Κατηγορία αβελιανών ομάδων

Στα μαθηματικά, η κατηγορία Ab έχει ως αντικείμενα τις αβελιανές ομάδες και ως μορφισμούς τους ομομορφισμούς ομάδων. Αυτή είναι η πρωτότυπη αβελιανή κατηγορία:^[1]^[2]^[3] πράγματι, κάθε μικρή αβελιανή κατηγορία μπορεί να ενσωματωθεί στην Ab.^[4]

Ορισμός

Κατηγορία των αβελιανών ομάδων

Η κατηγορία των αβελιανών ομάδων είναι η κατηγορία Ab που ορίζεται ως εξής:^[5]

Τα αντικείμενα είναι οι αβελιανές ομάδες.
Οι μορφισμοί μεταξύ των αντικειμένων είναι οι μορφισμοί των ομάδων.

Είναι λοιπόν μια πλήρης υποκατηγορία της κατηγορίας Grp των ομάδων.

Η κατηγορία των αβελιανών ομάδων ταυτίζεται με την κατηγορία των δομοστοιχείων επί $\mathbb {Z}$ :

\mathrm {Ab} \simeq \mathbb {Z} {\text{-}}\mathrm {Mod}

.

Εμπλουτισμένες κατηγορίες στο Ab

Η κατηγορία Ab είναι μονοειδής και επιτρέπει επομένως τον ορισμό μιας εμπλουτισμένης δομής. Οι εμπλουτισμένες κατηγορίες στο Ab ονομάζονται προπροσθετικές .

Ιδιότητες

Το μηδενικό αντικείμενο του Ab είναι η τετριμμένη ομάδα {0} που αποτελείται μόνο από το ουδέτερο στοιχείο της.^[6]

Οι μονομορφισμοί στο Ab είναι οι ερριπτικοί ομομορφισμοί ομάδων, οι επιμορφισμοί είναι οι επιρριπτικοι ομομορφισμοί ομάδων και οι ισομορφισμοί είναι οι αμφιρριπτικοι ομομορφισμοί ομάδων.

Το Ab είναι μια πλήρης υποκατηγορία του Grp, της κατηγορίας όλων των ομάδων. Η κύρια διαφορά μεταξύ του Ab και του Grp είναι ότι το άθροισμα δύο ομομορφισμών f και g μεταξύ αβελιανών ομάδων είναι και πάλι ένας ομομορφισμός ομάδας:

(f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y)

= f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y)

Η τρίτη ισότητα απαιτεί η ομάδα να είναι αβελιανή. Αυτή η προσθήκη μορφισμού μετατρέπει την Ab σε προπροσθετική κατηγορία, και επειδή το άμεσο άθροισμα, πεπερασμένου αριθμού αβελιανών ομάδων δίνει ένα διγινόμενο, έχουμε πράγματι μία προσθετική κατηγορία.

Στην Ab, η έννοια του πυρήνα με την κατηγορία της θεωρίας των κατηγοριών συμπίπτει με τον πυρήνα στην αλγεβρική έννοια, δηλαδή ο κατηγορικός πυρήνας του μορφισμού f : A → B είναι η υποομάδα K του A που ορίζεται από K = {x ∈ A : f(x) = 0}, μαζί με τον ομομορφισμό συμπερίληψης i : K → A. Το ίδιο ισχύει και για τους συμπυρήνες. Ο συμπυρήνας του f είναι η ομάδα πηλίκου C = B / f(A) μαζί με τη φυσική προβολή p : B → C. (Αξίζει να σημειωθεί μια άλλη σημαντική διαφορά μεταξύ Ab και Grp: Στο Grp μπορεί να συμβεί το f(A) iνα μην είναι κανονική υποομάδα του B, και ότι επομένως η ομάδα πηλίκου B / f(A) δεν μπορεί να σχηματιστεί.) Με αυτές τις συγκεκριμένες περιγραφές των πυρήνων και των συμπυρήνων, είναι αρκετά εύκολο να επαληθευτεί ότι η Ab είναι πράγματι μια αβελιανή κατηγορία^[7].

Ο ξεχασιάρης συναρτήτης από το $\mathbb {Z}$ Mod στο Ab που στέλνει ένα $\mathbb {Z}$ -πρότυπο $(M,+,\cdot )$ στην υποκείμενη αβελιανή ομάδα $(M,+)$ και ο συναρτητής από το Ab στο $\mathbb {Z}$ που στέλνει μια αβελιανή ομάδα $(G,+)$ στο $\mathbb {Z}$ -πρότυπο $(G,+,\cdot )$ που λαμβάνεται ορίζοντας $k\cdot g:=g^{k}$ ορίζουν έναν ισομορφισμό κατηγοριών.

Το γινόμενο στο Ab δίνεται από το γινόμενο των ομάδων, που σχηματίζεται λαμβάνοντας το καρτεσιανό γινόμενο των υποκείμενων συνόλων και εκτελώντας την πράξη της ομάδας κατά συνιστώσες. Επειδή το Ab έχει πυρήνες, μπορεί κανείς να δείξει ότι το Ab είναι μια πλήρης κατηγορία. Το συνγινόμενο (coproduct) στο Ab δίνεται από το άμεσο άθροισμα. Δεδομένου ότι το Ab έχει κοπυρήτες, προκύπτει ότι το Ab είναι επίσης συν-πλήρες.

Έχουμε ένα ξεχασιάρικο συναρτητή Ab → Set που αντιστοιχεί σε κάθε αβελιανή ομάδα το υποκείμενο σύνολο και σε κάθε ομομορφισμό ομάδων την υποκείμενη συνάρτηση. Αυτός ο συναρτητής είναι πιστός και, επομένως, το Ab είναι μια συγκεκριμένη κατηγορία. Ο ξεχασιάρης συναρτητής έχει έναν αριστερό συζυγή (ο οποίος αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο σύνολο την ελεύθερη αβελιανή ομάδα με αυτό το σύνολο ως βάση), αλλά δεν έχει δεξιό συζυγή.

Η λήψη άμεσων ορίων στο Ab είναι ένας ακριβής συναρτητής. Δεδομένου ότι η ομάδα των ακεραίων Z χρησιμεύει ως γεννήτρια, η κατηγορία Ab είναι επομένως μια κατηγορία Γκρότεντικ. Πράγματι, είναι το πρωτότυπο παράδειγμα μιας κατηγορίας Γκρότεντικ.

Ένα αντικείμενο στο Ab είναι ερριπτικό^[8] αν και μόνο αν είναι μια διαιρέσιμη ομάδα· είναι προβολικό αν και μόνο αν είναι μια ελεύθερη αβελιανή ομάδα. Η κατηγορία έχει έναν προβολικό γεννήτορα (Z) και έναν ερριπτικό συν-γεννήτορα (Q/Z)

Δεδομένων δύο αβελιανών ομάδων A και B, το τανυστικό τους γινόμενο A⊗B ορίζεται ως μια αβελιανή ομάδα. Με αυτή την έννοια του γινομένου, η Ab είναι μια κλειστή συμμετρική μονοειδής κατηγορία.

Το Ab δεν είναι τόπος, καθώς, μεταξύ άλλων, έχει αντικείμενο μηδέν.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
Wolfram Mathematica Online Integrator
A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Facchini, Alberto· Menini, Claudia (6 Δεκεμβρίου 2012). Abelian Groups and Modules: Proceedings of the Padova Conference, Padova, Italy, June 23–July 1, 1994. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-0443-2.
Goeters, Pat (19 Απριλίου 2016). Abelian Groups, Rings, Modules, and Homological Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-4200-1076-3.
Fuchs, László (12 Δεκεμβρίου 2015). Abelian Groups. Springer. ISBN 978-3-319-19422-6.
Loth, Peter (16 Σεπτεμβρίου 1998). Classifications of Abelian Groups and Pontrjagin Duality. CRC Press. ISBN 978-90-5699-169-2.
Krylov, P. A.· Mikhalev, Alexander V. (29 Ιουνίου 2013). Endomorphism Rings of Abelian Groups. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-017-0345-1.
Eklof, Paul C.· Göbel, Rüdiger (17 Απριλίου 2013). Abelian Groups and Modules: International Conference in Dublin, August 10–14, 1998. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-7591-2.
Göbel, Rüdiger· Goldsmith, Brendan (10 Δεκεμβρίου 2008). Models, Modules and Abelian Groups: In Memory of A. L. S. Corner. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-020303-5.
Lubkin, Saul (28 Μαΐου 2015). Non-hausdorff Completion, A: The Abelian Category Of C-complete Left Modules Over A Topological Ring. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4667-40-1.
Marquis, Jean-Pierre (20 Νοεμβρίου 2008). From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-9384-5.

Παραπομπές

↑ Pedicchio & Tholen 2004, σελ. 200
↑ «The category of abelian group objects». MathOverflow (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 8 Αυγούστου 2025.
↑ «Ab in nLab». ncatlab.org. Ανακτήθηκε στις 8 Αυγούστου 2025.
↑ Mac Lane 1998, σελ. 209
↑ Hall, Marshall (1999). The Theory of Groups. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1967-8.
↑ Rangaswamy, K. M.· Arnold, David (16 Αυγούστου 1996). Abelian Groups and Modules. CRC Press. ISBN 978-0-8247-9789-8.
↑ «Abelian category - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 8 Αυγούστου 2025.
↑ «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου - σελίδα 167 injective - ερριπτική ή ένα προς ένα» (PDF).

Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd έκδοση). Springer. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
Theory of Categories. Academic Press. 1 Ιανουαρίου 1965. ISBN 978-0-08-087329-9.
Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Endomorphism ring», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035610
Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8, https://books.google.com/books?id=hQTvAAAAMAAJ&q=endomorphism+ring
Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, 3 (Revised and translated from the 1988 German έκδοση), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, σελ. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, https://archive.org/details/foundationsofmod0003wisb/page/ A handbook for study and research
Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_
Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2
J. S. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln
Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf.
Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8.
Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001.
Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11.
Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947

Πηγές

Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0.
Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
Zbl 1103.12002
DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7.
Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
Zbl 1206.51015
Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho
Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
Zbl 0516.12001
, https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt
Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

[1] Pedicchio & Tholen 2004, σελ. 200

[2] «The category of abelian group objects». MathOverflow (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 8 Αυγούστου 2025.

[3] «Ab in nLab». ncatlab.org. Ανακτήθηκε στις 8 Αυγούστου 2025.

[4] Mac Lane 1998, σελ. 209

[5] Hall, Marshall (1999). The Theory of Groups. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1967-8.

[6] Rangaswamy, K. M.· Arnold, David (16 Αυγούστου 1996). Abelian Groups and Modules. CRC Press. ISBN 978-0-8247-9789-8.

[7] «Abelian category - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 8 Αυγούστου 2025.

[8] «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου - σελίδα 167 injective - ερριπτική ή ένα προς ένα» (PDF).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]