Μονοειδές (Θεωρία κατηγοριών)

Στη θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα μονοειδές (ή αντικείμενο μονοειδούς, ή εσωτερικό μονοειδές, ή άλγεβρα) (M, μ, η) σε μια μονοειδική κατηγορία (C, ⊗, I) είναι ένα αντικείμενο “'M”' μαζί με δύο μορφισμούς

• μ: M ⊗ M → M που ονομάζεται πολλαπλασιασμός,
• η: Ι → Μ που ονομάζεται μονάδα,

τέτοια ώστε το πενταγωνικό διάγραμμα

και το διάγραμμα unitor

αντιμεταθετικό. Στον παραπάνω συμβολισμό, το 1 είναι ο ταυτοτικός μορφισμός του M, I είναι το μοναδιαίο στοιχείο και τα α, λ και ρ είναι αντίστοιχα η προσεταιριστικότητα , η αριστερή ταυτότητα και η δεξιά ταυτότητα της μονοειδούς κατηγορίας C.

Αντίστοιχα, ένα κομονοειδές σε μια μονοειδική κατηγορία C είναι ένα μονοειδές στη δυϊκή κατηγορία C^op.

Ας υποθέσουμε ότι η μονοειδής κατηγορία C έχει μια πλεξίδα γ. Ένα μονοειδές M στην C είναι αντιμεταθετικό όταν μ ∘ γ = μ.

Παραδείγματα

• Ένα μονοειδές αντικείμενο στο Set, την κατηγορία των συνόλων (με τη μονοειδική δομή που επάγεται από το καρτεσιανό γινόμενο), είναι μονοειδές με τη συνήθη έννοια.
• Ένα μονοειδές αντικείμενο στο Top, την κατηγορία των τοπολογικών χώρων (με τη μονοειδική δομή που επάγεται από την τοπολογία του γινομένου), είναι ένα τοπολογικό μονοειδές.
• Ένα μονοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των μονοειδών (με το άμεσο γινόμενο των μονοειδών) είναι απλά ένα αντιμεταθετικό μονοειδές. Αυτό προκύπτει εύκολα από το επιχείρημα Έκμαν-Χίλτον.
• Ένα μονοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των πλήρων join-ημιπλεγμάτων Sup (με τη μονοειδική δομή που επάγεται από το καρτεσιανό γινόμενο) είναι ένα μοναδιαίο quantale.
• Ένα μονοειδές αντικείμενο στην (Ab], ⊗_Z, Z) την κατηγορία των αβελιανών ομάδων, είναι ένας δακτύλιος.
• Για έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο “'R”', ένα μονοειδές αντικείμενο στο
  • R-Mod, ⊗_R, R), η κατηγορία των προτύπων πάνω από το “'R”', είναι μια R-άλγεβρα.
  • η κατηγορία των βαθμωτών ενοτήτων είναι μια βαθμωτή R-άλγεβρα.
  • η κατηγορία των μιγαδικών αλυσίδων των “'R”'-μονάδων είναι μια διαφορική βαθμωτή άλγεβρα.
• Ένα μονοειδές αντικείμενο στην K-Vect, την κατηγορία των "K"-διανυσματικών χώρων (και πάλι με το τανυστικό γινόμενο), είναι μια μοναδιαία προσεταιριστική "K"-άλγεβρα, και ένα κομονοειδές αντικείμενο είναι μια "K"-άλγεβρα.
• Για κάθε κατηγορία "C", η κατηγορία [C, C] των ενδοσυναρτητών της έχει μια μονοειδής δομή που επάγεται από τη σύνθεση και τον ταυτοτικό συναρτητή I_C. Ένα μονοειδές αντικείμενο στο [C, C] είναι μια μονάδα στο C.

• Για κάθε κατηγορία με τελικό αντικείμενο και πεπερασμένα γινόμενα, κάθε αντικείμενο γίνεται αντικείμενο συνμονοειδές μέσω του διαγώνιου μορφισμού Δ_X : X → X × X. Αντίστροφα σε μια κατηγορία με αρχικό αντικείμενο και πεπερασμένα συνγινόμενα, κάθε αντικείμενο γίνεται αντικείμενο μονοειδές μέσω του id_X ⊔ id_X : X ⊔ X → X.

Κατηγορίες μονοειδών

Δεδομένων δύο μονοειδών (M, μ, η) και (M′, μ′, η′) σε μια μονοειδική κατηγορία C,ένας μορφισμός f : M → M′ είναι ένας 'μορφισμός μονοειδών όταν

• f ∘ μ = μ′ ∘ (f ⊗ f),
• f ∘ η = η′.

Με άλλα λόγια, τα ακόλουθα διαγράμματα

,

αντιμεταθετικά.

Η κατηγορία των μονοειδών στο C και των μονοειδών μορφισμών τους γράφεται Mon_C.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Προσεταιριστική ιδιότητα
• Αντιμεταθετική ιδιότητα
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Τοπολογικός χώρος
• Κατηγορία αβελιανών ομάδων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Αβελιανή ομάδα
• Σύνθεση συνάρτησης
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Ένα προς ένα
• Συναρτητής Hom
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

Βιβλιογραφία

• Howie, John M.· Munn, W. Douglas (25 Σεπτεμβρίου 1992). Semigroups With Applications - Proceedings Of The Conference. World Scientific. ISBN 978-981-4554-27-5. 
• Kilp, Mati· Knauer, Ulrich (24 Ιουνίου 2011). Monoids, Acts and Categories: With Applications to Wreath Products and Graphs. A Handbook for Students and Researchers. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-081290-9. 
• Rodin, Andrei (14 Οκτωβρίου 2013). Axiomatic Method and Category Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-00404-4. 
• Grandis, Marco (5 Μαρτίου 2021). Category Theory And Applications: A Textbook For Beginners (Second Edition). World Scientific. ISBN 978-981-12-3610-5. 
• Rhodes, John· Steinberg, Benjamin (5 Απριλίου 2009). The q-theory of Finite Semigroups. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-09781-7. 
• Rhodes, John (6 Μαρτίου 1991). Monoids And Semigroups With Applications - Proceedings Of The Berkeley Workshop In Monoids. #N/A. ISBN 978-981-4612-71-5. 
• Janicki, Ryszard· Kleijn, Jetty (6 Ιουνίου 2022). Paradigms of Concurrency: Observations, Behaviours, and Systems — a Petri Net View. Springer Nature. ISBN 978-3-662-64821-6. 
• Jost, Jürgen (10 Σεπτεμβρίου 2015). Mathematical Concepts. Springer. ISBN 978-3-319-20436-9. 
• Yanofsky, Noson S. (5 Νοεμβρίου 2024). Monoidal Category Theory: Unifying Concepts in Mathematics, Physics, and Computing. MIT Press. ISBN 978-0-262-04939-9. 
• Coecke, Bob· Kissinger, Aleks (16 Μαρτίου 2017). Picturing Quantum Processes. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-10422-8. 

Παραπομπές

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd έκδοση). Springer. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001. 
• Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 
• Theory of Categories. Academic Press. 1 Ιανουαρίου 1965. ISBN 978-0-08-087329-9. 
• Awodey, Steve (2010), Category theory (2nd έκδοση), Oxford: Oxford University Press, ISBN 9780199237180, OCLC 740446073 
• Gleason, Andrew M. (1958), «Projective topological spaces», Illinois Journal of Mathematics 2 (4A): 482–489, doi:10.1215/ijm/1255454110 
• Mac Lane, Saunders (1978), Categories for the Working Mathematician (Second έκδοση), New York, NY: Springer New York, σελ. 114, ISBN 1441931236, OCLC 851741862 
• Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193. 
• Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context. Dover Publications, Inc Mineola, New York. ISBN 9780486809038. 
• Tsalenko, M.S.· Shulgeifer, E.G. (1974). Foundations of category theory. Nauka. ISBN 5-02-014427-4. 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Epimorphism», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035890 
• Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X 
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Endomorphism ring», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035610 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 
• Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8, https://books.google.com/books?id=hQTvAAAAMAAJ&q=endomorphism+ring 
• Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, 3 (Revised and translated from the 1988 German έκδοση), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, σελ. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, https://archive.org/details/foundationsofmod0003wisb/page/  A handbook for study and research
• Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_ 
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2 
• J. S. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln 
• Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf. 
• Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8. 
• Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001. 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 

Πηγές

• Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7. 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.