθμητικού σώματος $K$, ένα στοιχείο $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K}$ είναι μονάδα αν και μόνο αν $N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1$.

Επί παραδείγματι

$N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1$

όπου

$\zeta _{3}^{3}=1$.

Έτσι, κάθε αριθμητικό σώμα $K$ του οποίου ο δακτύλιος των ακεραίων ${\mathcal {O}}_{K}$ περιέχει το $\zeta _{3}$ το έχει ως μονάδα.

Περαιτέρω ιδιότητες

Η νόρμα ενός αλγεβρικού ακέραιου είναι πάλι ακέραιος, επειδή είναι ίση (μέχρι το πρόσημο) με τον σταθερό όρο του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.

Στην αλγεβρική θεωρία αριθμών ορίζονται επίσης νόρμες για τα ιδεώδη. Αυτό γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε αν το I είναι ένα μη μηδενικό ιδεώδες του O_K, του δακτυλίου των ακεραίων του αριθμητικού σώματος K, N(I)είναι ο αριθμός των κλάσεων καταλοίπων στο $O_{K}/I$ – δηλαδή η πληθικότητα αυτού του πεπερασμένου δακτυλίου. Επομένως, αυτή η ιδεώδης νόρμα είναι πάντα ένας θετικός ακέραιος αριθμός.

Όταν το I είναι ένα κύριο ιδεώδες αO_K τότε το N(I) είναι ίσο με την απόλυτη τιμή της νόρμας στο Q του α, για α έναν αλγεβρικό ακέραιο.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Σώμα διασπάσεως
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Νοεροί υπολογισμοί

Βιβλιογραφία

• Araki, Huzihiro (1999). Mathematical Theory of Quantum Fields. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851773-3. 
• Hazewinkel, Michiel (31 Αυγούστου 1990). Encyclopaedia of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-55608-005-0. 
• Florescu, Liviu C. (7 Νοεμβρίου 2024). Selected Topics in Mathematical Analysis: Real Number System – Recurrences – Asymptotic Analysis – Integration in Finite Terms. Springer Nature. ISBN 978-3-031-67784-7. 
• Shell, Niel (23 Ιουνίου 2021). Topological Fields and Near Valuations. CRC Press. ISBN 978-1-000-44479-7. 
• Papikian, Mihran (31 Μαρτίου 2023). Drinfeld Modules. Springer Nature. ISBN 978-3-031-19707-9. 
• Gille, Philippe· Szamuely, Tamás (10 Αυγούστου 2017). Central Simple Algebras and Galois Cohomology. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-15637-1. 
• Dieulefait, Luis (8 Οκτωβρίου 2015). Arithmetic and Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-46254-0. <
• Grechuk, Bogdan (21 Σεπτεμβρίου 2021). Landscape of 21st Century Mathematics: Selected Advances, 2001–2020. Springer Nature. ISBN 978-3-030-80627-9. 
• Jacob, Bill· Rosenberg, Alex (1995). $K$-Theory and Algebraic Geometry: Connections with Quadratic Forms and Division Algebras: Connections with Quadratic Forms and Division Algebras. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0339-4. >
• Lovett, Stephen (5 Ιουλίου 2022). Abstract Algebra: A First Course. CRC Press. ISBN 978-1-000-60544-0. 

Παραπομπές

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Finite Fields, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 20 (Second έκδοση), Cambridge University Press, ISBN 0-521-39231-4, , https://archive.org/details/finitefields0000lidl_a8r3 
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Handbook of Finite Fields, CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6 
• Roman, Steven (2006), Field theory, Graduate Texts in Mathematics, 158 (Second έκδοση), Springer, Chapter 8, ISBN 978-0-387-27677-9,  
• Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7 
• Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 138, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55640-4 
• Cohn, Harvey (1954), «The density of abelian cubic fields», Proceedings of the American Mathematical Society 5 (3): 476–477, doi:10.2307/2031963 
• Davenport, Harold; Heilbronn, Hans (1971), «On the density of discriminants of cubic fields. II», Proceedings of the Royal Society A 322 (1551): 405–420, doi:10.1098/rspa.1971.0075 
• Hasse, Helmut (1930), «Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage», Mathematische Zeitschrift 31 (1): 565–582, doi:10.1007/BF01246435 
• Roberts, David P. (2001), «Density of cubic field discriminants», Mathematics of Computation 70 (236): 1699–1705, doi:10.1090/s0025-5718-00-01291-6 
• Taniguchi, Takashi; Thorne, Frank (2013), «Secondary terms in counting functions for cubic fields», Duke Mathematical Journal 162 (13): 2451–2508, doi:10.1215/00127094-2371752 

• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Second έκδοση), Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4,  
• Rubin, Karl (1991), «The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields», Inventiones Mathematicae 103 (1): 25–68, doi:10.1007/BF01239508, ISSN 0020-9910,  
• Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), The Iwasawa main conjectures for GL₂, σελ. 219, http://www.math.columbia.edu/%7Eurban/eurp/MC.pdf 
• Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, https://books.google.com/books?isbn=0-387-94762-0 
• Wiles, Andrew (1990), «The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields», Annals of Mathematics 131 (3): 493–540, doi:10.2307/1971468,  
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory. Universitext (Second έκδοση). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. MR 1645586. 
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. MR 1405612. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (στα German). Berlin: Springer. . English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. 1949.  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
• Pop, Florian (2001). «(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic» (PDF). 

Πηγές

• Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.