Μονομορφισμός

Στο πλαίσιο της αφηρημένης άλγεβρας ή της καθολικής άλγεβρας, ένας μονομορφισμός είναι ένας ερριπτικός ομομορφισμός. Ένας μονομορφισμός από X σε Y συχνά συμβολίζεται με τον συμβολισμό $X\hookrightarrow Y$.

Στο γενικότερο πλαίσιο της θεωρίας κατηγοριών, ένας μονομορφισμός (που ονομάζεται επίσης μονικός μορφισμός ή μονο') είναι ένας αριστερά ακυρώσιμος μορφισμός. Δηλαδή, ένα βέλος f : X → Y τέτοιο ώστε για όλα τα αντικείμενα Z και όλους τους μορφισμούς g₁, g₂: Z → X,

$f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\implies g_{1}=g_{2}.$

pullback of monomorphism with itself

Οι μονομορφισμοί είναι μια κατηγορική γενίκευση των ερριπτικών συναρτήσεων (που ονομάζονται επίσης "συναρτήσεις ένα προς ένα")- σε ορισμένες κατηγορίες οι έννοιες συμπίπτουν, αλλά οι μονομορφισμοί είναι πιο γενικοί, όπως στα παραδείγματα που ακολουθούν.

Στο περιβάλλον των posets οι τομές είναι ταυτοδύναμες: η τομή οποιουδήποτε πράγματος με τον εαυτό του είναι ο ίδιος ο εαυτός του. Οι μονομορφισμοί γενικεύουν αυτή την ιδιότητα σε αυθαίρετες κατηγορίες. Ένας μορφισμός είναι μονομορφισμός αν είναι ιδιοσυστατικός ως προς την ανακρούση (pullback) .

Ο κατηγορηματικός δυϊκός ενός μονομορφισμού είναι ένας επιμορφισμός, δηλαδή ένας μονομορφισμός σε μια κατηγορία C είναι ένας επιμορφισμός στη δυϊκή κατηγορία C^op. Κάθε τμήμα είναι μονομορφισμός και κάθε ανάκληση είναι επιμορφισμός.

Σχέση με την αντιστρεψιμότητα

Οι αριστερά αντιστρέψιμοι μορφισμοί είναι αναγκαστικά μονικοί: αν το l είναι αριστερά αντίστροφο για το f (δηλαδή το l είναι μορφισμός και $l\circ f=\operatorname {id} _{X}$), τότε το f είναι μονικό, καθώς

$f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g_{1}=l\circ f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.$

Ένας αριστερά αναστρέψιμος μορφισμός ονομάζεται split mono ή τµήµα.

Ωστόσο, ένας μονομορφισμός δεν χρειάζεται να είναι αριστερά αντιστρέψιμος. Επί παραδείγματι, στην κατηγορία Ομάδα όλων των ομάδων και των ομοιομορφισμών ομάδων μεταξύ τους, αν η H είναι υποομάδα της G τότε ο εγκλεισμός f : H → G είναι πάντα μονομορφισμός- αλλά η f έχει αριστερό αντίστροφο στην κατηγορία αν και μόνο αν η H έχει κανονικό συμπλήρωμα στην G.

Ένας μορφισμός f : X → Y είναι μονικός αν και μόνο αν η επαγόμενη απεικόνιση f_∗ : Hom(Z, X) → Hom(Z, Y), που ορίζεται από τη σχέση f_∗(h) = f ∘ h για όλους τους μορφισμούς h : Z → X, είναι ερριπτική για όλα τα αντικείμενα Z.

Παραδείγματα

Κάθε μορφισμός σε μια συγκεκριμένη κατηγορία της οποίας η ερριπτική συνάρτηση είναι ερριπτική είναι μονομορφισμός- με άλλα λόγια, αν οι μορφισμοί είναι στην πραγματικότητα συναρτήσεις μεταξύ συνόλων, τότε κάθε μορφισμός που είναι συνάρτηση ένα προς ένα θα είναι αναγκαστικά μονομορφισμός με την κατηγορηματική έννοια. Στην κατηγορία των συνόλων ισχύει και το αντίστροφο, οπότε οι μονομορφισμοί είναι ακριβώς οι ερριπτικοί μορφισμοί. Το αντίστροφο ισχύει επίσης στις περισσότερες φυσικά εμφανιζόμενες κατηγορίες αλγεβρών λόγω της ύπαρξης ενός ελεύθερου αντικειμένου σε μια γεννήτρια. Συγκεκριμένα, ισχύει στις κατηγορίες όλων των ομάδων, όλων των δακτυλίων και σε κάθε αβελιανή κατηγορία.

Ωστόσο, δεν ισχύει γενικά ότι όλοι οι μονομορφισμοί πρέπει να είναι ερριπτικοί σε άλλες κατηγορίες- δηλαδή, υπάρχουν ρυθμίσεις στις οποίες οι μορφισμοί είναι συναρτήσεις μεταξύ συνόλων, αλλά μπορεί να έχουμε μια συνάρτηση που δεν είναι ερριπτική και παρόλα αυτά είναι μονομορφισμός με την κατηγορηματική έννοια. Επί παραδείγματι, στην κατηγορία Div των διαιρετών (αβελιανών) ομάδων και των ομομορφισμών ομάδων μεταξύ τους υπάρχουν μονομορφισμοί που δεν είναι ερριπτικοί: ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, το πηλίκο q : Q → Q/Z, όπου Q είναι οι ρητοί υπό πρόσθεση, Z οι ακέραιοι (που θεωρούνται επίσης ομάδα υπό πρόσθεση), και Q/Z είναι η αντίστοιχη πηλίκο ομάδα. Δεν πρόκειται για μια ερριπτική απεικόνιση, καθώς λόγου χάριν κάθε ακέραιος αριθμός απεικονίζεται στο 0. Παρά ταύτα, είναι ένας μονομορφισμός σε αυτή την κατηγορία. Αυτό προκύπτει από τον υπαινιγμό q ∘ h = 0 ⇒ h = 0, τον οποίο θα αποδείξουμε τώρα. Αν h : G → Q, όπου G είναι κάποια διαιρετή ομάδα, και q ∘ h = 0, τότε h(x) ∈ Z, ∀ x ∈ G. Τώρα ορίζουμε κάποιο x ∈ G. Χωρίς την απώλεια της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι h(x) ≥ 0 (αλλιώς, επιλέγουμε −x αντί. Τότε, αφήνοντας n = h(x) + 1, αφού η G είναι διαιρετή ομάδα, υπάρχει κάποιο y ∈ G τέτοιο ώστε x = ny, οπότε h(x) = n h(y). Από αυτό, και 0 ≤ h(x) < h(x) + 1 = n, προκύπτει ότι

$0\leq {\frac {h(x)}{h(x)+1}}=h(y)<1$

Αφού h(y) ∈ Z, προκύπτει ότι h(y) = 0, και επομένως h(x) = 0 = h(−x), ∀ x ∈ G. Αυτό λέει ότι h = 0, όπως είναι επιθυμητό.

Για να μεταβούμε από αυτή την υπόθεση στο γεγονός ότι το q είναι μονομορφισμός, υποθέτουμε ότι q ∘ f = q ∘ g για κάποιους μορφισμούς f, g : G → Q, όπου G is είναι κάποια διαιρετή ομάδα. Τότε q ∘ (f − g) = 0, όπου (f − g) : x ↦ f(x) − g(x). (Εφόσον (f − g)(0) = 0, and (f − g)(x + y) = (f − g)(x) + (f − g)(y), προκύπτει ότι (f − g) ∈ Hom(G, Q)). Από τον υπαινιγμό που μόλις αποδείχθηκε, q ∘ (f − g) = 0 ⇒ f − g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G, f(x) = g(x) ⇔ f = g. Επομένως, το q είναι μονομορφισμός, όπως υποστηρίζεται.

Ιδιότητες

• Σε έναν τόπο, κάθε μονός είναι ισομορφιστής και κάθε απεικόνιση που είναι και μονική και επική είναι ισομορφισμός.
• Κάθε ισομορφισμός είναι μονικός.

Σχετικές έννοιες

Υπάρχουν επίσης χρήσιμες έννοιες του κανονικού μονομορφισμού, του ακραίου μονομορφισμού, του άμεσου μονομορφισμού, του ισχυρού μονομορφισμού και του διαχωρισμένου μονομορφισμού.

• Ένας μονομορφισμός λέγεται κανονικός αν είναι εξισωτής κάποιου ζεύγους παράλληλων μορφισμών.
• Ένας μονομορφισμός $\mu$ λέγεται ακραίος αν σε κάθε αναπαράσταση $\mu =\varphi \circ \varepsilon$, όπου $\varepsilon$ είναι ένας επιμορφισμός, ο μορφισμός $\varepsilon$ είναι αυτόματα ένας ισομορφισμός.
• Ένας μονομορφισμός $\mu$ λέγεται άμεσος αν σε κάθε αναπαράσταση $\mu =\mu '\circ \varepsilon$, όπου $\mu '$ είναι ένας μονομορφισμός και $\varepsilon$ είναι ένας επιμορφισμός, ο μορφισμός $\varepsilon$ είναι αυτόματα ένας ισομορφισμός.

• 

  Ένας μονομορφισμός $\mu :C\to D$ λέγεται ισχυρός αν για κάθε επιμορφισμό $\varepsilon :A\to B$ και κάθε μορφισμό $\alpha :A\to C$ και $\beta :B\to D$ έτσι ώστε $\beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha$, υπάρχει ένας μορφισμός $\delta :B\to C$ έτσι ώστε $\delta \circ \varepsilon =\alpha$ και $\mu \circ \delta =\beta$.
• Ένας μονομορφισμός $\mu$ λέγεται διασπασμένος αν υπάρχει ένας μορφισμός $\varepsilon$ τέτοιος ώστε $\varepsilon \circ \mu =1$ (σε αυτή την περίπτωση το $\varepsilon$ ονομάζεται αριστερόστροφο για το $\mu$).

Ορολογία

Οι συνοδευτικοί όροι μονομορφισμός και επιμορφισμός εισήχθησαν αρχικά από τον Νικολά Μπουρμπακί- ο Μπουρμπακί χρησιμοποιεί τον μονομορφισμό ως συντομογραφία για μια ερριπτική συνάρτηση. Οι πρώτοι θεωρητικοί των κατηγοριών πίστευαν ότι η σωστή γενίκευση της ερριπτικής ικανότητας στο πλαίσιο των κατηγοριών ήταν η ιδιότητα ακύρωσης που δόθηκε παραπάνω. Αν και αυτό δεν είναι ακριβώς αληθές για τις μονικές απεικονίσεις, είναι πολύ κοντά, οπότε αυτό έχει προκαλέσει ελάχιστα προβλήματα, σε αντίθεση με την περίπτωση των επιμορφισμών. Ο Σόντερς Μακ Λέιν προσπάθησε να κάνει μια διάκριση μεταξύ αυτού που ονόμασε μονομορφισμούς, που ήταν απεικονίσεις σε μια συγκεκριμένη κατηγορία των οποίων οι υποκείμενες απεικονίσεις συνόλων ήταν ερριπτικές, και των μονικών απεικονίσεων, που είναι μονομορφισμοί με την κατηγορική έννοια της λέξης. Αυτή η διάκριση δεν έγινε ποτέ αντικείμενο γενικής χρήσης.

Ένα άλλο όνομα για τον μονομορφισμό είναι επέκταση αν και αυτό έχει και άλλες χρήσεις.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Αβελιανή ομάδα
• Σύνθεση συνάρτησης
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Ένα προς ένα
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Αβελιανή ομάδα

Βιβλιογραφία

• Hsia, J. S.· Madan, M. L. (15 Νοεμβρίου 2006). Proceedings of the Conference on Orders, Group Rings and Related Topics. Springer. ISBN 978-3-540-37818-1. 
• Hirschhorn, Philip S. (2003). Model Categories and Their Localizations. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4917-0. 
• Oystaeyen, Freddy Van· Saorin, Manolo (5 Απριλίου 2000). Interactions Between Ring Theory and Representations of Algebras. CRC Press. ISBN 978-0-8247-0367-7. 
• Faticoni, Theodore Gerard (1993). Categories of Modules over Endomorphism Rings. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2554-9. 
• <Assem, Ibrahim· Coelho, Flávio U. (12 Δεκεμβρίου 2024). An Introduction to Module Theory. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-890492-2. 
• Agore, Ana (12 Δεκεμβρίου 2023). A First Course in Category Theory. Springer Nature. ISBN 978-3-031-42899-9. 
• O'Sullivan, Bryan· Goerzen, John (15 Νοεμβρίου 2008). Real World Haskell: Code You Can Believe In. "O'Reilly Media, Inc.". ISBN 978-0-596-55430-9. 
• MacLane, Saunders (6 Δεκεμβρίου 2012). Homology. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-62029-4. 
• Grillet, Pierre Antoine (21 Ιουλίου 2007). Abstract Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-71568-1. 
• Akbarov, Sergei S. (22 Αυγούστου 2022). Stereotype Spaces and Algebras. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-078091-8. 

Παραπομπές

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Μονομορφισμός», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/MacLane.html .
• Obituary press release from the University of Chicago.
• Photographs of Mac Lane Αρχειοθετήθηκε 2013-05-24 στο Wayback Machine., 1984–1999.
• Kutateladze S.S., Saunders Mac Lane, the Knight of Mathematics
• Μονομορφισμός στο Mathematics Genealogy Project
• Dummit, David S.· Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra (3rd έκδοση). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264. 
• Gallian, Joseph A. (2013). Contemporary abstract algebra (8th έκδοση). Boston, MA: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 978-1-133-59970-8. OCLC 807255720. 
• Kurzweil, Hans· Stellmacher, Bernd (1998). Theorie der endlichen Gruppen. Springer-Lehrbuch. doi:10.1007/978-3-642-58816-7. ISBN 978-3-540-60331-3. 
• Ash, Robert B. (2002). Abstract Algebra: The Basic Graduate Year (στα Αγγλικά). Department of Mathematics University of Illinois. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Σεπτεμβρίου 2021. Ανακτήθηκε στις 16 Ιουλίου 2025. 
• Jacobson, Nathan (8 Ιουνίου 2012). Basic Algebra II: Second Edition. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13521-2. 
• Kantor, I.L.; Solodovnikov, A.S. (1989), «Normed algebras with an identity. Hurwitz's theorem.», Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras (2nd έκδοση), Springer-Verlag, σελ. 121, ISBN 978-0-387-96980-0, , https://archive.org/details/hypercomplexnumb0000kant/page/121 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. en:Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023. 
• Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf. 
• Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8. 
• Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001. 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 

Πηγές

• Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7. 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.