Κριτήρια διαιρετότητας

Στα μαθηματικά, τα κριτήρια διαιρετότητας είναι διάφοροι γρήγοροι κανόνες που μας επιτρέπουν να ελέγξουμε αν ένας αριθμός διαιρεί έναν άλλον, χωρίς να πρέπει να κάνουμε την διαίρεση μεταξύ των δύο αριθμών (και να ελέγουμε το υπόλοιπο).

Για παράδειγμα, αν θέλουμε να ελέγξουμε αν το $22113344$ διαιρείται από το $3$, μπορούμε είτε να κάνουμε την κάθετη διαίρεση και να δούμε ότι το υπόλοιπο είναι όντως μηδέν, ή να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα που θα δούμε παρακάτω, που λέει ότι ένας αριθμός διαιρείται από το $3$ ανν το $3$ διαιρεί το άθροισμα των ψηφίων του, δηλαδή το $2+2+1+1+3+3+4+4=24$ (το οποίο είναι πιο γρήγορο να ελεγχθεί).

Οι κανόνες διαιρετότητας εξαρτώνται από το σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση των αριθμών.

Στο δεκαδικό σύστημα

Τα παρακάτω κριτήρια αφορούν την διαιρετότητα φυσικών αριθμών $n$ γραμμένων στο δεκαδικό σύστημα όπου $n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ είναι τα ψηφία τους.

Διαιρετότητα με το 2

Κριτήριο διαιρετότητας με το 2 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $2$ αν και μόνο αν το ψηφίο των μονάδων του, το $n_{0}$, είναι ίσο με $0$, $2$, $4$, $6$ ή $8$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $2$ διαιρεί το $264$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $4$ (και όντως $264=2\cdot 132$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $2$ δεν διαιρεί το $15$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $5$ (και όντως $15=2\cdot 7+1$).

Απόδειξη  

Ξεκινάμε με τις εξής ισοδυναμίες

${\begin{aligned}2\mid n&\Leftrightarrow 2\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+\ldots +10^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 2\mid n_{0}+2\cdot 5\cdot n_{1}+2\cdot 50\cdot n_{1}+\ldots +2\cdot 5\cdot 10^{k-1}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 2\mid n_{0}+2\cdot \left(5\cdot n_{1}+50\cdot n_{1}+\ldots +5\cdot 10^{k-1}\cdot n_{k}\right)\\&\Leftrightarrow 2\mid n_{0},\end{aligned}}$

όπου στην τελευταία γραμμή χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα της διαιρετότητας.

Διαιρετότητα με το 3

Κριτήριο διαιρετότητας με το 3 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $3$ αν και μόνο αν το άθροισμα $n_{0}+n_{1}+\ldots +n_{k}$ διαιρείται με το $3$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $3$ διαιρεί το $264$ καθώς το $3$ διαιρεί το $2+6+4=12$ (και όντως $264=3\cdot 88$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $3$ δεν διαιρεί το $104$ γιατί το $3$ δεν διαιρεί το $1+0+4=5$ (και όντως $104=3\cdot 34+2$).

Απόδειξη  

Ξεκινάμε με τις εξής ισοδυναμίες

${\begin{aligned}3\mid n&\Leftrightarrow 3\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+\ldots +10^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 3\mid n_{0}+(3\cdot 3+1)\cdot n_{1}+\ldots +(3\cdot 3+1)^{k}\cdot n_{k}\\\end{aligned}}$

Από το διωνυμικό θεώρημα, έχουμε ότι $(a+b)^{k}={\text{πολ. }}a+b^{k}$. Επομένως, η παραπάνω σχέση είναι ισοδύναμη με

${\begin{aligned}3\mid n&\Leftrightarrow 3\mid n_{0}+1\cdot n_{1}+1^{2}\cdot n_{2}+\ldots +1^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 3\mid n_{0}+n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k},\\\end{aligned}}$

η οποία δίνει τη ζητούμενη σχέση.

Διαιρετότητα με το 4

Κριτήριο διαιρετότητας με το 4 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $4$ αν και μόνο αν το $4$ διαιρεί τον αριθμό $n_{1}n_{0}$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $4$ διαιρεί το $1568$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $68$ που διαιρείται από το $4$ (και όντως $1575=4\cdot 392$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $4$ δεν διαιρεί το $127$ καθώς το $4$ δεν διαιρεί το $27$ (και όντως $127=4\cdot 31+1$).

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει από τις παρακάτω ισοδυναμίες

${\begin{aligned}4\mid n&\Leftrightarrow 4\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+10^{2}\cdot n_{2}+\ldots +10^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 4\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+10^{2}\cdot \left(n_{2}+\ldots +10^{k-2}\cdot n_{k}\right)\\&\Leftrightarrow 4\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+4\cdot 25\cdot \left(n_{2}+\ldots +10^{k-2}\cdot n_{k}\right)\\&\Leftrightarrow 4\mid n_{0}+10\cdot n_{1}\\&\Leftrightarrow 4\mid n_{1}n_{0}.\end{aligned}}$

Διαιρετότητα με το 5

Κριτήριο διαιρετότητας με το 5 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $5$ αν και μόνο αν το ψηφίο των μονάδων του είναι ίσο με $0$ ή $5$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $5$ διαιρεί το $145$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $5$ (και όντως $145=5\cdot 29$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $5$ δεν διαιρεί το $17$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $5$ (και όντως $17=3\cdot 5+1$).

Απόδειξη  

Ξεκινάμε με τις εξής ισοδυναμίες

${\begin{aligned}5\mid n&\Leftrightarrow 5\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+\ldots +10^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 5\mid n_{0}+5\cdot 2\cdot n_{1}+5\cdot 20\cdot n_{2}+\ldots +2\cdot 5\cdot 10^{k-1}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 5\mid n_{0}+5\cdot \left(2\cdot n_{1}+20\cdot n_{2}+\ldots +2\cdot 10^{k-1}\cdot n_{k}\right)\\&\Leftrightarrow 5\mid n_{0},\end{aligned}}$

όπου στην τελευταία γραμμή χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα της διαιρετότητας.

Διαιρετότητα με το 6

Κριτήριο διαιρετότητας με το 6 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $6$ αν και μόνο αν ο αριθμός διαιρείται με το $2$ και το $3$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $6$ διαιρεί το $264$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $4$ και το $3$ διαιρεί το $2+6+4=12$ (και όντως $264=6\cdot 44$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $6$ δεν διαιρεί το $104$ γιατί το $3$ δεν διαιρεί το $1+0+4=5$ (και όντως $104=6\cdot 17+2$).

Διαιρετότητα με το 7

Κριτήριο διαιρετότητας με το 7 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $7$ αν και μόνο αν το $7$ διαιρεί τον αριθμό $n_{2}n_{1}n_{0}-n_{5}n_{4}n_{3}+n_{8}n_{7}n_{6}-\ldots$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $7$ διαιρεί το $512568$ καθώς το $7$ διαιρεί το $512-568=-56$ (και όντως $512568=7\cdot 73224$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $7$ δεν διαιρεί το $12062$ καθώς το $7$ δεν διαιρεί το $12-62=-50$ (και όντως $12062=1723\cdot 7+1$).

Απόδειξη  

Ξεκινάμε με τις παρακάτω ισοδυναμίες

${\begin{aligned}7\mid n&\Leftrightarrow 7\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+10^{2}\cdot n_{2}+10^{3}\cdot n_{3}+10^{4}\cdot n_{4}+10^{5}\cdot n_{5}+\ldots \\&\Leftrightarrow 7\mid (n_{0}+10\cdot n_{1}+10^{2}\cdot n_{2})+10^{3}\cdot (n_{3}+10\cdot n_{4}+10^{2}\cdot n_{5})+\ldots \\&\Leftrightarrow 7\mid n_{2}n_{1}n_{0}+10^{3}\cdot n_{5}n_{4}n_{3}+10^{6}\cdot n_{8}n_{7}n_{6}+\ldots .\end{aligned}}$

Επίσης ισχύει ότι $10^{3}=7\cdot 143-1$. Από το διωνυμικό θεώρημα, έχουμε ότι $(a+b)^{k}={\text{πολ. }}a+b^{k}$, επομένως

${\begin{aligned}7\mid n&\Leftrightarrow 7\mid n_{2}n_{1}n_{0}+(7\cdot 143-1)\cdot n_{5}n_{4}n_{3}+(7\cdot 143-1)^{2}\cdot n_{8}n_{7}n_{6}+\ldots \\&\Leftrightarrow 7\mid n_{2}n_{1}n_{0}-n_{5}n_{4}n_{3}+n_{8}n_{7}n_{6}-\ldots .\end{aligned}}$

Διαιρετότητα με το 8

Κριτήριο διαιρετότητας με το 8 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $8$ αν και μόνο αν το $8$ διαιρεί τον αριθμό $n_{2}n_{1}n_{0}$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $8$ διαιρεί το $12568$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $568$ που διαιρείται από το $8$ (και όντως $12568=8\cdot 1571$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $8$ δεν διαιρεί το $12062$ καθώς το $8$ δεν διαιρεί το $062$ (και όντως $12062=1507\cdot 31+6$).

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει από τις παρακάτω ισοδυναμίες

${\begin{aligned}8\mid n&\Leftrightarrow 8\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+10^{2}\cdot n_{2}+10^{3}\cdot n_{3}+\ldots +10^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 8\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+10^{2}\cdot n_{2}+10^{3}\cdot \left(n_{3}+\ldots +10^{k-3}\cdot n_{k}\right)\\&\Leftrightarrow 8\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+10^{2}\cdot n_{2}+8\cdot 125\cdot \left(n_{3}+\ldots +10^{k-3}\cdot n_{k}\right)\\&\Leftrightarrow 8\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+100\cdot n_{2}\\&\Leftrightarrow 8\mid n_{2}n_{1}n_{0}.\end{aligned}}$

Διαιρετότητα με το 9

Κριτήριο διαιρετότητας με το 9 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $9$ αν και μόνο αν το άθροισμα $n_{0}+n_{1}+\ldots +n_{k}$ διαιρείται με το $9$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $9$ διαιρεί το $657$ καθώς το $9$ διαιρεί το $6+5+7=18$ (και όντως $657=9\cdot 73$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $9$ δεν διαιρεί το $453$ γιατί το $9$ δεν διαιρεί το $4+5+3=12$ (και όντως $453=9\cdot 50+3$).

Απόδειξη  

Η απόδειξη είναι παρόμοια με το κριτήριο διαιρετότητας με το $3$. Ξεκινάμε με τις εξής ισοδυναμίες

${\begin{aligned}9\mid n&\Leftrightarrow 9\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+\ldots +10^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 9\mid n_{0}+(9+1)\cdot n_{1}+\ldots +(9+1)^{k}\cdot n_{k}\\\end{aligned}}$

Από το διωνυμικό θεώρημα, έχουμε ότι $(a+b)^{k}={\text{πολ. }}a+b^{k}$. Επομένως, η παραπάνω σχέση είναι ισοδύναμη με

${\begin{aligned}3\mid n&\Leftrightarrow 3\mid n_{0}+1\cdot n_{1}+1^{2}\cdot n_{2}+\ldots +1^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 3\mid n_{0}+n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k},\\\end{aligned}}$

η οποία δίνει τη ζητούμενη σχέση.

Διαιρετότητα με το 10

Κριτήριο διαιρετότητας με το 10 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $10$ αν και μόνο αν το ψηφίο των μονάδων του είναι ίσο με $0$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $10$ διαιρεί το $1450$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $0$ (και όντως $1450=10\cdot 145$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $10$ δεν διαιρεί το $17$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $7\neq 0$ (και όντως $17=10\cdot 1+7$).

Απόδειξη  

Ξεκινάμε με τις εξής ισοδυναμίες

${\begin{aligned}10\mid n&\Leftrightarrow 10\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+\ldots +10^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 10\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+10\cdot 10\cdot n_{1}+\ldots +10\cdot 10^{k-1}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 10\mid n_{0}+10\cdot \left(n_{1}+10\cdot n_{1}+\ldots +10^{k-1}\cdot n_{k}\right)\\&\Leftrightarrow 10\mid n_{0},\end{aligned}}$

όπου στην τελευταία γραμμή χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα της διαιρετότητας.

Διαιρετότητα με το 11

Κριτήριο διαιρετότητας με το 11 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $11$ αν και μόνο αν το άθροισμα $n_{0}-n_{1}+n_{2}-\ldots +(-1)^{k}n_{k}$ διαιρείται με το $11$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $11$ διαιρεί το $968$ καθώς το $11$ διαιρεί το $9-6+8=11$ (και όντως $968=11\cdot 88$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $11$ δεν διαιρεί το $453$ γιατί το $11$ δεν διαιρεί το $4-5+3=2$ (και όντως $453=11\cdot 41+2$).

Απόδειξη  

Ξεκινάμε με τις εξής ισοδυναμίες

${\begin{aligned}11\mid n&\Leftrightarrow 11\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+\ldots +10^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 11\mid n_{0}+(11-1)\cdot n_{1}+\ldots +(11-1)^{k}\cdot n_{k}\\\end{aligned}}$

Από το διωνυμικό θεώρημα, έχουμε ότι $(a+b)^{k}={\text{πολ. }}a+b^{k}$. Επομένως, η παραπάνω σχέση είναι ισοδύναμη με

${\begin{aligned}11\mid n&\Leftrightarrow 11\mid n_{0}+(-1)\cdot n_{1}+(-1)^{2}\cdot n_{2}+\ldots +(-1)^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 11\mid n_{0}-n_{1}+n_{2}-\ldots +(-1)^{k}\cdot n_{k},\\\end{aligned}}$

η οποία δίνει τη ζητούμενη σχέση.

Διαιρετότητα με το 12

Κριτήριο διαιρετότητας με το 12 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $12$ αν και μόνο αν ο αριθμός διαιρείται με το $3$ και το $4$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $12$ διαιρεί το $264$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $64$ (που διαιρείται από το $4$) και το $3$ διαιρεί το $2+6+4=12$ (και όντως $264=12\cdot 22$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $12$ δεν διαιρεί το $104$ γιατί το $3$ δεν διαιρεί το $1+0+4=5$ (και όντως $104=12\cdot 8+8$).

Διαιρετότητα με το 13

Κριτήριο διαιρετότητας με το 13 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $13$ αν και μόνο αν το $13$ διαιρεί τον αριθμό $n_{2}n_{1}n_{0}-n_{5}n_{4}n_{3}+n_{8}n_{7}n_{6}-\ldots$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $13$ διαιρεί το $512564$ καθώς το $13$ διαιρεί το $512-564=-52$ (και όντως $512564=13\cdot 39428$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $13$ δεν διαιρεί το $12062$ καθώς το $13$ δεν διαιρεί το $12-62=-50$ (και όντως $12062=13\cdot 927+11$).

Απόδειξη  

Η απόδειξη είναι παρόμοια για το κριτήριο διαιρετότητας με το $7$. Ξεκινάμε με τις παρακάτω ισοδυναμίες

${\begin{aligned}13\mid n&\Leftrightarrow 13\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+10^{2}\cdot n_{2}+10^{3}\cdot n_{3}+10^{4}\cdot n_{4}+10^{5}\cdot n_{5}+\ldots \\&\Leftrightarrow 13\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+10^{2}\cdot n_{2}+10^{3}\cdot (n_{3}+10\cdot n_{4}+10^{2}\cdot n_{5})+\ldots \\&\Leftrightarrow 13\mid n_{2}n_{1}n_{0}+10^{3}\cdot n_{5}n_{4}n_{3}+10^{6}\cdot n_{8}n_{7}n_{6}+\ldots .\end{aligned}}$

Επίσης ισχύει ότι $10^{3}=13\cdot 77-1$. Από το διωνυμικό θεώρημα, έχουμε ότι $(a+b)^{k}={\text{πολ. }}a+b^{k}$, επομένως

${\begin{aligned}13\mid n&\Leftrightarrow 13\mid n_{2}n_{1}n_{0}+(13\cdot 11-1)\cdot n_{5}n_{4}n_{3}+(13\cdot 11-1)^{2}\cdot n_{8}n_{7}n_{6}+\ldots \\&\Leftrightarrow 13\mid n_{2}n_{1}n_{0}-n_{5}n_{4}n_{3}+n_{8}n_{7}n_{6}-\ldots .\end{aligned}}$

Διαιρετότητα με το 25

Κριτήριο διαιρετότητας με το 25 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $25$ αν και μόνο αν τα τελευταία δύο ψηφία του είναι ίσα με $00,25,50$ ή $75$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $25$ διαιρεί το $1575$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $1575$ (και όντως $1575=25\cdot 63$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $25$ δεν διαιρεί το $1214$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $14\notin \{00,25,50,75\}$ (και όντως $1214=25\cdot 48+14$).

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει από τις παρακάτω ισοδυναμίες

${\begin{aligned}25\mid n&\Leftrightarrow 25\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+10^{2}\cdot n_{2}+\ldots +10^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 25\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+10^{2}\cdot \left(n_{2}+\ldots +10^{k-2}\cdot n_{k}\right)\\&\Leftrightarrow 25\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+25\cdot 4\cdot \left(n_{2}+\ldots +10^{k-2}\cdot n_{k}\right)\\&\Leftrightarrow 25\mid n_{0}+10\cdot n_{1}\\&\Leftrightarrow 25\mid n_{1}n_{0}\\&\Leftrightarrow n_{1}n_{0}\in \{00,25,50,75\}.\end{aligned}}$

Διαιρετότητα με το 100

Κριτήριο διαιρετότητας με το 25 —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ διαιρείται με το $100$ αν και μόνο αν τα τελευταία δύο ψηφία του είναι ίσα με $00$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $100$ διαιρεί το $1500$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $1500$ (και όντως $1500=15\cdot 100$).

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $100$ δεν διαιρεί το $1214$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $14\neq 00$ (και όντως $1214=12\cdot 100+14$).

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει από τις παρακάτω ισοδυναμίες

${\begin{aligned}100\mid n&\Leftrightarrow 100\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+10^{2}\cdot n_{2}+\ldots +10^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow 100\mid n_{0}+10\cdot n_{1}+10^{2}\cdot \left(n_{2}+\ldots +10^{k-2}\cdot n_{k}\right)\\&\Leftrightarrow 100\mid n_{0}+10\cdot n_{1}\\&\Leftrightarrow 100\mid n_{1}n_{0}\\&\Leftrightarrow n_{1}n_{0}=00.\end{aligned}}$

Σε άλλα συστήματα αρίθμησης

Το παρακάτω κριτήριο γενικεύει το κριτήριο για την διαιρετότητα με το $10$ και το $100$.

Κριτήριο διαιρετότητας με το $b^{\ell }$ —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ στο σύστημα αρίθμησης με βάση το $b$ διαιρείται με το $b^{\ell }$ αν και μόνο αν τα τελευταία $\ell$ ψηφία του είναι $0$.

Θετικό παράδειγμα (✔): Το $4=2^{2}$ διαιρεί το $20=10100_{2}$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $00$ στην δυαδική του αναπαράσταση.

Αρνητικό παράδειγμα (✗): Το $4=2^{2}$ δεν διαιρεί το $21=10101_{2}$ καθώς ο αριθμός τελειώνει σε $01\neq 00$.

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει από τις παρακάτω ισοδυναμίες

${\begin{aligned}b^{\ell }\mid n&\Leftrightarrow b^{\ell }\mid n_{0}+b\cdot n_{1}+b^{2}\cdot n_{2}+\ldots +b^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow b^{\ell }\mid n_{0}+b\cdot n_{1}+\ldots +b^{\ell }\cdot \left(n_{\ell }+\ldots +10^{k-\ell }\cdot n_{k}\right)\\&\Leftrightarrow b^{\ell }\mid n_{0}+b\cdot n_{1}+\ldots +b^{\ell -1}\cdot n_{\ell -1}\\&\Leftrightarrow b^{\ell }\mid n_{\ell -1}n_{\ell -2}\ldots n_{1}n_{0}\\&\Leftrightarrow n_{\ell -1}n_{\ell -2}\ldots n_{1}n_{0}=0\ldots 0.\end{aligned}}$

Το παρακάτω κριτήριο γενικεύει το κριτήριο για την διαιρετότητα με το $9$.

Κριτήριο διαιρετότητας με το $(b-1)$ —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ στο σύστημα αρίθμησης με βάση το $b$ διαιρείται με το $b-1$ αν και μόνο αν το $b$ διαιρεί το $n_{0}+n_{1}+\ldots +n_{k}$.

Απόδειξη  

Ξεκινάμε με τις εξής ισοδυναμίες

${\begin{aligned}(b-1)\mid n&\Leftrightarrow (b-1)\mid n_{0}+b\cdot n_{1}+b^{2}\cdot n_{2}+\ldots +b^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow (b-1)\mid n_{0}+((b-1)+1)\cdot n_{1}+((b-1)+1)^{2}\cdot n_{2}+\ldots +((b-1)+1)^{k}\cdot n_{k}\\\end{aligned}}$

Από το διωνυμικό θεώρημα, έχουμε ότι $(\alpha +\beta )^{k}={\text{πολ. }}\alpha +\beta ^{k}$. Επομένως, η παραπάνω σχέση είναι ισοδύναμη με

${\begin{aligned}(b-1)\mid n&\Leftrightarrow (b-1)\mid n_{0}+1\cdot n_{1}+1^{2}\cdot n_{2}+\ldots +1^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow (b-1)\mid n_{0}+n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k},\\\end{aligned}}$

η οποία δίνει τη ζητούμενη σχέση.

Το παρακάτω κριτήριο γενικεύει το κριτήριο για την διαιρετότητα με το $11$.

Κριτήριο διαιρετότητας με το $(b+1)$ —  Ένας αριθμός $n=n_{k}n_{k-1}\ldots n_{1}n_{0}$ στο σύστημα αρίθμησης με βάση το $b$ διαιρείται με το $b+1$ αν και μόνο αν το $b$ διαιρεί το $n_{0}-n_{1}+n_{2}-\ldots +(-1)^{k}\cdot n_{k}$.

Απόδειξη  

Ξεκινάμε με τις εξής ισοδυναμίες

${\begin{aligned}(b+1)\mid n&\Leftrightarrow (b+1)\mid n_{0}+b\cdot n_{1}+b^{2}\cdot n_{2}+\ldots +b^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow (b+1)\mid n_{0}+((b+1)-1)\cdot n_{1}+((b+1)-1)^{2}\cdot n_{2}+\ldots +((b+1)-1)^{k}\cdot n_{k}\\\end{aligned}}$

Από το διωνυμικό θεώρημα, έχουμε ότι $(\alpha +\beta )^{k}={\text{πολ. }}\alpha +\beta ^{k}$. Επομένως, η παραπάνω σχέση είναι ισοδύναμη με

${\begin{aligned}(b+1)\mid n&\Leftrightarrow (b+1)\mid n_{0}+(-1)\cdot n_{1}+(-1)^{2}\cdot n_{2}+\ldots +(-1)^{k}\cdot n_{k}\\&\Leftrightarrow (b+1)\mid n_{0}-n_{1}+n_{2}-\ldots +(-1)^{k}\cdot n_{k},\\\end{aligned}}$

η οποία δίνει τη ζητούμενη σχέση.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Κριτήρια διαιρετότητας στο art of problem solving.
• Κριτήρια διαιρετότητας στο Cut The Knot.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Parameswaran, S. (1946). «1920. Tests for Divisibility». The Mathematical Gazette (The Mathematical Association) 30 (290): 164-165. doi:https://doi.org/10.2307/3609104. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1946-07_30_290/page/164. 

Δείτε επίσης

• Διαιρετότητα
• Αριθμητική υπολοίπων