Κύκλος Όιλερ

Ο κύκλος των εννέα σημείων που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών ${\rm {M_{A},M_{B},M_{\Gamma }}}$, τα ίχνη των υψών ${\rm {H_{A},H_{B},H_{\Gamma }}}$ και τα μέσα των ${\rm {AH,BH,\Gamma H}}$.

Στην γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ ο κύκλος Όιλερ ή κύκλος των εννέα σημείων (αναφέρεται και ως κύκλος Euler) είναι ο κύκλος που διέρχεται από τα μέσα ${\rm {M_{A},M_{B},M_{\Gamma }}}$ των πλευρών του, τα ίχνη ${\rm {H_{A},H_{B},H_{\Gamma }}}$ των υψών του και τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν τις κορυφές του τριγώνου με το ορθόκεντρο $\mathrm {H}$.

Το κέντρο του κύκλου συνήθως συμβολίζεται με ${\rm {O}}_{9}$ και η ακτίνα του με $\rho _{9}$.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης.

Από τα τρία μη συνευθειακά σημεία ${\rm {M_{A},M_{B},M_{\Gamma }}}$ που αποτελούν τα μέσα των πλευρών $\mathrm {B} \Gamma ,\mathrm {A} \Gamma ,\mathrm {A} \mathrm {B}$, αντίστοιχα του τριγώνου $\mathrm {A} \mathrm {B} \Gamma$, διέρχεται ένας και μόνον κύκλος έστω $C$.

Θα αποδείξουμε ότι στον κύκλο $C$ ανήκουν και τα υπόλοιπα έξι σημεία του θεωρήματος. Γνωρίζουμε ότι για να βρίσκεται ένα σημείο στον κύκλο που ορίζουν τρία άλλα σημεία, αρκεί το τετράπλευρο με κορυφές το σημείο αυτό και τα άλλα τρία σημεία, να είναι εγγράψιμο.

Μέρος 1^ο: Τα ίχνη των υψών
Επομένως για να ανήκει το σημείο ${\rm {H_{A}}}$ στον κύκλο $C$ αρκεί το τετράπλευρο ${\rm {H_{A}{\rm {M_{A}M_{B}M_{\Gamma }}}}}$ να είναι εγγράψιμο.

Ισχύει ότι τα σημεία $\mathrm {M} _{\mathrm {B} },\mathrm {M} _{\Gamma }$ είναι τα μέσα των πλευρών $\mathrm {A} \Gamma ,\mathrm {A} \mathrm {B}$ του τριγώνου $\mathrm {A} \mathrm {B} \Gamma$ άρα είναι ${\textstyle \mathrm {M} _{\mathrm {B} }\mathrm {M} _{\Gamma }\parallel \mathrm {B} \Gamma }$, που σημαίνει ότι το τετράπλευρο ${\rm {H_{A}{\rm {M_{A}M_{B}M_{\Gamma }}}}}$ είναι τραπέζιο και συνεπώς για να είναι εγγράψιμο αρκεί να είναι ισοσκελές.

Επίσης ισχύει ότι τα σημεία $\mathrm {M} _{\mathrm {B} },\mathrm {M} _{\mathrm {A} }$ είναι τα μέσα των πλευρών $\mathrm {A} \Gamma ,\mathrm {B} \Gamma$ άρα είναι ${\textstyle \mathrm {M} _{\mathrm {B} }\mathrm {M} _{\mathrm {A} }\parallel ={\frac {\mathrm {A} \mathrm {B} }{2}}}$. Επιπλέον στο ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm {A} \mathrm {B} \mathrm {H} _{\mathrm {A} }$, η ${\rm {H_{A}{\rm {M_{\Gamma }}}}}$ είναι η διάμεσος προς την υποτείνουσα άρα είναι ${\textstyle \mathrm {H} _{\mathrm {A} }\mathrm {M} _{\Gamma }={\frac {\mathrm {A} \mathrm {B} }{2}}}$. Επομένως το τετράπλευρο ${\rm {H_{A}{\rm {M_{A}M_{B}M_{\Gamma }}}}}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο και συνεπώς εγγράψιμο, δηλαδή το σημείο ${\rm {H_{A}}}$ ανήκει στον κύκλο $C$ που ορίζουν τα σημεία ${\rm {M_{A},M_{B},M_{\Gamma }}}$.

Ομοίως αποδεικνύουμε ότι και τα σημεία ${\rm {H_{B},H_{\Gamma }}}$ ανήκουν στον κύκλο $C$.

Μέρος 2^ο: Τα μέσα των ${\rm {AH,BH,\Gamma H}}$
Έστω τώρα $\Sigma ,\mathrm {T} ,\mathrm {P}$ τα μέσα των τμημάτων $\mathrm {A} \mathrm {H} ,\mathrm {B} \mathrm {H} ,\Gamma \mathrm {H}$ αντίστοιχα. Για να ανήκει το σημείο $\Sigma$ στον κύκλο $C$ αρκεί το τετράπλευρο $\Sigma {\rm {M_{\Gamma }M_{A}M_{B}}}$ να είναι εγγράψιμο. Πράγματι είναι

$\mathrm {M} _{\mathrm {B} }\mathrm {M} _{\mathrm {A} }\parallel \mathrm {A} \mathrm {B}$ και $\mathrm {M} _{\Gamma }\mathrm {M} _{\mathrm {A} }\parallel \mathrm {A} \Gamma$

άρα το τετράπλευρο $\mathrm {A} {\rm {M_{B}M_{A}M_{\Gamma }}}$ είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς

${\widehat {\rm {M_{B}M_{A}M_{\Gamma }}}}={\widehat {\rm {A}}}$.

Επίσης,

$\mathrm {M} _{\Gamma }\Sigma \parallel \mathrm {B} \mathrm {H}$ και $\mathrm {M} _{\mathrm {B} }\Sigma \parallel \Gamma \mathrm {H}$

διότι ενώνουν τα μέσα πλευρών των τριγώνων $\mathrm {A} \mathrm {B} \mathrm {H}$ και $\mathrm {A} \Gamma \mathrm {H}$, άρα

${\widehat {\rm {M_{\Gamma }\Sigma \mathrm {M} _{\mathrm {B} }}}}={\widehat {\mathrm {B} \mathrm {H} \Gamma }}={\widehat {\mathrm {H} _{\Gamma }\mathrm {H} \mathrm {H} _{\mathrm {B} }}}$.

Αλλά το τετράπλευρο $\mathrm {A} \mathrm {H} _{\Gamma }\mathrm {H} \mathrm {H} _{\mathrm {B} }$ είναι εγγράψιμο διότι έχει τις απέναντι γωνίες του ${\widehat {\mathrm {H} _{\Gamma }}}+{\widehat {\mathrm {H} _{\mathrm {B} }}}=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$ παραπληρωματικές, συνεπώς ${\widehat {\mathrm {H} _{\Gamma }\mathrm {H} \mathrm {H} _{\mathrm {B} }}}=180^{\circ }-{\widehat {\mathrm {A} }}$ δηλαδή ${\widehat {\rm {M_{\Gamma }\Sigma \mathrm {M} _{\mathrm {B} }}}}=180^{\circ }-{\widehat {\rm {M_{\Gamma }\mathrm {M} _{\mathrm {A} }\mathrm {M} _{\mathrm {B} }}}}$.

Άρα το τετράπλευρο $\Sigma {\rm {M_{\Gamma }M_{A}M_{B}}}$είναι εγγράψιμο, δηλαδή το σημείο $\Sigma$ ανήκει στον κύκλο $C$ που ορίζουν τα σημεία ${\rm {M_{A},M_{B},M_{\Gamma }}}$. Ομοίως αποδεικνύουμε ότι και τα σημεία $\mathrm {T} ,\mathrm {P}$ ανήκουν στον κύκλο $C$.

Συνεπώς, τα εννέα σημεία ${\rm {M_{A},M_{B},M_{\Gamma }}}$, ${\rm {H_{A},H_{B},H_{\Gamma }}}$ και ${\rm {\Sigma ,T,P}}$ ανήκουν στον $C$.

$\square$

Ιδιότητες

• Το κέντρο του κύκλου Όιλερ είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει το ορθόκεντρο $\mathrm {H}$ με το περίκεντρο $\mathrm {O}$ του τριγώνου.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Το περίκεντρο $\mathrm {O}$ του τριγώνου $\mathrm {A} \mathrm {B} \Gamma$ είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών του. Άρα ${\rm {OM_{A}\perp B\Gamma }}$.

Έστω $\mathrm {K}$ το μέσο του τμήματος ${\rm {\ HO}}$. Θα αποδείξουμε ότι οι μεσοκάθετοι των χορδών ${\rm {H_{A}M_{A},H_{B}M_{B},H_{\Gamma }M_{\Gamma }}}$ διέρχονται από $\mathrm {K}$.

Αν ${\rm {\Lambda _{A}}}$ είναι το μέσο της χορδής ${\rm {H_{A}M_{A}}}$ τότε είναι ${\rm {H_{A}\Lambda _{A}=\Lambda _{A}M_{A}}}$.

Επίσης είναι ${\rm {HH_{A}//OM_{A}}}$ διότι τα ευθύγραμμα τμήματα είναι κάθετα στην $\mathrm {B} \Gamma$ και ${\rm {HK=KO}}$. Σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή, είναι ${\rm {K\Lambda _{A}//HH_{A}}}$ δηλαδή ${\rm {K\Lambda _{A}\perp B\Gamma }}$. Άρα η ${\rm {K\Lambda _{A}}}$ είναι η μεσοκάθετος της ${\rm {B\Gamma }}$.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι και οι μεσοκάθετοι των χορδών ${\rm {H_{B}M_{B},H_{\Gamma }M_{\Gamma }}}$ διέρχονται από $\mathrm {K}$.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι το κέντρο $\mathrm {K}$ του κύκλου του Όιλερ είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει το ορθόκεντρο $\mathrm {H}$ με το περίκεντρο $\mathrm {O}$ του τριγώνου $\mathrm {A} \mathrm {B} \Gamma$.$\quad \square$

• Η ακτίνα του κύκλου Όιλερ είναι ίση με το μισό της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Τα τρίγωνα ${\rm {\mathrm {K} \Sigma H}}$ και ${\rm {\mathrm {K} OM_{A}}}$ έχουν ${\rm {\mathrm {K} \Sigma =\mathrm {K} M_{A}}}$ ως ακτίνες του κύκλου Όιλερ, ${\rm {\mathrm {K} H=\mathrm {K} O}}$ από την προηγούμενη ιδιότητα και τις γωνίες ${\widehat {\rm {\Sigma KH}}}={\widehat {\rm {O\mathrm {K} M_{A}}}}$ ως κατακορυφήν. Άρα είναι ίσα και έχουν ${\rm {\Sigma H=OM_{A}}}$. Είναι όμως ${\rm {\Sigma H=\Sigma A}}$ άρα ${\rm {\Sigma A=OM_{A}}}$ και ${\rm {A\Sigma //OM_{A}}}$.

Τότε το τετράπλευρο ${\rm {AOM_{A}\Sigma }}$ είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς η ακτίνα ${\rm {OA}}$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι ίση με την διάμετρο ${\rm {\Sigma M_{A}}}$ του κύκλου Όιλερ.$\quad \square$

• Τα τρίγωνα ${\rm {\mathrm {A} \mathrm {B} H}}$, ${\rm {\mathrm {B} \Gamma H}}$, ${\rm {\Gamma AH}}$ έχουν τον ίδιο κύκλο του Όιλερ με το $\mathrm {A} \mathrm {B} \Gamma$.
• Ο κύκλος του Όιλερ του τριγώνου ${\rm {I_{\mathrm {A} }I_{\mathrm {B} }I_{\Gamma }}}$ που σχηματίζουν τα παράκεντρα του τριγώνου $\mathrm {A} \mathrm {B} \Gamma$, ταυτίζεται με τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\mathrm {A} \mathrm {B} \Gamma$.

• Σε ένα τρίγωνο $\mathrm {A} \mathrm {B} \Gamma$ με $\mathrm {A} \Gamma >\mathrm {A} \mathrm {B}$, ο κύκλος του Όιλερ τέμνει την ${\rm {B\Gamma }}$ υπο γωνία ίση με τη διαφορά ${\widehat {\rm {\mathrm {B} }}}-{\widehat {\rm {\Gamma }}}$.

• Ο κύκλος του Όιλερ είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του μεσοτριγώνου ${\rm {M_{\mathrm {A} }M_{\mathrm {B} }M_{\Gamma }}}$ και του ορθικού τριγώνου ${\rm {H_{\mathrm {A} }H_{\mathrm {B} }H_{\Gamma }}}$ (άμεση συνέπεια).

• O κύκλος του Όιλερ είναι ομοιόθετος του περιγεγραμμένου κύκλου του $\mathrm {A} \mathrm {B} \Gamma$ με κέντρο ομοιοθεσίας το ορθόκεντρο ${\rm {H}}$ και λόγο ομοιοθεσίας 1/2.

• (Σημείο Φόιερμπαχ) Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται του κύκλου Όιλερ. Το σημείο επαφής λέγεται σημείο Φόιερμπαχ.
• (Τρίγωνο Φόιερμπαχ) Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι εφάπτονται του κύκλου Όιλερ του τριγώνου. Τα τρία σημεία επαφής ορίζουν το τρίγωνο Φόιερμπαχ.
• Οι εφαπτόμενες στον κύκλο Όιλερ στα μέσα των πλευρών του τριγώνου είναι παράλληληλες στις εφαπτόμενες στον περιγεγραμμένο κύκλο στις αντίστοιχες κορυφές του τριγώνου (και στις αντίστοιχες πλευρές του ορθικού τριγώνου).
• Αν ${\rm {H}}$ το ορθόκεντρο του τριγώνου και ${\rm {O_{1},O_{2},O_{3}}}$ τα περίκεντρα των τριγώνων ${\rm {HB\Gamma }}$, ${\rm {H\Gamma A}}$ και ${\rm {HAB}}$, τότε ο κύκλος Όιλερ του ${\rm {O_{1}O_{2}O_{3}}}$ ταυτίζεται με τον κύκλο Όιλερ του αρχικού τριγώνου.

Δείτε επίσης

• Ευθεία του Όιλερ
• Περιγεγραμμένος κύκλος

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Κύκλος Euler, Κύκλος Euler - τό κέντρο I, Κύκλος Euler - τό κέντρο II, Κύκλος Euler - η ακτίνα, Ευθεία Simson - Κύκλος Euler, Ευθεία Simson - Κύκλος Euler στό Διαδραστική Γεωμετρία

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Dergiades, Nikolaos; Myakishev, Alexei (2013). «A triad of circles tangent internally to the nine-point circle». Forum Geometricorum (13): 7-10. https://web.archive.org/web/20240511051557/https://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201302.pdf.