Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, το Νηµατικό γινόµενο (αγγλικά: pullback ή fibre product) ή καρτεσιανό τετράγωνο είναι το όριο ενός διαγράμματος που αποτελείται από δύο μορφισμούς f : X → Z και g : Y → Z με κοινό κωδικό πεδίο. Το νηµατικό γινόµενο γράφεται

P = X ×_{f, Z, g} Y.

Συνήθως οι μορφισμοί f και g παραλείπονται από τη σημειογραφία και τότε το νηµατικό γινόµενο γράφεται

P = X ×_Z Y.

Το νηµατικό γινόµενο είναι εξοπλισμένο με δύο φυσικούς μορφισμούς P → X και P → Y. Το νηµατικό γινόµενο δύο μορφισμών f και g δεν χρειάζεται να υπάρχει, αλλά εάν υπάρχει, ορίζεται ουσιαστικά με μοναδικό τρόπο από τους δύο μορφισμούς. Σε πολλές περιπτώσεις, το X ×_Z Y μπορεί να θεωρηθεί διαισθητικά ως αποτελούμενο από ζεύγη στοιχείων (x, y) με x στο X, στο y στο Y, και f(x)  =  g(y). Για τον γενικό ορισμό, χρησιμοποιείται μια καθολική ιδιότητα, η οποία ουσιαστικά εκφράζει το γεγονός ότι το νηµατικό γινόµενο είναι ο "πιο γενικός" τρόπος για να ολοκληρωθούν οι δύο δεδομένοι μορφισμοί σε ένα αντιμεταθετικό τετράγωνο.

Καθολική ιδιότητα

Συγκεκριμένα, το νηµατικό γινόµενο των μορφισμών $f$ και $g$ αποτελείται από ένα αντικείμενο $P$ και δύο μορφισμούς $p_{1}:P\rightarrow X$ και $p_{2}:P\rightarrow Y$ για τους οποίους το αντιμεταθετικό διάγραμμα

. Επιπλέον, το νηµατικό γινόµενο (P, p₁, p₂ πρέπει να είναι καθολικό σε σχέση με αυτό το διάγραμμα.. Δηλαδή, για οποιοδήποτε άλλο τέτοιο τριπλό (Q, q₁, q₂) όπου q₁ : Q → X και q₂ : Q → Y είναι μορφισμοί με f q₁ = g q₂, πρέπει να υπάρχει ένα μοναδικό u : Q → P έτσι ώστε

$p_{1}\circ u=q_{1},\qquad p_{2}\circ u=q_{2}.$

Η κατάσταση αυτή απεικονίζεται στο ακόλουθο αντιμεταθετικό διάγραμμα.

Όπως συμβαίνει με όλες τις καθολικές κατασκευές, μια αναδρομή, εάν υπάρχει, είναι μοναδική ως προς τον ισομορφισμό. Στην πραγματικότητα, δεδομένων δύο νηµατικά γινόµενα (A, a₁, a₂) και (B, b₁, b₂) του ίδιου cospan X → Z ← Y, υπάρχει ένας μοναδικός ισομορφισμός μεταξύ A και B που σέβεται τη δομή του νηµατικού γινόµενου

Νηµατικό γινόµενο και γινόμενο

Το νηµατικό γινόµενο είναι παρόμοια με το γινόμενο, αλλά δεν είναι ίδιο. Μπορεί κανείς να λάβει το γινόμενο "ξεχνώντας" ότι υπάρχουν οι μορφισμοί f και g και ξεχνώντας ότι υπάρχει το αντικείμενό Z. Έτσι, μένει μια διακριτή κατηγορία που περιέχει μόνο τα δύο αντικείμενα X και Y, χωρίς βέλη μεταξύ τους. Αυτή η διακριτή κατηγορία μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως σύνολο δεικτών για την κατασκευή του συνηθισμένου δυαδικού γινομένου. Έτσι, το νηµατικό γινόµενο μπορεί να θεωρηθεί ως το συνηθισμένο (καρτεσιανό) γινόμενο, αλλά με πρόσθετη δομή. Αντί να "ξεχνάμε" τα Z, f και g, μπορούμε επίσης να τα "τριβιοποιήσουμε" εξειδικεύοντας το Z ως τελικό αντικείμενο (υποθέτοντας ότι υπάρχει). Τα f και g καθορίζονται τότε με μοναδικό τρόπο και επομένως δεν μεταφέρουν καμία πληροφορία, και το νηµατικό γινόµενο αυτού του cospan μπορεί να θεωρηθεί ως το γινόμενο των X και Y.

Παραδείγματα

Αντιμεταθετικά δακτυλίδια

κατηγορία των αντιμεταθετικών δακτυλίων επιτρέπει νηµατικά γινόµενα.

Στην κατηγορία των αντιμεταθετικών δακτυλίων (με ταυτότητα), η ανάκληση ονομάζεται γινόμενο νημάτων . Ας είναι A, B και C αντιμεταθετικοί δακτύλιοι (με ταυτότητα) και α : A → C και β : B → C (διατηρούν την ταυτότητα) ομομορφισμοί δακτυλίων. Τότε το νηµατικό γινόµενο αυτού του διαγράμματος υπάρχει και δίνεται από τον υποδακτύλιο του δακτυλίου γινομένου A × B που ορίζεται από

$A\times _{C}B=\left\{(a,b)\in A\times B\;{\big |}\;\alpha (a)=\beta (b)\right\}$

μαζί με τους μορφισμούς

$\beta '\colon A\times _{C}B\to A,\qquad \alpha '\colon A\times _{C}B\to B$

που δίνεται από $\beta '(a,b)=a$ και $\alpha '(a,b)=b$ για όλα τα $(a,b)\in A\times _{C}B$. Έχουμε τότε

$\alpha \circ \beta '=\beta \circ \alpha '.$

Ομάδες και πρότυπα

Σε πλήρη αναλογία με το παραπάνω παράδειγμα των αντιμεταθετικών δακτυλίων, μπορεί κανείς να δείξει ότι όλα τα νηµατικά γινόµενα υπάρχουν στην κατηγορία των ομάδων και στην κατηγορία των προτύπων πάνω σε κάποιο σταθερό δακτύλιο.

Σύνολα

Στην κατηγορία των συνόλων, το νηµατικό γινόµενο των συναρτήσεων f : X → Z και g : Y → Z υπάρχει πάντα και δίνεται από το σύνολο

$X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}=\bigcup _{z\in f(X)\cap g(Y)}f^{-1}[\{z\}]\times g^{-1}[\{z\}],$

μαζί με τους περιορισμούς της προβολής απεικόνισης π₁ και π₂ στο X ×_Z Y.

Εναλλακτικά, μπορεί κανείς να δει το νηµατικό γινόµενο στο Set ασύμμετρα:

$X\times _{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]$

όπου $\coprod$ είναι η ασύνδετη ένωση συνόλων (τα εμπλεκόμενα σύνολα δεν είναι ασύνδετα από μόνα τους, εκτός αν f ή g είναι ερριπτικά). Στην πρώτη περίπτωση, η προβολή π₁ εξάγει τον δείκτη x ενώ η π₂ παραλείπει τον δείκτη, αφήνοντας τα στοιχεία του Y.

Αυτό το παράδειγμα δίνει αφορμή για έναν άλλο τρόπο χαρακτηρισμού του νηµατικού γινόµενου : ως εξισωτή των μορφισμών f ∘ p₁, g ∘ p₂ : X × Y → Z όπου X × Y είναι το δυαδικό γινόμενο του X και Y και p₁ και p₂ είναι οι φυσικές προβολές. Αυτό δείχνει ότι τα νηµατικά γινόµενα υπάρχουν σε οποιαδήποτε κατηγορία με δυαδικά γινόμενα και εξισωτές. Στην πραγματικότητα, σύμφωνα με το θεώρημα ύπαρξης ορίων, όλα τα πεπερασμένα όρια υπάρχουν σε μια κατηγορία με δυαδικά γινόμενα και εξισωτές. Αντίστοιχα, όλα τα πεπερασμένα όρια υπάρχουν σε μια κατηγορία με τερματικό αντικείμενο και νηµατικά γινόμενα (λόγω του γεγονότος ότι ένα δυαδικό γινόμενο είναι ίσο με ένα νηµατικό γινόμενο στο τελικό αντικείμενο και ότι ένας εξισωτής είναι ένα νηµατικό γινόμενο που περιλαμβάνει ένα δυαδικό γινόμενο).

Γραφήματα συναρτήσεων

Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα νηµατικού γινόµενου δίνεται από το γράφημα μιας συνάρτησης. Ας υποθέσουμε ότι $f\colon X\to Y$ είναι μια συνάρτηση. Το γράφημα του f είναι το σύνολο $\Gamma _{f}=\{(x,f(x))\colon x\in X\}\subseteq X\times Y.$

Το γράφημα μπορεί να αναδιατυπωθεί ως νηµατικό γινόµενο της f και της ταυτοτικής συνάρτησης στο Y. Κατά ορισµό, αυτό το νηµατικό γινόμενο είναι

$X\times _{f,Y,1_{Y}}Y=\{(x,y)\colon f(x)=1_{Y}(y)\}=\{(x,y)\colon f(x)=y\}\subseteq X\times Y,$ και αυτό ισούται με $\Gamma _{f}$.

Νηματικές δέσμες

Ένα άλλο παράδειγμα νηµατικό γινόµενο  προέρχεται από τη θεωρία των νηµατικών δεσμών: δεδομένου µιας απεικόνισης δέσμης π : E → B και μιας συνεχούς απεικόνισης f : X → B, το νηµατικό γινόμενο (που σχηματίζεται στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων με συνεχείς απεικονίσεις) X ×_B E είναι µια νηµατική δέσμη πάνω στο X που ονομάζεται νηµατική δέσμη γινόμενου. Το σχετικό διανυσματικό διάγραμμα είναι ένας μορφισμός νηµατικών δεσμών. Μια ειδική περίπτωση είναι το νηµατικό γινόµενο από δύο νηματικές δέσμες E₁, E₂ → B. σε αυτή την περίπτωση, το E₁ × E₂ είναι μια νηµατική δέσμη πάνω στο B × B, και το νηµατικό γινόμενο κατά μήκος της διαγώνιας απεικόνισης B → B × B δίνει ένα χώρο ομοιομορφικό (διφομορφικό) με το E₁ ×_B E₂, το οποίο είναι νηµάτική δέσμη πάνω στο B. Όλες οι προτάσεις εδώ ισχύουν και για διαφορίσιμες πολλαπλότητες.. Οι διαφορίσιμες απεικονίσεις f : M → N και g : P → N είναι εγκάρσιες αν και μόνο αν το γινόμενό τους M × P → N × N είναι εγκάρσιο προς τη διαγώνιο του N. Έτσι, το νηµατικό γινόµενο δύο εγκάρσιων διαφορίσιμων απεικονίσεων στην ίδια διαφορίσιμη πολλαπλότητα είναι επίσης μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα, και ο εφαπτόμενος χώρος του νηµατικού γινομένου είναι το νηµατικό γινόμενο των εφαπτόμενων χώρων κατά μήκος των διαφορικών απεικονίσεων.

Προεικόνες και τομές

Οι προεικόνες των συνόλων κάτω από τις συναρτήσεις μπορούν να περιγραφούν ως νηµατικά γινόµενα ως εξής:

Ας υποθέσουμε ότι f : A → B, B₀ ⊆ B. Έστω g η απεικόνιση εγκλεισμού B₀ ↪ B. Τότε το νηµατικό γινόµενο των f και g (στο σύνολο) δίνεται από την προ-εικόνα f⁻¹[B₀] μαζί με τον εγκλεισμό της προ-εικόνας στο A

f⁻¹[B₀] ↪ A

και ο περιορισμός της f στο f⁻¹[B₀]

f⁻¹[B₀] → B₀.

Λόγω αυτού του παραδείγματος, σε μια γενική κατηγορία, το νηµατικό γινόµενο ενός μορφισμού f και ενός μονομορφισμού g μπορεί να θεωρηθεί ως η "προεικόνα" υπό f του υποαντικειμένου που καθορίζεται από g. Ομοίως, τα νηµατικά γινόµενα δύο μονομορφισμών μπορούν να θεωρηθούν ως η "τομή" των δύο υποαντικειμένων.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Ας θεωρήσουμε το πολλαπλασιαστικό μονοειδές των θετικών ακεραίων Z₊ ως κατηγορία με ένα αντικείμενο. Σε αυτήν την κατηγορία, το νηµατικό γινόµενο δύο θετικών ακεραίων m και n είναι απλώς το ζεύγος $\left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)$, όπου οι αριθμητές είναι και οι δύο το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των m και n. Το ίδιο ζεύγος είναι επίσης το pushout.

Ιδιότητες

• Σε οποιαδήποτε κατηγορία με τελικό αντικείμενο T, το νηµατικό γινόµενο X ×_T Y είναι απλώς το συνηθισμένο γινόμενο X × Y.
• Οι μονομορφισμοί είναι σταθεροί υπό το νηµατικό γινόµενο : αν το βέλος f στο διάγραμμα είναι μονικό, τότε το ίδιο ισχύει και για το βέλος p₂. Ομοίως, αν το g είναι μονικό, τότε το ίδιο ισχύει και για το p₁.
• Οι ισομορφισμοί είναι επίσης σταθεροί και, ως εκ τούτου, παράδειγμα η περίπτωση, X ×_X Y ≅ Y για οποιαδήποτε απεικόνιση Y → X (όπου η υπονοούμενη απεικόνιση X → X είναι η ταυτότητα).
• Σε μια αβελιανή κατηγορία υπάρχουν όλα τα νηµατικά γινόµενα, και διατηρούν τους πυρήνες, με την ακόλουθη έννοια: αν

είναι ένα διάγραμμα νηµατικού γινόµενου , τότε ο επαγόμενος μορφισμός ker(p₂) → ker(f) είναι ένας ισομορφισμός, όπως και ο επαγόμενος μορφισμός ker(p₁) → ker(g).Κάθε διάγραμμα νηµατικού γινόµενου δημιουργεί έτσι ένα διανυσματικό διάγραμμα της ακόλουθης μορφής, όπου όλες οι σειρές και οι στήλες είναι ακριβείς:

${\begin{array}{ccccccc}&&&&0&&0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&L&=&L\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Y\\&&\parallel &&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &X&\rightarrow &Z\end{array}}$

Επιπλέον, σε μια αβελιανή κατηγορία, αν X → Z είναι επιμορφισμός, τότε το ίδιο ισχύει και για το νηµατικό γινόµενο P → Y, και συμμετρικά: αν Y → Zείναι επιμορφισμός, τότε το ίδιο ισχύει και για το νηµατικό γινόµενο P → X. Σε αυτές τις περιπτώσεις, το τετράγωνο νηµατικό γινόµενο είναι επίσης τετράγωνο pushout.

• Υπάρχει ένας φυσικός ισομορφισμός (A×_CB)×_B D ≅ A×_CD. Συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει:
  • αν δίνονται οι απεικονίσεις f : A → C, g : B → C και h : D → B καθώς και
  • το νηµατικό γινόµενο των f και g δίνεται από r : P → A και  : P → B, και
  • το νηµατικό γινόµενο τωνs και h δίνεται από t : Q → P και u : Q → D ,
  • τότε το νηµατικό γινόµενο των f και gh δίνεται από rt : Q → A και u : Q → D.

Γραφικά, αυτό σημαίνει ότι δύο τετράγωνα νηµατικά γινόµενα, τοποθετημένα το ένα δίπλα στο άλλο και που μοιράζονται ένα μορφισμό, σχηματίζουν ένα μεγαλύτερο τετράγωνο νηµατικό γινόµενο όταν αγνοούμε τον εσωτερικό κοινό μορφισμό.

${\begin{array}{ccccc}Q&{\xrightarrow {t}}&P&{\xrightarrow {r}}&A\\\downarrow _{u}&&\downarrow _{s}&&\downarrow _{f}\\D&{\xrightarrow {h}}&B&{\xrightarrow {g}}&C\end{array}}$

• Κάθε κατηγορία με νηµατικά γινόµενα και γινόµενα διαθέτει εξισωτές.

Ασθενές νηµατικό γινόµενο

Ένα ασθενές νηµατικό γινόµενο ενός cospan X → Z ← Y είναι ένας κώνος πάνω από το cospan που είναι μόνο ασθενώς καθολικός, δηλαδή, ο ενδιάµεσος μορφισμός u : Q → P παραπάνω δεν απαιτείται να είναι μοναδικός.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης Αρχειοθετήθηκε 2025-08-16 στο Wayback Machine.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών Αρχειοθετήθηκε 2025-06-01 στο Wayback Machine.
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Αβελιανή ομάδα
• Σύνθεση συνάρτησης
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Ένα προς ένα
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Αβελιανή ομάδα

Βιβλιογραφία

• Perrone, Paolo (8 Απριλίου 2024). Starting Category Theory. World Scientific. ISBN 978-981-12-8602-5. 
• Yanofsky, Noson S. (5 Νοεμβρίου 2024). Monoidal Category Theory: Unifying Concepts in Mathematics, Physics, and Computing. MIT Press. ISBN 978-0-262-04939-9. 
• Grandis, Marco (5 Μαρτίου 2021). Category Theory And Applications: A Textbook For Beginners (Second Edition). World Scientific. ISBN 978-981-12-3610-5. 
• Majkic, Zoran (6 Μαρτίου 2023). Category Theory: Invariances and Symmetries in Computer Science. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-108201-1. 
• Roman, Steven (5 Ιανουαρίου 2017). An Introduction to the Language of Category Theory. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-41917-6. 
• Fong, Brendan· Spivak, David I. (18 Ιουλίου 2019). An Invitation to Applied Category Theory: Seven Sketches in Compositionality. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-58224-7. 
• Meeting, American Mathematical Society· Gray, John Walker (1984). Mathematical Applications of Category Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-5032-9. 
• Seely, Robert Andrew George (1992). Category Theory 1991: Proceedings of the 1991 Summer Category Theory Meeting, Montreal, Canada: Proceedings of an International Summer Category Theory Meeting, Held June 23-30, 1991. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-6018-2. 
• Heinroth, Tobias· Minker, Wolfgang (28 Αυγούστου 2011). Next Generation Intelligent Environments: Ambient Adaptive Systems. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-1299-1. 

Παραπομπές

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).
• Cohn, Paul M.; Universal Algebra (1981), D. Reidel Publishing, Holland, ISBN 90-277-1213-1 (Originally published in 1965, by Harper & Row).
• Theory of Categories. Academic Press. 1 Ιανουαρίου 1965. ISBN 978-0-08-087329-9. 
• Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X 
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Endomorphism ring», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035610 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 
• Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8, https://books.google.com/books?id=hQTvAAAAMAAJ&q=endomorphism+ring 
• Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, 3 (Revised and translated from the 1988 German έκδοση), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, σελ. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, https://archive.org/details/foundationsofmod0003wisb/page/  A handbook for study and research
• Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_, ανακτήθηκε στις 2025-08-08 
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2 
• J. S. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln 
• Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf. 
• Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8. 
• Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001. 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 

Πηγές

• Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7. 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.