Μετρήσιμος χώρος

(Το περιεχόμενο σε αυτή την επεξεργασία έχει μεταφραστεί από το υπάρχον αγγλικό λήμμα της Wikipedia στο: Measurable space)

Μετρήσιμος χώρος είναι ένα βασικό αντικείμενο μελέτης στη θεωρία μέτρου. Είναι μια δυάδα $(X,{\mathcal {F}})$ που αποτελείται από ένα σύνολο $X$ και μια σ-άλγεβρα ${\mathcal {F}}$, η οποία καθορίζει τα υποσύνολα του $X$ τα οποία θα μετριούνται.

Η έννοια του μετρήσιμου χώρου χρησιμοποιείται ώστε να οριστούν, αλλά και να γενικευτούν διαισθητικές έννοιες, όπως το μήκος, το εμβαδό και τον όγκο, για ένα οποιοδήποτε σύνολο $X$. Εφόσον αυτές οι διαισθητικές έννοιες δεν αφορούν μεμονωμένα σημεία, αλλά σύνολα σημείων (πχ καμπύλες, γεωμετρικά σχήματα), χρησιμοποιείται ένα σύνολο ${\mathcal {F}}$, το οποίο αποτελείται από υποσύνολα του $X$. Αυτό το σύνολο ${\mathcal {F}}$ οφείλει να είναι σ-άλγεβρα, δηλαδή να πληροί ορισμένες ιδιότητες τις οποίες θα αναμέναμε από ένα σύνολο "περιοχών": ότι η τομή ή η ένωση κάποιων περιοχών είναι επίσης περιοχή, ή ότι ο ολόκληρος ο χώρος εκτός μιας περιοχής είναι επίσης περιοχή.

Ορισμός

Ένας μετρήσιμος χώρος είναι μία δυάδα $(X,{\mathcal {F}})$ που αποτελείται από ένα σύνολο $X$ και μία σ-άλγεβρα ${\mathcal {F}}$ πάνω στο $X$ . Ένα σύνολο ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ είναι σ-άλγεβρα πάνω στο $X$ αν ικανοποιεί:

• $X\in {\mathcal {A}}$
• αν $B\in {\mathcal {A}}$, τότε $B^{c}=(X\setminus B)\in {\mathcal {A}}$
• αν $A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}$, τότε $\cup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$

Τα στοιχεία της ${\mathcal {F}}$ λέγονται μετρήσιμα σύνολα του μετρήσιμου χώρου.

Να γίνει η παρατήρηση ότι σε αντίθεση με έναν μετρικό χώρο, δεν απαιτείται μετρική για τον ορισμό ενός μετρήσιμου χώρου.

Παραδείγματα

1. Έστω ένα οποιοδήποτε σύνολο $X$. Τότε το ${\mathcal {F}}_{1}=\{\emptyset ,X\}$ είναι σ-άλγεβρα πάνω στο $X$, και η δυάδα $(X,{\mathcal {F}}_{1})$ είναι η πιο απλή περίπτωση ενός μετρήσιμου χώρου. Αν επιπλέον $A\subseteq X$, τότε το ${\mathcal {F}}_{2}=\{\emptyset ,A,A^{c},X\}$ είναι επίσης μια σ-άλγεβρα πάνω στο $X$, και η δυάδα $(X,{\mathcal {F}}_{2})$ είναι ένας δεύτερος μετρήσιμος χώρος για το $X$.
2. Έστω ένα αριθμήσιμο σύνολο $X$. Τότε το το δυναμοσύνολο ${\mathcal {P}}(X)$ είναι σ-άλγεβρα πάνω στο $X$, άρα και ο $(X,{\mathcal {P}}(X))$ είναι μετρήσιμος χώρος.
3. Έστω $(X,{\mathcal {A}})$ ένας τοπολογικός χώρος (δηλαδή το ${\mathcal {A}}$ αποτελείται από υποσύνολα του $X$ τα οποία λέγονται ανοιχτά, περιέχει το $X$, και είναι κλειστό στις πεπερασμένες τομές και στις αριθμήσιμες ενώσεις). Τότε η Borel σ-άλγεβρα ${\mathcal {B}}$ ορίζεται ως η μικρότερη δυνατή σ-άλγεβρα πάνω στο $X$ με ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}$.