Μικτή πρόοδος

Παράδειγμα μικτής προόδου.

Στα μαθηματικά, μικτή πρόοδος είναι η ακολουθία $\beta _{1},\beta _{2},\ldots$, της οποίας ο $\nu$-οστός όρος δίνεται από την σχέση

$\beta _{\nu }=\alpha _{\nu }\cdot \gamma _{\nu }$,

όπου $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$ μία αριθμητική πρόοδος και $\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots$ μία γεωμετρική πρόοδος.

Ισοδύναμα, είναι η ακολουθία της οποίας ο $\nu$-οστός όρος είναι ίσος με

$\beta _{\nu }=(\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega )\cdot \gamma _{1}\cdot \lambda ^{\nu -1}$,

όπου $\alpha _{1},\omega ,\gamma _{1},\lambda$ είναι σταθερές, δηλαδή αριθμοί ανεξάρτητοι του $\nu$.

Για παράδειγμα, όταν $\alpha _{1}=1,\omega =1,\gamma _{1}=1,\lambda =1/3$ έχουμε ότι

$\beta _{1}=1,\beta _{2}={\frac {2}{3}},\beta _{3}={\frac {3}{3^{2}}},\beta _{4}={\frac {4}{3^{4}}},\beta _{5}={\frac {5}{3^{5}}},\ldots$.

και όταν $\alpha _{1}=2,\omega =3,\gamma _{1}=1,\lambda =2$ έχουμε ότι

$\beta _{1}=2,\beta _{2}=10,\beta _{3}=32,\beta _{4}=88,\beta _{5}=224,\ldots$.

Στην ειδική περίπτωση που $\lambda =1$ η πρόοδος είναι αριθμητική και όταν $\omega =0$ η πρόοδος είναι γεωμετρική.

Άθροισμα πρώτων όρων

Το άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων της ακολουθίας δίνονται από τον τύπο

$S_{\nu }=\sum _{k=1}^{\nu }\beta _{k}=\alpha _{1}\gamma _{1}\cdot {\frac {\lambda ^{\nu }-1}{\lambda -1}}+\omega \gamma _{1}\cdot {\frac {\lambda ^{\nu }\cdot ((\nu -1)\lambda -\nu )+r}{(\lambda -1)^{2}}}$.

Απόδειξη  

Ξεκινάμε με τον γενικό τύπο για τον $\nu$-οστό όρο

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\nu }\beta _{k}&=\sum _{k=1}^{\nu }(\alpha _{1}+(k-1)\omega )\cdot \gamma _{1}\lambda ^{k-1}\\&=\alpha _{1}\gamma _{1}\sum _{k=1}^{\nu }\lambda ^{k-1}+\omega \gamma _{1}\sum _{k=1}^{\nu }(k-1)\lambda ^{k-1}\\&=\alpha _{1}\gamma _{1}\cdot {\frac {\lambda ^{\nu }-1}{\lambda -1}}+\omega \gamma _{1}\sum _{k=1}^{\nu -1}k\lambda ^{k},\end{aligned}}$

όπου στην τελευταία γραμμή χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων όρων μίας γεωμετρικής προόδου και στο δεύτερο άθροισμα αλλάξαμε τους δείκτες κατά ένα. Μένει να δείξουμε ότι

$\sum _{k=1}^{\nu -1}k\cdot \lambda ^{k}={\frac {\lambda ^{\nu }\cdot ((\nu -1)\lambda -\nu )+\lambda }{(\lambda -1)^{2}}}$.

Γι'αυτό εργαζόμαστε ως εξής

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\nu -1}k\cdot \lambda ^{k}&=\lambda \cdot \sum _{k=1}^{\nu -1}k\cdot \lambda ^{k-1}\\&=\lambda \cdot \sum _{k=1}^{\nu -1}{\frac {d}{d\lambda }}\lambda ^{k}\\&=\lambda \cdot {\frac {d}{d\lambda }}\sum _{k=1}^{\nu -1}\lambda ^{k}\\&=\lambda \cdot {\frac {d}{d\lambda }}\left({\frac {\lambda ^{\nu }-1}{\lambda -1}}\right)\\&=\lambda \cdot {\frac {\nu \cdot \lambda ^{\nu -1}\cdot (\lambda -1)-(\lambda ^{\nu }-1)}{(\lambda -1)^{2}}}\\&={\frac {\lambda ^{\nu }\cdot ((\nu -1)\lambda -\nu )+\lambda }{(\lambda -1)^{2}}}.\end{aligned}}$.

Ισοδύναμοι τύποι είναι οι ακόλουθοι

${\begin{aligned}S_{\nu }&={\frac {(\alpha _{1}-\omega (\nu -1))\cdot \gamma _{1}\lambda ^{\nu }+\alpha _{1}\gamma _{1}}{\lambda -1}}+\omega \gamma _{1}\lambda \cdot {\frac {1-\lambda ^{\nu }}{(\lambda -1)^{2}}}\\&={\frac {\beta _{\nu +1}-\beta _{1}}{\lambda -1}}+\omega \lambda \cdot {\frac {\gamma _{1}-\gamma _{\nu +1}}{(\lambda -1)^{2}}}.\end{aligned}}$

Σειρά

Όταν $|\lambda |<1$, παίρνοντας το $\nu \to \infty$ έχουμε ότι

$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{\nu }\beta _{k}={\frac {\alpha _{1}\gamma _{1}}{1-\lambda }}+{\frac {\omega \gamma _{1}\lambda }{(\lambda -1)^{2}}}$,

καθώς ${\textstyle \lim _{\nu \to \infty }\lambda ^{\nu }=0}$ και ${\textstyle \lim _{\nu \to \infty }\nu \cdot \lambda ^{\nu }=0}$.

Εφαρμογές

Γεωμετρική κατανομή

Tο πλήθος $X$ των ανεξάρτητων πειραμάτων με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας $p$, έως ότου να υπάρξει η πρώτη επιτυχία, ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή $X\sim {\mathsf {Geom}}(p)$. Ισχύει ότι

$\Pr(X=x)=p\cdot (1-p)^{x-1}$,

και η αναμενόμενή της τιμή δίνεται από την σχέση

$\operatorname {E} [X]=\sum _{x=1}^{\infty }x\cdot p\cdot (1-p)^{x-1}$,

που είναι η σειρά μίας μικτής προόδου με $\alpha _{1}=1$, $\omega =1$, $\gamma _{1}=p$ και $r=(1-p)$. Ο παραπάνω τύπος δίνει ότι

$\operatorname {E} [X]={\frac {p}{1-(1-p)}}+{\frac {p(1-p)}{(1-(1-p))^{2}}}=1+{\frac {1-p}{p}}={\frac {1}{p}}$.

Υπολογισμός

Ο παρακάτω κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού C++ υπολογίζει τους πρώτους όρους της μικτής προόδου.

#include <iostream>

int main() {
   double a1 = 2.0;
   double omega = 3.0;
   double c1 = 1.0;
   double lambda = 2.0;
   
   double lambda_n = 1.0;
   for (int n = 1; n <= 5; ++n) {
     double cur = (a1 + (n-1) * omega) * c1 * lambda_n;
     lambda_n *= lambda;
     std::cout << "b_" << n << " = " << cur << ", ";
   }
   return 0;
}
/* Τυπώνει: b_1 = 2, b_2 = 10, b_3 = 32, b_4 = 88, b_5 = 224, ... */

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Μικτή πρόοδος στο art-of-problem-solving

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Swain, Stuart G. (Apr 2018). Proof Without Words: Gabriel's Staircase, σελ. 209. doi:10.1080/0025570X.1994.11996214. 
• Ciaurri, Óscar (Nov 2017). Proof Without Words: An Arithmetic-Geometric Series, σελ. 41. doi:10.4169/college.math.j.48.1.41. 

Δείτε επίσης

• Αριθμητική πρόοδος
• Γεωμετρική πρόοδος
• Γραμμική αναδρομική ακολουθία πρώτης τάξης