Μεσοπαράλληλη ευθεία

Η μεσοπαράλληλη $\mu$ δύο παράλληλων ευθειών $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ αποτελείται από όλα τα σημεία που ισαπέχουν από τις δύο ευθείες.

Στην γεωμετρία, μεσοπαράλληλη ευθεία (ή απλά μεσοπαράλληλη ή μεσοπαράλληλος) δύο παράλληλων ευθειών είναι η ευθεία που είναι παράλληλη και ισαπέχει από αυτές.

Η κύρια ιδιότητα της μεσοπαράλληλης είναι ότι είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις δύο παράλληλες ευθείες.

Η μεσοπαράλληλη ως γεωμετρικός τόπος

Θεώρημα — Η μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις δύο ευθείες.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης για την μεσοπαράλληλη.

Έστω $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$ δύο παράλληλες ευθείες και $\mu$ παράλληλη ευθεία η οποία ισαπέχει από αυτές τις δύο, δηλαδή υπάρχει σημείο ${\rm {\Sigma }}$ της $\mu$ τέτοιο ώστε ${\rm {\Sigma K}}={\rm {\Sigma \Lambda }}$, όπου ${\rm {K}}$ και ${\rm {\Lambda }}$ τα ίχνη του ${\rm {\Sigma }}$ στις $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ αντίστοιχα.

Έστω ${\rm {\Sigma '}}$ ένα τυχόν σημείο της $\mu$, και ${\rm {K'}}$ και ${\rm {\Lambda '}}$ τα ίχνη της στις $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$. Το τετράπλευρο ${\rm {K\Sigma \Sigma 'K'}}$ είναι παραλληλόγραμμο (καθότι έχει τις πλευρές του παράλληλες), επομένως ${\rm {\Sigma K}}={\rm {\Sigma 'K'}}$. Αντίστοιχα, το ${\rm {\Lambda \Sigma \Sigma '\Lambda '}}$ είναι παραλληλόγραμμο και ${\rm {\Sigma \Lambda }}={\rm {\Sigma '\Lambda '}}$. Καθώς ${\rm {\Sigma K}}={\rm {\Sigma \Lambda }}$, καταλήγουμε ότι ${\rm {\Sigma 'K'}}={\rm {\Sigma '\Lambda '}}$, και άρα το ${\rm {\Sigma '}}$ ισαπέχει από τις $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$.

Για το αντίστροφο, έστω $\Sigma '$ ένα σημείο που ισαπέχει από τις $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$, δηλαδή ${\rm {\Sigma 'K'}}={\rm {\Sigma '\Lambda '}}$. Καθώς ${\rm {\Sigma 'K'}}\perp \varepsilon _{1}$ και ${\rm {\Sigma '\Lambda '}}\perp \varepsilon _{2}$, και οι $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι παράλληλες, έχουμε ότι τα ${\rm {\Sigma ',K',\Lambda '}}$ είναι συνευθειακά σημεία. Επειδή ${\rm {\Sigma K}}={\rm {\Sigma \Lambda }}$ και ${\rm {\Sigma 'K'}}={\rm {\Sigma '\Lambda '}}$, από το αντίστροφο του θεωρήματος τομής του Θαλή, έχουμε ότι ${\rm {\Sigma \Sigma '}}\parallel \varepsilon _{1}$. Τέλος από κάθε σημείο υπάρχει μόνο μία παράλληλη προς μια ευθεία, άρα το ${\rm {\Sigma '}}$ ανήκει στην $\mu$.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω δύο παράλληλες ευθείες

$(\varepsilon _{1}):y=\lambda x+\beta _{1}$,

$(\varepsilon _{2}):y=\lambda x+\beta _{2}$.

Η μεσοπαράλληλη τους είναι η ευθεία

$(\mu ):y=\lambda x+{\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}$.

Απόδειξη  

Η μεσοπαράλληλη $\mu$ ώντας παράλληλη στις άλλες δύο ευθείες πρέπει να έχει την μορφή

$(\mu ):y=\lambda x+\beta$,

για κάποια σταθερά $c$. Για να υπολογίσουμε την σταθερά $c$, θεωρούμε το $x=0$ όπου στην ευθεία $\varepsilon _{1}$ ανήκει το σημείο $(0,\beta _{1})$ και στην ευθεία $\varepsilon _{2}$ ανήκει το σημείο $(0,\beta _{2})$. Συνεπώς, στην $\mu$ ανήκει το σημείο στο μέσο αυτών που είναι το σημείο

$\left(0,{\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}\right)$.

Επομένως, καταλήγουμε ότι $\beta ={\tfrac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}$.

Ιδιότητες

• Η μεσοπαράλληλη δύο ευθειών $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι και ο άξονας συμμετρίας τους.
• Τα σημεία των ευθειών $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν $d$ από την ευθεία $\mu$, όπου $2d$ είναι απόσταση της $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

1. Θεωρούμε ένα τυχόν σημείο ${\rm {A}}$ της $\varepsilon _{1}$ και δύο σημεία ${\rm {B_{1}}}$ και ${\rm {B_{2}}}$ της ευθείας $\varepsilon _{2}$.
2. Κατασκευάζουμε τα μέσα ${\rm {M_{1}}}$ και ${\rm {M_{2}}}$ των ${\rm {AB_{1}}}$ και ${\rm {AB_{2}}}$ αντίστοιχα.
3. Η ευθεία που διέρχεται από τα ${\rm {M_{1}}}$ και ${\rm {M_{2}}}$ είναι η μεσοπαράλληλος.

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας