Μέση καμπυλότητα

Στα μαθηματικά, η μέση καμπυλότητα $H$ μιας επιφάνειας S είναι ένα εξωγενές μέτρο καμπυλότητας που προέρχεται από τη διαφορική γεωμετρία και περιγράφει τοπικά την καμπυλότητα μιας ενσωματωμένης επιφάνειας σε κάποιο περιβάλλοντα χώρο, όπως ο ευκλείδειος χώρος.

Η έννοια χρησιμοποιήθηκε από τη Σοφί Ζερμαίν στο έργο της για τη θεωρία της ελαστικότητας. Ο Ζαν Μπατίστ Μαρί Μενιέ τη χρησιμοποίησε το 1776, στις μελέτες του για τις ελάχιστες επιφάνειες. Είναι σημαντική στην ανάλυση των ελάχιστων επιφανειών, οι οποίες έχουν μέση καμπυλότητα μηδέν, και στην ανάλυση των φυσικών διεπιφανειών μεταξύ ρευστών (όπως οι μεμβράνες σαπουνιού), οι οποίες, επί παραδείγματι έχουν σταθερή μέση καμπυλότητα σε στατικές ροές, μέσω της εξίσωσης Γιουνγκ-Λαπλάς.

Ορισμός

Έστω $p$ ένα σημείο της επιφάνειας $S$ μέσα στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο R³. Κάθε επίπεδο που διέρχεται από το $p$ και περιέχει την κανονική ευθεία στο $S$ κόβει το $S$ σε μια (επίπεδη) καμπύλη. Ο καθορισμός μιας επιλογής της μοναδιαίας κανονικής δίνει μια προσημασμένη καμπυλότητα στην καμπύλη αυτή. Καθώς το επίπεδο περιστρέφεται κατά γωνία $\theta$ (που περιέχει πάντα την κανονική γραμμή), η καμπυλότητα αυτή μπορεί να μεταβάλλεται. Η μέγιστη καμπυλότητα $\kappa _{1}$ και η ελάχιστη καμπυλότητα $\kappa _{2}$ είναι γνωστές ως “'κύριες καμπυλότητες”' του $S$.

Η μέση καμπυλότητα στο $p\in S$ είναι τότε ο μέσος όρος της προσημασμένης καμπυλότητας σε όλες τις γωνίες $\theta$:

$H={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\;d\theta$.

Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Όιλερ, αυτό είναι ίσο με το μέσο όρο των κύριων καμπυλοτήτων $\theta$:

$H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).$

Γενικότερα (Spivak 1999, Volume 4, Chapter 7), για μια υπερεπιφάνεια $T$ η μέση καμπυλότητα δίνεται ως εξής

$H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.$

Πιο αφηρημένα, η μέση καμπυλότητα είναι το ίχνος της δεύτερης θεμελιώδους μορφής διαιρεμένο με n (ή ισοδύναμα, ο τελεστής σχήματος).

Επιπλέον, η μέση καμπυλότητα $H$ μπορεί να γραφεί ως προς τη συναλλοίωτη παράγωγο $\nabla$ ως εξής

$H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,$

χρησιμοποιώντας τις σχέσεις Γκάους-Βέινγκαρτεν, όπου $X(x)$ είναι μια ομαλά ενσωματωμένη υπερεπιφάνεια, ${\vec {n}}$ ένα μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα και $g_{ij}$ ο μετρικός τανυστής.

Μια επιφάνεια είναι ελάχιστη επιφάνεια αν και μόνο αν η μέση καμπυλότητα είναι μηδέν. Επιπλέον, μια επιφάνεια η οποία εξελίσσεται κάτω από τη μέση καμπυλότητα της επιφάνειας $S$, λέγεται ότι υπακούει σε μια εξίσωση θερμότητας που ονομάζεται εξίσωση ροής μέσης καμπυλότητας.

Η σφαίρα είναι η μόνη ενσωματωμένη επιφάνεια σταθερής θετικής μέσης καμπυλότητας χωρίς όρια ή ιδιομορφίες. Ωστόσο, το αποτέλεσμα δεν ισχύει όταν η συνθήκη «ενσωματωμένη επιφάνεια» αποδυναμώνεται σε «βυθισμένη επιφάνεια».

Επιφάνειες στον τρισδιάστατο χώρο

Για μια επιφάνεια που ορίζεται στον τρισδιάστατο χώρο, η μέση καμπυλότητα σχετίζεται με μια μοναδιαία κανονική της επιφάνειας:

$2H=-\nabla \cdot {\hat {n}}$

όπου η κανονική που επιλέγεται επηρεάζει το πρόσημο της καμπυλότητας. Το πρόσημο της καμπυλότητας εξαρτάται από την επιλογή της κανονικής: η καμπυλότητα είναι θετική αν η επιφάνεια καμπυλώνει «προς» την κανονική. Ο παραπάνω τύπος ισχύει για επιφάνειες στον τρισδιάστατο χώρο που ορίζονται με οποιονδήποτε τρόπο, εφόσον μπορεί να υπολογιστεί η απόκλιση της μοναδιαίας κανονικής. Η μέση καμπυλότητα μπορεί επίσης να υπολογιστεί

$2H={\text{Trace}}((\mathrm {II} )(\mathrm {I} ^{-1}))$

όπου I και II συμβολίζουν τον πρώτο και τον δεύτερο πίνακα τετραγωνικής μορφής, αντίστοιχα.

Αν $S(x,y)$ είναι μια παραμετροποίηση της επιφάνειας και $u,v$ είναι δύο γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα στο χώρο των παραμέτρων, τότε η μέση καμπυλότητα μπορεί να γραφεί ως προς την πρώτη και τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή ως εξής

${\frac {lG-2mF+nE}{2(EG-F^{2})}}$

όπου $E=\mathrm {I} (u,u)$, $F=\mathrm {I} (u,v)$, $G=\mathrm {I} (v,v)$, $l=\mathrm {II} (u,u)$, $m=\mathrm {II} (u,v)$, $n=\mathrm {II} (v,v)$.

Για την ειδική περίπτωση μιας επιφάνειας που ορίζεται ως συνάρτηση δύο συντεταγμένων, π.χ. $z=S(x,y)$, και χρησιμοποιώντας την προς τα πάνω κανονική, η (διπλασιασμένη) έκφραση της μέσης καμπυλότητας είναι

${\begin{aligned}2H&=-\nabla \cdot \left({\frac {\nabla (z-S)}{|\nabla (z-S)|}}\right)\\&=\nabla \cdot \left({\frac {\nabla S-\nabla z}{\sqrt {1+|\nabla S|^{2}}}}\right)\\&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}$

Συγκεκριμένα, σε ένα σημείο όπου $\nabla S=0$, η μέση καμπυλότητα είναι το μισό του ίχνους του πίνακα Εσιάν του $S$.

Εάν η επιφάνεια είναι επιπλέον γνωστό ότι είναι αξονοσυμμετρική με $z=S(r)$,

$2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{1/2}}},$

όπου ${\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r}}$ προέρχεται από την παράγωγο της ${\textstyle z=S(r)=S\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$.

Πεπλεγμένη μορφή της μέσης καμπυλότητας

Η μέση καμπυλότητα μιας επιφάνειας που καθορίζεται από μια εξίσωση $F(x,y,z)=0$ μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την κλίση $\nabla F=\left({\frac {\partial F}{\partial x}},{\frac {\partial F}{\partial y}},{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)$ και ο πίνακας Εσιάν

$\textstyle {\mbox{Hess}}(F)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}\end{pmatrix}}.$

Η μέση καμπυλότητα δίνεται από τη σχέση:

$H={\frac {\nabla F\ {\mbox{Hess}}(F)\ \nabla F^{\mathsf {T}}-|\nabla F|^{2}\,{\text{Trace}}({\mbox{Hess}}(F))}{2|\nabla F|^{3}}}$

Μια άλλη μορφή είναι η απόκλιση της μοναδιαίας κάθετης. Μια μοναδιαία κάθετη δίνεται από τη σχέση ${\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}$ και η μέση καμπυλότητα είναι

$H=-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}\right).$

Στη μηχανική των ρευστών

Ένας εναλλακτικός ορισμός χρησιμοποιείται περιστασιακά στη μηχανική των ρευστών για την αποφυγή παραγόντων του δύο:

$H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\,$.

Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η πίεση σύμφωνα με την εξίσωση Γιουνγκ-Λαπλάς στο εσωτερικό ενός σφαιρικού σταγονιδίου ισορροπίας να είναι επιφανειακή τάση επί $H_{f}$- οι δύο καμπυλότητες είναι ίσες με το αντίστροφο της ακτίνας του σταγονιδίου.

$\kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}\,$.

Μια απεικόνιση της ελάχιστης επιφάνειας του Κόστα.

Ελάχιστες επιφάνειες

Μια “'ελάχιστη επιφάνεια'” είναι μια επιφάνεια που έχει μηδενική μέση καμπυλότητα σε όλα τα σημεία. Κλασικά παραδείγματα είναι το αλυσοειδές, το ελικοειδές και η επιφάνεια Ένεπερ. Πρόσφατες ανακαλύψεις περιλαμβάνουν την ελάχιστη επιφάνεια του Κόστα και το Γυροειδές.

Επιφάνειες CMC

Μια επέκταση της ιδέας της ελάχιστης επιφάνειας είναι οι επιφάνειες σταθερής μέσης καμπυλότητας. Οι επιφάνειες μοναδιαίας σταθερής μέσης καμπυλότητας στον υπερβολικό χώρο ονομάζονται επιφάνειες Μπράιαντ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Βαθμωτό πεδίο
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Mantegazza, Carlo (28 Ιουλίου 2011). Lecture Notes on Mean Curvature Flow. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-0348-0145-4. 
• Ecker, Klaus (6 Δεκεμβρίου 2012). Regularity Theory for Mean Curvature Flow. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8210-1. 
• Ritoré, Manuel· Sinestrari, Carlo (1 Ιανουαρίου 2010). Mean Curvature Flow and Isoperimetric Inequalities. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-0346-0213-6. 
• Bourni, Theodora· Langford, Mat (7 Δεκεμβρίου 2020). Mean Curvature Flow: Proceedings of the John H. Barrett Memorial Lectures held at the University of Tennessee, Knoxville, May 29–June 1, 2018. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-061836-5. 
• Bourni, Theodora· Langford, Mat (7 Δεκεμβρίου 2020). Mean Curvature Flow: Proceedings of the John H. Barrett Memorial Lectures held at the University of Tennessee, Knoxville, May 29–June 1, 2018. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-061836-5. 
• Kenmotsu, Katsuei (2003). Surfaces with Constant Mean Curvature. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3479-4. 
• Buttazzo, Giuseppe· Visintin, Augusto (1 Ιουνίου 2011). Motion by Mean Curvature and Related Topics: Proceedings of the International Conference held at Trento, Italy, 20-24, 1992. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-087047-3. 
• López, Rafael (31 Αυγούστου 2013). Constant Mean Curvature Surfaces with Boundary. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-39626-7. 
• Dillen, F. J. E.· Verstraelen, L. C. A. (16 Δεκεμβρίου 1999). Handbook of Differential Geometry, Volume 1. Elsevier. ISBN 978-0-08-053283-7. 
• Chen, Bang-yen (29 Οκτωβρίου 2014). Total Mean Curvature And Submanifolds Of Finite Type (2nd Edition). World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4616-71-3. 

Παραπομπές

• Spivak, Michael (1999), A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) (3rd έκδοση), Publish or Perish Press, (Volume 3), (Volume 4), ISBN 978-0-914098-72-0 .
• P.Grinfeld (2014). Introduction to Tensor Analysis and the Calculus of Moving Surfaces. Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9. 
• Harris, Joe (1992). Algebraic Geometry Springer. ISBN 978-1-4419-3099-6.
• Albrecht, Gudrun (2002). «The Veronese surface revisited». Journal of Geometry. Vol. 73 (Num. 1-2): 22-38. ISSN 0047-2468. doi:10.1007/s00022-002-8583-7.
• Yang, Xunnian; Zheng, Jianmin (April 2012), «Shape aware normal interpolation for curved surface shading from polyhedral approximation», The Visual Computer 29 (3): 189–201, doi:10.1007/s00371-012-0715-y 
• Schwarz, Michael; Stamminger, Marc (2006), «Pixel-shader-based curved triangles», SIGGRAPH '06: ACM SIGGRAPH 2006 Research posters, ACM Press, doi:10.1145/1179622.1179680, http://www.mpi-inf.mpg.de/~mschwarz/papers/pscurvedtris-sig06.pdf, ανακτήθηκε στις 2025-04-07 
• Barrera, Tony; Hast, Anders; Bengtsson, Ewert, «Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes», στο: Ollila, Mark, επιμ., SIGRAD 2002, σελ. 43–48, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:968852/FULLTEXT01.pdf#page=49 
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd έκδοση), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 .
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.