Κωνοειδές

Δεξιό κυκλικό κωνοειδές

  Η διευθετούσα είναι ένας κύκλος

  Ο άξονας είναι κάθετος στο   επίπεδο διευθέτησης

Στη γεωμετρία ένα κωνοειδές (ετυμολογείται από κῶνος και εἶδος) είναι μια ευθειογενής επιφάνεια, της οποίας οι ευθείες (γραμμές) πληρούν τις πρόσθετες προϋποθέσεις:

(1) Όλες οι ευθειογενείς επιφάνειες είναι παράλληλες προς ένα επίπεδο, το «επίπεδο διευθέτησης».

(2) Όλες οι ευθειογενείς ευθείες τέμνουν μια σταθερή γραμμή, τον άξονα.

Το κωνοειδές είναι ορθό κωνοειδές αν ο άξονάς του είναι κάθετος στο επίπεδο διευθέτησης του. Συνεπώς, όλες οι ευθειογενείς ευθείες είναι κάθετες στον άξονα.

Εξαιτίας της (1) κάθε κωνοειδές είναι μια επιφάνεια Καταλάν και μπορεί να παρασταθεί παραμετρικά από τη σχέση

$\mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)\$

Κάθε καμπύλη 'x(u₀,v) με σταθερή παράμετρο u = u₀ είναι μια γεννήτρια, 'c'(u) περιγράφει την διευθετούσα και τα διανύσματα 'r(u) είναι όλα παράλληλα στο επίπεδο διευθέτησης. Η επιπεδότητα των διανυσμάτων r(u) μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής

$\det(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {\ddot {r}} )=0$.

Αν η διευθετούσα είναι κύκλος, το κονοειδές ονομάζεται κυκλικό κονοειδές.

Ο όρος κωνοειδές χρησιμοποιήθηκε ήδη από τον Αρχιμήδη στην πραγματεία του Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων.

Παραδείγματα

Δεξί κυκλικό κωνοειδές

Η παραμετρική αναπαράσταση

$\mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,0)+v(0,-\sin u,z_{0})\ ,\ 0\leq u<2\pi ,v\in \mathbb {R}$

περιγράφει ένα ορθογώνιο κυκλικό κωνοειδές με τον μοναδιαίο κύκλο του επιπέδου x-y ως διευθέτησης  και ένα επίπεδο διευθέτησης, το οποίο είναι παράλληλο προς το επίπεδο y--z. Ο άξονάς του είναι η ευθεία $(x,0,z_{0})\ x\in \mathbb {R} \ .$

Ειδικά χαρακτηριστικά:

1. Η τομή με ένα οριζόντιο επίπεδο είναι μια έλλειψη.
2. $(1-x^{2})(z-z_{0})^{2}-y^{2}z_{0}^{2}=0$
3. Ο κανόνας του Κέπλερ δίνει για ένα ορθό κυκλικό κωνοειδές με ακτίνα $r$ και ύψος $h$ τον ακριβή όγκο: $V={\tfrac {\pi }{2}}r^{2}h$.

Η έμμεση αναπαράσταση εκπληρώνεται και από τα σημεία της ευθείας $(x,0,z_{0})$. Για τα σημεία αυτά δεν υπάρχουν εφαπτόμενα επίπεδα. Τα σημεία αυτά ονομάζονται ιδιάζοντα.

Παραβολικό κωνοειδές

παραβολικό κονοειδές: η διευθετούσα είναι παραβολή

Η παραμετρική αναπαράσταση

$\mathbf {x} (u,v)=\left(1,u,-u^{2}\right)+v\left(-1,0,u^{2}\right)$

$=\left(1-v,u,-(1-v)u^{2}\right)\ ,u,v\in \mathbb {R} \ ,$

περιγράφει ένα παραβολικό κωνοειδές με την εξίσωση $z=-xy^{2}$. Το κονοειδές έχει μια παραβολή ως διευθετούσα, τον άξονα y ως άξονα και ένα επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο x-z ως επίπεδο διευθέτησης. Χρησιμοποιείται από τους αρχιτέκτονες ως επιφάνεια στέγης (βλ. παρακάτω).

Το παραβολικό κονοειδές δεν έχει ιδιάζοντα σημεία.

Κωνοειδές του Πλυσκέρ

Κωνοειδές Πλύσκερ
κόκκινο: διευθετούσα καμπύλη, μπλε: άξονας,
το επίπεδο διευθέτησης είναι παράλληλο με το επίπεδο x-y

Η αναπαράσταση της παραμέτρου

$\mathbf {x} (u,v)=\left(0,0,c\sin u\cos u)+v(\cos u,\sin u,0\right)$

$=\left(v\cos u,v\sin u,c\sin u\cos u\right)\ ,0\leq u<\pi \ ,\ v\in \mathbb {R} \ ,c>0\ ,$

αντιπροσωπεύει ένα κωνοειδές Πλύσκερ με την εξίσωση

$(x^{2}+y^{2})z=c\;xy$ dar.

Η διευθετούσα καμπύλη είναι μια διπλή διαδρομή στον άξονα z, ο άξονας του κωνοειδούς είναι ο άξονας z και το επίπεδο διευθέτησης είναι παράλληλο με το επίπεδο x-y. Καθώς ο άξονας είναι κάθετος στο επίπεδο διευθέτησης, το κονοειδές είναι ευθύγραμμο.

Η έμμεση αναπαράσταση ικανοποιείται από ολόκληρο τον άξονα z. Τα σημεία του άξονα z είναι μοναδικά (δεν υπάρχουν εφαπτόμενα επίπεδα).

Ομπρέλα Γουίτνεϊ

Ομπρέλα Γουίτνεϊ

Η απεικόνιση των παραμέτρων

$\mathbf {x} (u,v)=\left(0,0,u^{2}\right)+v\left(u,1,0\right)$

$=\left(uv,v,u^{2}\right)\ ,u,v\in \mathbb {R} \ ,$

αντιπροσωπεύει μια Ομπρέλα Γουίτνεϊ με την εξίσωση $x^{2}=y^{2}z$. Η επιφάνεια είναι ένα κωνοειδές με τον θετικό άξονα z που διέρχεται δύο φορές ως καμπύλη οδηγός, τον άξονα z ως άξονα και ένα επίπεδο διευθέτησης παράλληλο με το επίπεδο x-y. Καθώς ο άξονας είναι κάθετος στη διευθετούσα, αυτό το κονοειδές είναι επίσης ευθύγραμμο.

Η έμμεση αναπαράσταση εκπληρώνεται επίσης από τον αρνητικό άξονα z, τη λαβή της ομπρέλας. Τα σημεία του άξονα z είναι μοναδικά (δεν υπάρχουν εφαπτόμενα επίπεδα).

Παραβολικό κονοειδές: Η διευθετούσα καμπύλη είναι μια παραβολή

Παραβολικό κονοειδές

Η προβολή των παραμέτρων

$\mathbf {x} (u,v)=\left(1,u,-u^{2}\right)+v\left(-1,0,u^{2}\right)$

$=\left(1-v,u,-(1-v)u^{2}\right)\ ,u,v\in \mathbb {R} \ ,$

αντιπροσωπεύει ένα παραβολικό κωνοειδές με την εξίσωση $z=-xy^{2}$. Το κωνοειδές έχει μια παραβολή ως διευθετούσα καμπύλη, τον άξονα y ως άξονα και μια διευθετούσα παράλληλη προς το επίπεδο x-z. Καθώς ο άξονας είναι κάθετος στο επίπεδο διευθέτησης, το κωνοειδές είναι ευθύγραμμο. Χρησιμοποιείται στην αρχιτεκτονική ως επιφάνεια οροφής (βλέπε εφαρμογές).

Το παραβολικό κονοειδές δεν έχει ιδιάζοντα σημεία.

Κωνοειδές στην αρχιτεκτονική

Ελικοειδής επιφάνεια

Η ελικοειδής επιφάνεια είναι επίσης ένα ευθύ κωνοειδές. Δεν έχει ιδιομορφίες.

Στα μαθηματικά

Κωνοειδές στην αρχιτεκτονική

Μεταξύ των κωνοειδών υπάρχουν πολλά απλά παραδείγματα επιφανειών με απομονωμένα ανώμαλα σημεία.

Στην αρχιτεκτονική

Τα κονοειδή, όπως και άλλες ευθειογενείς επιφάνειες, χρησιμοποιούνται επίσης στην αρχιτεκτονική, καθώς μπορούν εύκολα να μοντελοποιηθούν από τμήματα (δοκάρια, ράβδοι). Τα ευθεία κωνοειδή είναι ιδιαίτερα εύκολο να παραχθούν: Οι ράβδοι σπειρώνονται σε έναν άξονα με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούν να περιστρέφονται μόνο γύρω από αυτόν τον άξονα. Στη συνέχεια, οι ράβδοι εκτρέπονται χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε καμπύλη οδηγό για να δημιουργηθεί ένα ευθύ κωνοειδές. (Βλέπε παραβολικό κονοειδές}

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Βαθμωτό πεδίο
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Καμπύλη Μπεζιέ
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Τρισδιάστατος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Souza, W. de (10 Σεπτεμβρίου 2010). Structures and Organelles in Pathogenic Protists. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-12863-9. 
• Rovenski, Vladimir (1 Δεκεμβρίου 2013). Geometry of Curves and Surfaces with MAPLE. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-2128-9. 
• Pottmann, Helmut· Wallner, Johannes (16 Δεκεμβρίου 2009). Computational Line Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-04018-4. 
• Prasad, Phoolan (18 Μαΐου 2001). Nonlinear Hyperbolic Waves in Multidimensions. CRC Press. ISBN 978-1-4200-2614-6. 
• Galilei, Galileo (1730). Mathematical discourses concerning two new sciences relating to mechanicks and local motion ... Done into English ... by Tho. Weston ... and now published by John Weston. J. Hooke. 
• Krivoshapko, S. N.· Ivanov, V. N. (25 Φεβρουαρίου 2015). Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer. ISBN 978-3-319-11773-7. 
• Manglik, Mr Rohit (4 Ιουλίου 2024). Differential Geometry and Tensors. EduGorilla Publication. ISBN 978-93-6817-372-4. 
• Radzevich, Stephen P. (4 Ιανουαρίου 2013). Geometry of Surfaces: A Practical Guide for Mechanical Engineers. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-52271-4. 
• Prasad, Phoolan· Ravindran, Renuka (1985). Partial Differential Equations. New Age International. ISBN 978-0-85226-722-6. 
• Radzevich, Stephen P. (19 Ιουλίου 2012). Theory of Gearing: Kinematics, Geometry, and Synthesis. CRC Press. ISBN 978-1-4665-1449-2. 

Παραπομπές

• Roth, S. H. Martin; Diezi, Patrick; Gross, Markus H. (September 2001), «Ray Tracing Triangular Bezier Patches», Computer Graphics Forum 20 (3): 422–432, doi:10.1111/1467-8659.00535 
• Roth, S.H.M.; Diezi, P.; Gross, M.H. (2000), «Triangular Bezier clipping», Proceedings of the Eighth Pacific Conference on Computer Graphics and Applications (PCCGA-00), IEEE Computer Society, doi:10.1109/pccga.2000.883971 
• Yang, Xunnian; Zheng, Jianmin (April 2012), «Shape aware normal interpolation for curved surface shading from polyhedral approximation», The Visual Computer 29 (3): 189–201, doi:10.1007/s00371-012-0715-y 
• Schwarz, Michael; Stamminger, Marc (2006), «Pixel-shader-based curved triangles», SIGGRAPH '06: ACM SIGGRAPH 2006 Research posters, ACM Press, doi:10.1145/1179622.1179680, http://www.mpi-inf.mpg.de/~mschwarz/papers/pscurvedtris-sig06.pdf, ανακτήθηκε στις 2025-04-02 
• Barrera, Tony; Hast, Anders; Bengtsson, Ewert, «Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes», στο: Ollila, Mark, επιμ., SIGRAD 2002, σελ. 43–48, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:968852/FULLTEXT01.pdf#page=49 
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd έκδοση), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 .
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.