Κύκλος Fuhrmann

Κύκλος Fuhrmann με κέντρο ${\rm {F_{u}}}$ και διάμετρο ${\rm {HN_{a}}}$.

Στην γεωμετρία, ο κύκλος Fuhrmann ενός τριγώνου είναι ο κύκλος με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το ορθόκεντρο του τριγώνου και σημείο Νάγκελ του.

Φέρει το όνομα του Γερμανού μαθηματικού Wilhelm Fuhrmann, που δημοσίευσε για αυτόν τον κύκλο το 1890.

Το κέντρο του λέγεται κέντρο Fuhrmann, συμβολίζεται ως ${\rm {F}}_{u}$ και είναι το σημείο ${\rm {X}}_{}$ στην λίστα .

Ιδιότητες

• Έστω ${\rm {A',B',\Gamma '}}$ τα δεύτερα σημεία τομής του κύκλου με τα ύψη του τριγώνου. Τότε

${\rm {AA'=BB'=\Gamma \Gamma '=\rho }}$,

όπου $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

• (Τρίγωνο Fuhrmann) Τα συμμετρικά των μεσών των ελλασσόντων τόξων που αντιστοιχούν στις πλευρές του τριγώνου ανήκουν στον κύκλο Fuhrmann.
• Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με την απόσταση μεταξύ του περικέντρου ${\rm {O}}$ και του εγκέντρου ${\rm {I}}$.
• Το ${\rm {OI}}$ είναι παράλληλο στο ${\rm {HN_{a}}}$.
• To παραλληλόγραμμο ${\rm {OIF_{u}N_{a}}}$ έχει το κέντρο Spieker του τριγώνου ως κέντρο του.
• To παραλληλόγραμμο ${\rm {OIHF_{u}}}$ έχει το κέντρο του κύκλου του Όιλερ του τριγώνου ως κέντρο του.

Μετρικές σχέσεις

Η ακτίνα του κύκλου Fuhrmann ενός τριγώνου με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ δίνεται από τον τύπο

$R{\sqrt {\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}\beta -\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3}-\alpha ^{2}\gamma +3\alpha \beta \gamma -\beta ^{2}\gamma -\alpha \gamma ^{2}+\gamma ^{3}}{\alpha \beta \gamma }}},$

όπου $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο Fuhrmann
• Σημείο Νάγκελ
• Ορθόκεντρο τριγώνου